Le problème thermique écrit sous forme faible (III.4) présente un terme de dérivation temporelle.
1.4.a Intégration temporelle
La condition a assurer sur le résidu thermique s'écrit :
∀θ∗, ∀t Ft(θ, θ∗, t) = 0. (III.23)
En se limitant à un pas de temps, t ∈ [tn, tn+1], et en notant t0 = t−tnet ∆t = tn+1−tn
le pas de temps, la résolution incrémentale retenue consiste à chercher θ (tn+1)connais-
sant θ (tn). L'intégration temporelle est assurée par la méthode des résidus pondérés :
∀θ∗, ∀W t0 Z ∆t
0
W t0 Ft θ, θ∗, tn+ t0 dt0 (III.24)
où W (t) est la fonction de pondération temporelle.
Theta method On suppose, comme dans [Zienkiewicz et Taylor, 1988] une évolution temporelle a ne de la température :
θ = θ (tn+1)
t0
∆t+ θ (tn)
∆t − t0
et : ˙
θ = θ (tn+1) − θ (tn)
∆t . (III.26)
En choisissant la fonction de pondération W (t0)comme un Dirac :
W t0 = δ (Θ∆t) , (III.27)
on obtient la formulation dite de la theta method où le résidu a annuler s'écrit :
∀θ∗Ft(θΘ, θ∗, tn+ Θ∆t) , (III.28)
avec θΘ = Θθ (tn+1) + (1 − Θ) θ (tn).
Θ varie entre 0 et 1. Si Θ = 0, la formulation est explicite, le problème (III.28) est linéaire. Par contre, pour tout Θ < 1/2, la résolution n'est stable qu'en assurant une condition sur le pas de temps. Pour Θ > 1/2, l'algorithme est inconditionnellement stable. En particulier, une formulation implicite peut être obtenue avec Θ = 1. Par contre, le problème à résoudre devient non linéaire si Θ > 0.
Non linéarité A n de résoudre le problème non-linéaire précédant dans un cadre de résolution de Newton-Raphson, il est nécessaire de calculer le matrice tangente
[J ] = ∂ {Ft}
∂ {Xn+1} (III.29)
où le vecteur inconnu {Xn+1}représente le champ de température à l'insant tn+1, c'est à
dire que : θn+1= {N }T {Xn+1}. Cette matrice est constituée de plusieurs contributions.
Le détail est développé en annexe C.4. Il montre que certaines contributions originales apparaissent du fait de non linéarités liées à la dépendance des paramètres matériaux à la température. Par exemple, la contribution
Θ Z Ω {∇N }∂k ∂θ∇θΘ | {z } S4 {N }T + Θ Z Ω {∇N } k |{z} S3 {∇N }T (III.30)
amène deux remarques. D'une part, le paramètre Θ de la méthode apparaît dans les deux termes. Comme précisé précédemment, la non linéarité du problème dépend donc du schéma d'intégration temporel (de la valeur de Θ). D'autre part, outre la contri- bution classique issue de la sensibilité S3 , on note une nouvelle contribution due à la
dépendance de la conductivité k à la température. Cette nouvelle contribution issue de la sensibilité S4 est assemblée de manière non symétrique (opérateur gradient à gauche
et identité à droite). La matrice tangente qui en résulte est donc non symétrique. Il faudra prendre soin, à la résolution du pas de Newton-Raphson, d'utiliser un solveur linéaire pour matrice non-symétriques.
Cas test 3 : Choc thermique
Un rectangle de largeur l = 1 et de longueur L = 10, de capacité calori que ρc = 1 et de conductivité thermique k = 1 est initialement à la tempé- rature uniforme T = 0.La température sur une des largeur est maintenue à 1 et toutes les autres frontières sont laissées libres, c'est à dire isolées.
Fig. III.7: Cas test du choc thermique, conditions limites.
Le problème est résolu par un schéma d'intégration temporelle implicite : Θ = 1 et une intégration spatiale P1. La solution analytique du problème est connue [Carslaw et Jaeger, 1959] dans le cas d'un espace semi-in ni :
T (x, t) = 1 −erf x 2 q kt ρc (III.31)
A n de la comparer à cette solution, nous considérons la résolution sur un intervalle de temps [0, tf]avec 50 pas de temps égaux, où tf est très inférieur
au temps caractéristique de diusion dans le rectangle qui vaut L2k/ (ρc) ∼
100. Nous prenons tf = 1. La gure III.8 montre le pro l de température sur
l'axe central du rectangle à diérents instants. Il y a une bonne adéquation avec la solution analytique. Les erreurs sont de l'ordre de la discrétisation, ici la taille des éléments est de l'ordre 0.1. Il faut noter que ce cas test du choc thermique est très sévère sur les premiers instants où tout le gradient de température est concentré dans les premiers éléments.
Fig. III.8: Cas test du choc thermique, pro ls de température à diérents instants.
