Considérons enfin l’application Γ′ de Ω′ dans Θ. Rappelons que Ω′ est composé des inter-
prétations de Ω1 et de celles de Ω2 sauf ω2,c. Les interprétations de Ω1 gardent les mêmes
ensembles focaux, c’est-à-dire
Γ′(ω1,k) = Γ1(ω1,k) (13.3)
avec k = 1, ..., K. Il en est de même pour l’interprétation ω2,f de Ω2, donc
Γ′(ω2,f) = ∆2(ω2,f). (13.4)
Nous obtenons ainsi, en définissant tous les éléments qui la composent, la meta-indication M′
H1 = (Ω
′, P′, Γ′, Θ), qui combine toute l’information de H
102 CHAPITRE 13. RÈGLE DE COMBINAISON EN CHAÎNE ... Ω1 Ω2 ω1,1 ω1,2 ω1,3 ω1,4 ω1,K ω2,c ω2,f p p p p p p p
Fig. 13.2 – Arbre de probabilité de Con2 confirmant H1
Examinons à présent les conditions nécessaires pour que deux indications puissent être combinées en chaîne.
1. Pour combiner en chaîne deux indications, en premier lieu, il faut être en pré- sence d’une indication de confirmation et d’une indication classique, confirmée par l’indication de confirmation. Soient H1 = (Ω1, P1, Γ1, Θ) l’indication classique et
Con2 = (Ω2, P2, ∆2, Θ) l’indication de confirmation.
2. Comme Con2 est une indication de confirmation, son ensemble des interprétations
Ω2 ne possède que deux éléments ω2,c et ω2,f. Le premier doit confirmer H1 et le
second doit l’infirmer.
3. L’application ∆2 doit être définie comme suit :
∆2 : Ω2 → {Ω1, Θ}.
Plus précisément, l’ensemble focal de ω2,c doit être un ensemble focal de second
ordre et donné par Ω1, tandis que l’ensemble focal de ω2,f doit être un ensemble
focal de premier ordre et donné par Θ. En résumé, - ∆2(ω2,c) = Ω1,
- ∆2(ω2,f) = Θ.
Lorsque ces conditions sont respectées, alors on peut combiner H1 et Con2 par la règle
13.2. COMBINAISON D’UNE H1 AVEC PLUSIEURS CONI 103
13.2
Combinaison en chaîne d’une indication classique
H
1avec plusieurs indications de confirmation
Con
i,
i = 2, ..., n
Nous venons de considérer la combinaison de deux indications dont l’une confirme l’autre. Que se passe-t-il lorsque nous voulons combiner en chaîne plusieurs indications dont cer- taines en confirment d’autres ? Dans l’exemple 12.2 du jeu de roulette avec trois indica- tions H1, Con2 et Con3, qui a été présenté au chapitre précédent, nous avions la situation
suivante : Con3 # ω3,2 Con2 # ω2,1 H1. # ω3,1 H1
On peut se poser la question si cette combinaison de H1, Con2et Con3peut être considérée
comme une nouvelle indication, MH1 = (Ω, P, Γ, Θ), qui contient toute l’information de
H1, Con2et Con3. Comme on le verra, la démarche reste identique à la combinaison d’une
indication classique avec une indication de confirmation présentée à la section précédente. Peu importe la chaîne d’indications considérée et le nombre d’indications qui la composent, son dernier maillon sera toujours une indication classique alors que le ou les maillons qui le précèdent, des indications de confirmation. Il y aura toujours au moins une interprétation pour chaque indication de confirmation qui mènera à une autre indication (celle qu’elle confirme) au lieu de mener à l’ensemble des réponses. Quant à l’indication classique, elle représentera le maillon relié directement à l’ensemble des réponses en ce sens que toutes ses interprétations mèneront directement à cet ensemble.
Voici les conditions nécessaires pour combiner en chaîne une indication classique H1 avec
plusieurs indications de confirmation Coni, i = 2, ..., n.
