bilité
A nouveau, nous disposons de n actifs que nous désirons classer du plus performant au moins performant. Nous avons calculé des degrés de plausibilité de la meta-indication Mj
pour chaque actif j, avec j = 1, .., n et donc à chaque rang i, avec i = 1, ..., n se trouvant dans Θ est associé un certain degré de support, pl(i). Pour déterminer les places des actifs dans le classement définitif, nous devons en premier lieu calculer un indice pour chaque
19.5. CLASSEMENT DÉFINITIF BASÉ SUR LES DEGRÉS DE PLAUSIBILITÉ 161 actif séparément. Nous appelons cet indice P Lj pour l’actif j, car il est basé sur les degrés
de plausibilité.
L’indice P Lj est construit de manière à prendre des valeurs faibles pour les actifs per-
formants et des valeurs élevées pour les actifs peu performants. Pour obtenir P Lj, nous
multiplions chaque degré de plausibilité pl(i), avec i = 1, ..., n, par (i), qui représente un rang dans le classement. Puis, nous additionnons tous les produits pl(i)i et obtenons ainsi l’indice P Lj. En procédant ainsi, des actifs dont les degrés de plausibilité non nuls
sont associés aux places les plus performantes, se retrouvent avec des indices P Lj faibles,
tandis que les actifs dont les degrés de plausibilité non nuls sont associés aux places les moins performantes, se retrouvent avec des indices SPj élevés.
On a ainsi, pour l’actif j, l’indice suivant : P Lj :=
n
X
i=1
pl(i)i, (19.8) qu’on appelle indice de plausibilité.
De même que dans le classement basé sur les degrés de support, la pénalisation dans le classement par le risque d’incertitude est déjà intégrée dans l’indice P Lj. En effet, un
actif j, dont le risque d’incertitude est maximal, c’est-à-dire avec ψj = 1, aurait m(Θ) = 1,
dans la meta-indication Mj qui lui est associée. Etant donné que la somme des masses est
égale à 1 par définition, il s’en suit que tous les autres sous-ensembles de Θ ont des masses nulles, et par conséquent, des degrés de plausibilité de 1. Ainsi, l’indice de performance associé à cet actif est
P Lj = n X i=1 pl(i)i = n X i=1 i = n(n + 1) 2 . Il s’agit de la valeur maximale que l’indice peut prendre.
Deux actifs, par exemple k et l, peuvent avoir des classements tout à fait différents, donnés par les six mesures de performance de la TMP et la TPMP et aboutir, pourtant, à des indices maximaux, P Lk = P Ll = n(n+1)2 . Ils se retrouvent ainsi à la fin du classement.
Comme dans le classement basé sur les indices de support, tel sera le cas si ψk = ψl= 1.
Inversement, si plusieurs actifs j ont un risque d’incertitude nul, ψj = 0, cela serait dû au
fait que leurs rendements suivent parfaitement une loi normale ou lognormale. A nouveau, les six mesures de performance vont se refléter entièrement dans notre classement. La somme des degrés de plausibilité accordés aux singletons sera égale à 1, aucune masse n’étant accordée à Θ. Par exemple, si toutes les six mesures de performance classent un actif j à la première place, avec un risque d’incertitude nul, alors, m(1) = 1 et les masses de tous les autres singletons, de même que celle de Θ seront nulles.
On obtient ainsi
P L =
n
X
162 CHAPITRE 19. NOUVELLE APPROCHE Il s’agit de la valeur minimale que l’indice peut prendre.
Une actif peut également obtenir un indice de plausibilité minimal de 1 dans d’autres cir- constances. Comme dans la section précédente, si ses rendements suivent une loi normale avec probabilité 1 et une loi lognormale avec probabilité 0 et que les trois mesures de performance de la TMP la classent en première position, son indice P Lj sera minimal.
En conclusion,
1 ≤ P Lj ≤
n(n + 1)
2 , (19.9)
pour toute actif j dans un classement de n actifs basé sur les degrés de plausibilité. Le fait que l’indice de plausibilité, de même que l’indice de support, soit borné de deux côtés, permet de créer un indice de plausibilité normé, qui donne à nouveau la possibilité de positionner un actif j par rapport à sa performance indépendamment des autres actifs. On définit ainsi l’indice de plausibilité normé, donné par
P L∗j = 2P Lj n(n + 1), (19.10) où 2 n(n + 1) ≤ P L ∗ j ≤ 1, (19.11)
pour tout actif j dans un classement de n actifs basé sur les degrés de plausibilité. On sait que lim n→∞ 2 n(n + 1) = 0, par conséquent 0 < P L∗j ≤ 1, (19.12)
pour tout actif j dans un classement de n actifs basé sur les degrés de plausibilité. Enfin, pour les mêmes raisons que celles citées pour l’indice de support normé, nous avons besoin de n actifs, avec n ≥ 2, pour calculer P Lj.
