A n de valider la pertinence de la méthode présentée, elle est appliquée sur un cas test simple. Un cas test uniforme en espace est proposé. Ainsi les équations aux dérivées partielles deviennent des équations diérentielles ordinaires en temps seulement. La résolution du problème direct, non homogénéisé, est alors possible numériquement. Ceci permet de comparer ces résultats à ceux obtenus à l'aide de la solution homogénéisée.
3.1.a Présentation du cas
Un cas de compression homogène est traité a n de s'assurer que les variables ne dépendent plus de l'espace.
Géométrie Le problème d'écrasement homogène présenté section 3.2.a est repris. La géométrie du problème est représentée gure II.5. Une condition aux limites présentant
Tab. II.2: Paramètres matériaux utilisés dans le cas test. η = 3.104Pa.s λ = 0, 1 s ρc = 2, 6.106WK−1m−3 h0 = 300 µm ts= 4 s a = 40 µm
Cas A Cas B Case C
f = 1 Hz f = 100 Hz f = 10 000 Hz ω = 6, 3rad/s ω = 630rad/s ω = 6, 3.104 rad/s
ξ ∼ 0, 16 ξ ∼ 1, 6.10−3 ξ ∼ 1, 6.10−5
les deux sollicitations telle que représentée gure II.2 (p. 47) est appliquée : h(t) = h0. exp(−
t tc
) + a. sin(ωt) (II.82)
où h0 = h (t = 0) est la hauteur initiale du lopin et tc est un temps caractéristique de
l'écrasement du rectangle. La condition limite en vitesse s'écrit alors
vd= ˙h = (vs(t) + aω. cos(ωt)) · ey, (II.83)
avec vs(t) = − h0 tc exp(−t tc ). (II.84)
En considérant le rectangle thermiquement isolé, le cadre de l'étude précédente est bien respecté. Les résultats obtenus peuvent être appliqués.
Paramètres matériaux Les paramètres matériau utilisés sont issues de la littérature (cf. annexe F). La résolution pour trois fréquences de vibration permet de conclure sur la convergence du modèle homogénéisé. Une fréquence basse de 1 Hz est choisie dans le cas A. Elle permet d'étudier le cas où les deux échelles sont très mal séparées. Une fréquence de 100 Hz, déjà su sante pour avoir une bonne séparation d'échelle, est retenue dans le cas B. Le cas C est proche du cas industriel avec une fréquence de 10 kHz. Les valeurs sont récapitulées dans le tableau II.2.
3.1.b Résolution
Résolution directe Avec de telles conditions limites, la cinématique est homogène et :
D = vd
La loi de comportement de Maxwell (II.10) donne alors six équations diérentielles scalaires parmi lesquelles quatre donnent trivialement :
Σij = Σ33= 0 ∀i 6= j, ∀t. (II.86)
De plus, Σ11 et Σ22sont données par deux équations diérentielles opposées :
λ ˙Σ11+ Σ11 = 2ηvhd
λ ˙Σ22+ Σ22 = −2ηvhd
(II.87) avec la même condition initiale Σ11(t = 0) = Σ22(t = 0) = 0, donc Σ11 = −Σ22. En
dé nissant le scalaire Σ (t) = Σ11, on peut écrire :
Σ = Σ (t) (−ex⊗ ex+ ey⊗ ey) (II.88)
avec :
λ ˙Σ + Σ = 2ηvd(t)
h(t); Σ(t = 0) = 0. (II.89)
Puisque les paramètres matériau ne dépendant pas de la température, le problème thermique et mécanique sont résolus indépendemment. Extra contraintes Σ et taux de déformation D étant uniformes sur l'espace, le terme de dissipation Σ : D l'est aussi. Les conditions limites adiabatiques permettent de conclure que le champ de température est uniforme lui aussi. L'équation diérentielle (II.21) se réduit alors à :
ρc ˙θ = 2Σvd
h; θ (t = 0) = 0. (II.90)
Résolution homogène Concernant la résolution du problème homogénéisé, étant donné la cinématique du problème, ε peut s'écrire :
ε = a
hsin (2πτ ) (−ex⊗ ex+ ey⊗ ey) . (II.91)
L'extra-contrainte Σ0 est donc connue si Σ0(t, τ = 0)l'est.