1. Pour combiner en chaîne une indication classique avec (n − 1) indications de confir- mation, on doit en premier lieu être en présence de liens de confirmation entre elles. Soient H1 = (Ω1, P1, Γ1, Θ) l’indication classique et Coni = (Ωi, Pi, ∆i, Θ),
i = 2, ..., n, les indications de confirmation.
2. Comme Coni, avec i = 2, ..., n, sont des indications de confirmation, leurs ensembles
des interprétations Ωi ne possèdent que deux éléments ωi,c et ωi,f. Le premier doit
confirmer une indication, soit H1, soit Conj, avec j 6= i, et le second doit infirmer
cette même indication. Rappelons qu’une interprétation infirmant une indication peut en confirmer une autre. De toutes les indications de confirmation Coni, au
moins une doit confirmer H1, car celle-ci est le dernier maillon de la chaîne.
104 CHAPITRE 13. RÈGLE DE COMBINAISON EN CHAÎNE Plus précisément, les ensembles focaux des ωi,c, i = 2, ..., n doivent être des en-
sembles focaux de minimum second ordre et donnés par Ωj1, avec j1 = 1, ..., n et
j 6= i, tandis que les ensembles focaux des ωi,f, i = 2, ..., n, doivent être donnés soit
par Θ, soit par des ensembles focaux de minimum second ordre Ωj2, avec j2 = 2, ..., n,
j 6= i et j1 6= j2. En résumé,
- ∆i(ωi,c) = Ωj1, avec i = 2, ..., n, j1 = 1, ..., n et j1 6= i,
- ∆i(ωi,f) = Θ ou ∆i(ωi,f) = Ωj2, avec i = 2, ..., n, j2 = 2, ..., n, j 6= i et j1 6= j2.
Lorsque toutes ces conditions sont respectées, on peut procéder à la combinaison en chaîne de H1 = (Ω1, P1, Γ1, Θ) avec Coni = (Ωi, Pi, ∆i, Θ), i = 2, ..., n, en suivant les étapes ci-
dessous :
1. Il est nécessaire tout d’abord de définir le schéma des applications Γ1 et ∆i, avec
i = 2, ..., n, de la situation, c’est-à-dire déterminer quelle interprétation confirme quelle indication.
2. Puis, sur cette base, on doit construire l’arbre de probabilité correspondant à ce schéma, où chaque sommet terminal est donné par une interprétation, dont l’en- semble focal est un sous-ensemble de Θ, et chaque noeud correspond à une inter- prétation, dont l’ensemble focal est un ensemble d’interprétations d’une indication que celle-ci confirme.
3. L’étape suivante consiste à définir l’ensemble des interprétations Ω de la meta- indication. Cet ensemble est donné par toutes les interprétations représentées par les feuilles (sommets terminaux) de l’arbre. Ainsi, Ω est défini par l’union de tous les ensembles d’interprétations des indications que nous voulons combiner, moins toutes les interprétations qui confirment une indication quelconque. Autrement dit
Ω =
n
[
i=1
Ωi\ {ωi,•|∃
j tel que ∆i(ωi,•) = Ωj; j = 1, ..., n; i = I + 1, ..., n; i 6= j}. (13.7)
On peut également écrire
Ω =
n
[
i=1
Ωi\ Ω∗, (13.8)
où Ω∗ représente toutes les interprétations ω
i,c et ωi,f qui confirment une indication.
Il est important de noter qu’une interprétation qui infirme une indication peut très bien en confirmer une autre. Cela a d’ailleurs été le cas dans notre exemple 12.2. Ainsi, pour certaines indications de confirmation, il sera nécessaire de déduire de Ω leurs deux interprétations.
4. Puis, nous devons calculer, à partir de l’arbre de probabilité, la nouvelle fonction de probabilité p sur Ω. Pour obtenir la probabilité d’une interprétation de Ω, il suffit de multiplier les probabilités des branchements qui lient la feuille qui lui correspond à la racine de l’arbre. En d’autres termes, il faut calculer la probabilité du chemin qui
13.3. COMBINAISON EN CHAÎNE DE PLUSIEURS INDICATIONS 105