Résultats types

Le problème est simulé pendant la phase d'écoulement du directeur. Les pas de temps sont xés à l'aide de la condition CFL décrite section III.2.1.b. Le calcul dure

Fig. IV.4: Champ de température simulé à l'instant t = 0.05 s

environ une journée sur un ordinateur de bureau, la résolution de la mécanique des uides étant la phase la plus longue.

1.2.a Phase d'échauement

Eet de pointe Pendant les premiers instant de la simulation, on observe une loca- lisation des eets thermo-mécaniques dans le directeur d'énergie. Le terme source de dissipation d'énergie mécanique est concentré à la pointe du directeur. La température y évolue donc rapidement et de manière localisée comme le montre la gure IV.4. Ceci conrme l'utilité du directeur d'énergie. On peut également noter une diusion impor- tante de chaleur dans la plaque inférieure. Ceci est en accord avec la littérature [Benatar et Gutowski, 1989].

Mesures macroscopiques Les mesures de température eectuées et présentées en annexe A ont permis de déterminer un ux de chaleur équivalent maximum à l'interface de soudage lors du passage de la sonotrode :

φmax = 155 ± 15kW/m2_. (IV.13)

An de comparer cette mesure macroscopique aux simulations eectuées, le ux de chaleur vertical q · y est intégré sur la surface y = 0. Le ux moyen, obtenu en divisant par lsim, est représenté en fonction du temps gure IV.5. Il est en accord avec la mesure

Fig. IV.5: Flux de chaleur macroscopique en fonction du temps.

Energie An de quantier la quantité d'énergie que le procédé permet de dissiper dans le directeur, un évaluateur ad-hoc est déni. La quantité d'énergie thermique Eg

générée dans le directeur s'écrit : Eg = Z Ω Z t 0 ρc∂θ ∂t0dt 0 . (IV.14)

En considérant que la capacité calorique ρc est constante, cette intégrale se simplie en : Eg = Z Ω ρc (θ − θ (t = 0)) = (ρc)₀ Z Ω (θ − θ0) (IV.15)

L'intégrale de la température dans le directeur d'énergie permet donc de quantier de manière approchée la quantité de chaleur dissipée. A l'instant t = 0, 14 s cette intégrale vaut :

Eg = (ρc)₀

Z

Ω

θ (t = 0, 14) = 1, 3.106
7, 3.10−5= 95 J. (IV.16) Le calcul étant bidimensionnel, cette valeur de 95 J est valable pour une longueur de un mètre. Pour comparer avec le cas expérimental présenté en section 1.3.b (p. 20) et 2.3 (p. 27), il faut tenir compte de la longueur eectivement sollicitée par la sonotrode et du nombre de directeur à l'interface. Ce calcul donne environ 15J_/men 0, 14 s, soit

environ 10W_/m. Elle correspond à une puissance en accord avec celle du banc d'essai,

Fig. IV.6: Champ de température à l'instant t = 0, 1 s. 1.2.b Validation

Isolation thermique La gure IV.6 présente le champ de température simulé à l'ins- tant t = 0, 1 s. Elle montre que l'augmentation de température reste localisée dans le directeur pendant toute la durée de l'écoulement. Le prol de température le long de la surface x = 0 (gure IV.7) permet de valider l'hypothèse d'isolation thermique ap- pliquée sur les deux surfaces Γinf et Γsup. En eet, l'augmentation de température aux

bords est négligeable. De plus, la diusion importante dans la plaque inférieure, visible gure IV.6 montre que le chauage du directeur n'est pas adiabatique. La modélisa- tion des plaques est donc indispensable si l'on souhaite décrire la thermique dèlement durant le temps d'écoulement du directeur.

Convergence An de valider la solution obtenue dans cette résolution type, le même problème est résolu sur un maillage plus n (16 144 n÷uds) sur quelques pas de temps. La gure IV.8 permet de comparer les champs de température obtenus avec ces deux maillages.

Avant la phase d'écoulement, les champs de température dièrent d'environ 9◦_C.

Ceci revient à une erreur de moins de 10%. La diérence de température, visible - gure IV.8b, montre que l'erreur dans la simulation de référence provient principalement d'une surestimation de la température dans le directeur et d'une sous estimation dans la plaque inférieure, au voisinage de la pointe du directeur. Cette erreur peut être ex- pliquée par l'artefact discuté section III.2.2.a : du fait de l'interpolation retenue, qui ne présente pas d'enrichissement, une couche d'air d'épaisseur directement dépendante à la taille des éléments est articiellement introduite au niveau du contact sur la plaque inférieure. Cette couche d'air entraîne donc une isolation du directeur directement liée au maillage.