Comme dans la résolution directe précédente, le taux de déformation macro-chro- nologique s'écrit :
hD0i = vs
h (−ex⊗ ex+ ey⊗ ey) . (II.92)
La loi de comportement du problème macro-chronologique (II.79) devient : Λ∂ hΣ0i
∂t + hΣ0i = 2N vs
et l'extra contrainte hΣ0i peut être recherchée dans la direction de hD0i, comme lors
de la résolution directe :
hΣ0i = ΣM(−ex⊗ ex+ ey⊗ ey) , (II.94)
où ΣM obéit à l'équation diérentielle :
Λ∂ΣM
∂t + ΣM = 2N vs
h ΣM (T =0)= 0. (II.95)
Finalement l'extra contrainte peut s'écrire :
Σ0 = Σ0(−ex⊗ ex+ ey⊗ ey) (II.96) avec : Σ0 = 2N Λ a hsin (2πτ ) + ΣM. (II.97)
Comme dans la résolution directe, le champ de température est uniforme et est obtenu en résolvant l'équation diérentielle :
ρc ˙θ = BQmi+ BQM a; θ (t = 0) = 0 (II.98)
où Qmi et QM a sont données par les équations (II.77) et (II.78) :
Qmi = 4N Λ2 * a2 h2sin 2(2πτ ) 1 − Λ˙h h !+ (II.99) QM a = 2 NΣM Λ∂ΣM ∂t + ΣM . (II.100) 3.1.c E cacité de la méthode
Les équation obtenues sont des équations diérentielles en temps seulement. Dès lors, la résolution du problème, même de façon directe peut être faite de manière numé- rique. Une méthode de Runge-Kutta est utilisée dans Matlab, sur un intervalle temporel t ∈ [0; 1 s]. Par la suite, nous appellerons valeurs directes les valeurs obtenues par la résolution directe des équations (II.89) et (II.90) ; et valeurs homogènes les valeurs ob- tenues par la résolution du système homogène (II.95), (II.98), (II.99) et (II.100). Cette section compare ces résultats directs et homogènes.
Convergence de la mécanique La contrainte directe Σ est comparée à la contrainte homogène associée Σ0. Elles sont représentées sur les gures II.6. Pour une valeur
(a) f = 1 Hz, ξ = 0, 16 : mauvaise séparation
d'échelles. (b) f = 100 Hz, ξ = 0., 0016 : bonne séparationd'échelles.
Fig. II.6: Comparaison des contraintes calculées à l'aide de la méthode directe et ho- mogène.
(a) f = 1 Hz, ξ = 0, 16 (b) f = 100 Hz, ξ = 0, 0016
Fig. II.7: Contraintes et déformations sur les premières périodes calculées à l'aide de la méthode directe.
faible de la fréquence f, la gure II.6a montre que les contraintes homogènes ne cor- respondent pas aux contraintes directes. Ceci est en partie con rmé par le fait que le problème micro-chronologique, sensé être élastique, ne l'est pas à basse fréquence. En eet, comme le montre la gure II.7a, contraintes et déplacements ne sont pas en phase. Le cas B concerne des fréquences de 100 Hz où ξ ∼ 10−3. Étant donnée la fréquence
élevée, seule l'enveloppe des contraintes est représentée gure II.6b. L'adéquation est bonne, la technique d'homogénéisation est donc applicable sur la mécanique. Ceci est partiellement expliqué par la réponse quasi-élastique aux variations rapides, comme le montre la gure II.7b, où contraintes et déformations sont en phase.