1.4.b Convection / SUPG
Champ test Dans le problème thermique complet, le terme de transport Z
Ω
θ∗ρc (v · ∇θ) (III.32)
de la formulation faible (III.4) fait perdre le caractère elliptique pur du problème. Si le caractère hyperbolique induit par ce terme convectif devient trop important, la résolution numérique par une méthode de Galerkin classique ne converge pas vers la solution et des instabilités oscillantes, visibles sur la gure III.10b, apparaissent. A n de stabiliser la solution, la méthode SUPG (Streamline Upwind Petrov Galerkin) est proposée, initialement par Brooks et Hughes [Brooks et Hughes, 1982]. Ces auteurs proposent une modi cation des fonctions test de la forme :
{θ∗} = {Nt} + τsupg{∇Nt} · v. (III.33)
Le second terme de cette dé nition ajoute donc une diusion arti cielle au problème thermique hyperbolique, et ce, seulement dans la direction de la convection. Le facteur τsupg est déterminé par Brooks et Hughes sur un cas unidimensionnel :
τsupg = 1 2 he kvke coth (Pe) − 1 Pe (III.34) où he est la taille de l'élément, kvke la moyenne de vitesse dans l'élément et Pe est le
nombre de Péclet de maille, dé ni par : Pe =
hekvke
Calcul du résidu Le résidu Fts'écrit alors : Ft(θ) = R Ω (1) z }| { N ρc∂θ ∂t+ (2) z }| { N ρc∇θ · v + (3) z }| { ∇N · q − (4) z}|{ N Q +R Ωτsupg ∇N · vρc∂θ ∂t | {z } (5) + ∇N · v.ρc∇θ · v | {z } (6) + ∇∇N (q) | {z } (7) − ∇N · vQ | {z } (8) (III.36) Les termes (1), (3) et (4) sont les termes classiques du résidu de la formulation de diusion transitoire traitée dans le paragraphe précédant. Seule la contribution hyper- bolique (2) induit l'oscillation dans la résolution. Les termes (5) et (7) sont négligés pour ne conserver de la méthode SUPG que les termes de stabilisation suivant : la contribution (6) liée au terme hyperbolique et la contribution (8), liée à la source Q. Russo [Russo, 2006] dans la résolution du problème en régime permanent ne tient pas non plus compte du terme (7). Il semble que ce soit une pratique courant bien que peu justi ée mathématiquement.
Pour alléger l'écriture du résidu (III.36), les notations liées au schéma d'intégration temporel ont été abandonnées. Néanmoins, le lecteur doit garder à l'esprit que chaque variable φ est calculée en fonction de Θ par
φ = Θφn+1+ (1 − Θ) φn (III.37)
où φ désigne ρc, q, ou θ. Par contre, v est considéré comme xe lors de la résolution thermique. Ce ne serait plus le cas avec une résolution forte avec couplage entre la thermique et la mécanique des uides, si le schéma de résolution est semi-implicite (Θ > 0).
Matrices tangentes Le calcul de la matrice tangente complète est développé en annexe C.4. Le terme issu de la dérivation de (6), bien que faisant intervenir une sensibilité originale τsupgv ⊗ v, est une matrice symétrique. Par contre, le terme issu
de la dérivation de (2) est une matrice non symétrique. Les mêmes précautions sont à prendre quant à la résolution du problème non symétrique qui en résulte.
Cas test 4 : Convection diusion
Un champ de vitesse uniforme v = 1.ex est appliqué sur un carré de coté 2.
des deux cotés latéraux du carré est imposée à 0, les deux autres cotés sont isolés.
Fig. III.9: Cas test de convection diusion, conditions limites.
Le problème est résolu en régime permanent. La gure III.10a montre les résultats obtenus pour une forte diusivité α = 1 où le nombre de Péclet est faible. Quel que soit l'interpolation utilisée, la méthode SUPG est inutile puisque le problème est principalement elliptique. La solution de Galerkin est alors très proche de la solution analytique. Par contre, la gure III.10b montre les résultats pour une diusivité plus faible, α = 0, 05 et un nombre
(a) Pour α = 1, faible nombre de Péclet
(b) Pour α = 0.05 nombre de Péclet fort.
Fig. III.10: Cas test de convection diusion.
de Péclet plus important. La résolution par la méthode de Galerkin montre des oscillations très importantes (environ 100%) de la solution obtenue à l'aide d'une interpolation P1. Une interpolation du second ordre permet de stabiliser la solution, mais l'erreur reste importante (plus de 30% en de nom- breux points). Avec la méthode SUPG seuls les derniers points présentent une erreur qui n'est due qu'à la taille des éléments.
Bilan sur la résolution d'un problème thermique transitoire Les méthodes présentées pour résoudre le problème de thermique transitoire sont déjà relativement singulières. L'association d'une theta-method à une interpolation SUPG dans un cadre de résolution non-linéaire de Newton Raphson nécessite le développement de quelques calculs non-triviaux (cf. annexe C.4). La résolutions nécessite alors l'inversion d'un système linéaire non-symétrique : d'une part à cause de la dépendance des paramètres matériaux à la température et d'autre part à cause de la formulation SUPG.
Cette section a consisté à présenter les outils numériques standards mis à contri- bution dans le code élément ni développé. Ils permettent de s'aranchir de quelques spéci cités du problème à traiter : la forte non-linéarité de la loi de comportement ou la présence du terme hyperbolique dans l'équation de la chaleur avec transport. Même si l'association de ces méthodes demande une certaine rigueur dans le développement des calculs, elles restent classiques et sont déjà développées dans de nombreux codes éléments nis. L'outil développé présente cepandant quelques spéci cités détaillées ci- après.