En conclusion, on notera que le classement peut varier selon le choix des indices utilisés, de support ou de plausibilité. Cela relève du fait que le support et la plausibilité expriment des concepts différents. Cependant, les actifs qui obtiennent un indice de support maxi- mal, obtiennent toujours un indice de plausibilité minimal et sont classés premiers. De même, ceux qui obtiennent un indice de support minimal, obtiennent toujours un indice de plausibilité maximal et sont classés derniers.
Chapitre 20
Exemple d’application
Nous avons appliqué le Modèle de performance et incertitude, exposé au chapitre précé- dent, à 10 actions suisses cotées en bourse. Pour cela, nous avons observé leurs rendements journaliers Rt et rt du 2.01.2001 au 31.12.2001, ainsi que ceux du Swiss Market Index
(SMI).
Voici la liste des 10 actions considérées :
- ADEN : action de l’entreprise Adecco SA
- BAER : action de l’entreprise Julius Baer Holding - BALN : action de l’entreprise Bâloise-Holding
- CIBN : action de l’entreprise Ciba Specialty Chemicals - CLN : action de l’entreprise Clariant SA
- CSGN : action de l’entreprise Credit Suisse Group - KUD : action de l’entreprise Kudelski SA
- UHR : action de l’entreprise Swatch Group SA - SCMN : action de l’entreprise Swisscom SA - UBSN : action de l’entreprise UBS SA
En tout premier lieu, on a classé les 10 actions susmentionnées d’après les six mesures de performance de la TMP et TPMP. Pour cela, on a dû estimer des paramètres pour chaque action ainsi que pour le SMI.
164 CHAPITRE 20. EXEMPLE D’APPLICATION
20.1
Classements d’après les mesures de performance
de la TMP
Dans cette section, on s’est basé sur un taux sûr rF annuel de 3%. Le taux de rendement
annuel des obligations de la Confédération en 2001 a été de 3,56%. Cependant, comme la bourse était en crise durant cette année (voir la moyenne des rendements des Tables 20.1 et 20.4), on a choisi le taux de 3% pour s’approcher d’avantage de la réalité. Nous avons trouvé le taux sûr journalier en calculant
260
p(1 + 0.03) − 1 = 0.0113694%,
car les rendements du 2.01.2001 au 31.12.2001 correspondent à 260 jours ouvrables ou 260 observations.
Pour calculer les trois mesures de performance de la TMP, nous avons dû estimer l’es- pérance mathématique et l’écart-type des rendements journaliers ˜rt des dix actions sus-
mentionnées et du SMI. Nous avons choisi comme estimateurs la moyenne arithmétique et l’écart-type empirique respectivement. Pour calculer l’indice de Treynor et l’alpha de Jensen, nous avons également estimé pour chaque action P , avec P = 1, ..., 10, αP et βP,
tels qu’il sont défini dans l’équation (17.6). Les résultats obtenus se trouvent dans la Table 20.1.
Sur la base des données de la Table 20.1 et du taux sûr RF journalier, nous avons calculé
le Ratio de Sharpe SP, l’indice de Treynor TP et l’alpha de Jensen αP, pour chaque action
P . Les valeurs de ces indices sont présentées dans la Table 20.2.
Sur la base des données de la Table 20.2, nous avons établi le classement d’après les trois Moyenne Ecart-type αP βP ADEN 0.00004 0.03225 0.00111 1.27895 BAER -0.00143 0.02473 -0.00064 0.98076 BALN -0.00037 0.01972 0.00036 0.91107 CIBN -0.00008 0.01624 0.00042 0.66479 CLN -0.00193 0.03008 -0.00093 1.20236 CSGN 0.00009 0.02484 0.00129 1.42051 KUD -0.00127 0.04732 0.00041 1.94412 UHR -0.00071 0.02830 0.00003 0.92615 SCMN 0.00054 0.01632 0.00091 0.53025 UBSN 0.00005 0.02234 0.00111 1.26953 SMI -0.00081 0.01436
20.2. CLASSEMENTS D’APRÈS LA TPMP 165