Convergence de la thermique La température calculée à partir du problème di- rect (II.90) est comparée à celle issue du problème thermique macro-chronologique (II.98). Pour une mauvaise séparation d'échelles (cas A), la gure II.8a montre que l'erreur re-
(a) f = 1 Hz , ξ = 0, 16 (b) f = 100 Hz, ξ = 0, 0016
(c) f = 10000 Hz, ξ = 1, 6.10−5
Fig. II.8: Comparaison des températures calculées à l'aide des méthode directe et homogène.
lative sur les températures nales est autour de 150%. La méthode d'homogénéisation n'est clairement pas applicable dans ce cas où ξ est trop important. Par contre, pour des fréquences plus élevées (cas B et C), les gures II.8b et II.8c permettent de compa- rer les températures homogénéisées à une moyenne par cycle de la température directe. L'erreur relative nale tombe alors sous les 2% pour le cas B où ξ = 10−3 et sous 1%
pour le cas C, où ξ = 10−5.
La résolution du problème homogénéisé est donc pertinente pour des fréquences élevées. En particulier autour des fréquences industrielles.
Speed up En ce qui concerne le gain de temps de calcul, dans le cas B, la méthode d'homogénéisation permet d'accélérer la résolution d'un facteur 10 par rapport à la mé- thode directe. Ceci s'explique, évidement, par la régularisation des conditions limites. La résolution du problème homogène est plus rapide puisque la discrétisation est plus grossière pour une même précision. Dans le cas industriel C, le gain de temps atteint un facteur 1800 (cf. table II.3). Ces résultats sont à mettre en perspective avec une résolu- tion spatiale plus proche du cas industriel. La résolution pour des géométries complexes
Tab. II.3: E cacité de la méthode.
Cas A Cas B Cas C
Facteur d'échelle ξ 0, 16 1, 6.10−3 1, 6.10−5
Fréquence f (Hz) 1 100 10 000
Temps CPU (s) directe 0, 39 10, 51 219
homogène 0., 17 0, 16 0, 12
Speed up 2.3 65 1820
Erreur relative température nale 160% 1.8% 0.8%
telles qu'un directeur d'énergie triangulaire et un écoulement tridimensionnel pose déjà des problèmes de convergence sur des temps longs. La méthode d'homogénéisation présentée est donc un préalable indispensable à la simulation de l'écoulement.
3.1.d Discussion des valeurs obtenues
Ces premiers résultats ne concernent qu'un cas idéal. Néanmoins ils permettent de tirer quelques conclusions sur le procédé.
Ordre de grandeur En ce qui concerne la valeur de l'élévation de température, la gure II.8c montre que la fusion est atteinte en environ 3 secondes. Toutefois, le procédé permet au passage de la sonotrode de fondre l'ensemble de l'interface en moins d'une seconde. Même dans le procédé statique, une partie du directeur fond très rapidement. Ce cas test sous-estime donc de manière importante le terme de chauage.
Importance de la géométrie Deux hypothèses permettent d'expliquer cette dié- rence. D'une part la modélisation retenue ne prend pas en compte la thermo-dépendance des paramètres matériaux. D'autre part, les directeurs d'énergie et leur géométrie ont probablement un rôle important de concentrateurs d'énergie. Le chauage et la fusion sont eectivement des phénomènes locaux, au moins dans la phase initiale du procédé. Une résolution du problème en espace est donc indispensable.
Bilan Finalement, le cas test proposé dans cette section a permis de valider la mé- thode d'homogénéisation temporelle. La méthode est e cace dès que les échelles sont séparées. C'est le cas du procédé étudié où la séparation d'échelles est largement su - sante pour que la méthode soit applicable. De plus la résolution du cas test permet de tirer une première conclusion sur le procédé : la géométrie du directeur est primordiale. C'est probablement l'eet de pointe qui permet de fondre le polymère aussi rapidement.