Fig. IV.7: Prols de température sur l'axe x = 0.

(a) Champs de températures à l'instant t = 0, 027 s.

(b) Diérence de température à t = 0, 027 s. (c) Ecart relatif entre les champs simulés à t = 0, 055 spour le maillage n et t = 0, 046 s pour le maillage de référence.

Fig. IV.8: Dépendance au maillage. Simulations avec le maillage de référence et le maillage plus n.

0 .0 3s 0 .0 5s 0 .0 6s 0 .0 9s 0 .13s 0 .2 0s 0 .3 2 s

Fig. IV.9: Morphologie de l'écoulement : évolution de l'iso-zéro des level-sets. Durant la phase d'écoulement cette erreur se traduit également par une avance sur l'échelle des temps. La gure IV.8c montre par exemple que la même déformation est obtenue à l'instant t = 0, 055 s avec le maillage n et t = 0, 046 s pour le maillage de référence. Les champs de température présentent alors toujours une erreur d'environ 10%.

Bien que les erreurs discutées puissent être limitées par un simple ranement du maillage, le maillage de référence, constitué de 2 676 n÷uds, est retenu dans la suite de l'étude. Dès lors, les valeurs quantitatives simulées seront entachées d'une erreur numérique d'environ 10%. Ceci n'empêchera en rien de tirer des conclusions quant aux tendances observées lors de la variation des diérents paramètres procédé.

1.2.c Phase d'écoulement

Morphologie L'augmentation de température dans le directeur entraîne une chute de la viscosité du polymère. L'écoulement est alors localisé au niveau de l'interface. La gure IV.9 représente l'évolution de l'iso-zéro de la level-set. Après échauement, à t = 0, 05 s, un bourrelet de résine se forme en pointe de directeur. Il se propage ensuite au fur et à mesure de l'écrasement du directeur. Alors que le taux de défor- mation équivalent dans l'ensemble du directeur est de l'ordre de l'unité, il dépasse la centaine dans le bourrelet. La gure IV.10 permet de comparer la morphologie simulée à celle observée par microscope sur une coupe d'un échantillon obtenu par un essai arrêté (cf. section I.2.3). L'expérience montre qu'il existe eectivement un bourrelet de morphologie semblable.

Temps d'écoulement La simulation est eectuée sur quelques dizièmes de secondes seulement. En eet, numérquement, avec les conditions limites choisies, l'écoulement

Fig. IV.10: Comparaison entre une observation microscopique sur un essai arrêté et la simulation de référence (surface libre et champ de température à l'instant t = 0, 12 s).

K

sup comp

K

compinf

Γ

inf

Γ

sup

K

d l_sim h s i_m

Γ

2

Γ

1 ! Γsup σ_yyds

Fig. IV.11: Raideurs équivalentes des diérents éléments du système.

du directeur est rapide et vient remplir l'interface en environ 0, 4 s. Pour les écrase- ments importants, des erreurs numériques, dépendantes de la taille du maillage, ap- paraissent. Les simulations présentées ne permettent donc pas de dire si les porosités visibles gure IV.9 sont de nature numérique. Par la suite, nous nous limiterons donc principalement à l'analyse de l'échauement puis de la première phase d'écoulement.

Raideur équivalente An de déterminer l'inuence de l'épaisseur des plaques sur le terme d'échauement, une analyse en raideur équivalente du système est proposée. En se concentrant sur le problème d'élasticité, le domaine Ω est décomposé en trois sous-systèmes modélisés par trois éléments élastiques en série, comme le montre la gure IV.11. Deux ressorts de raideurs Kinf

comp et Kcompsup modélisent les plaques compo-

Fig. IV.12: Raideurs équivalentes.

cielles de matrice. La raideur équivalente de chaque élément est obtenue en eectuant le rapport de l'eort normal sur la diérences des moyennes des déplacements normaux :

Kcompinf = R Γsupσyyds 1 lsim R Γ1uyds , Kd = R Γsupσyyds 1 lsim R Γ2uyds − 1 lsim R Γ1uyds , Kcompsup = R Γsupσyyds 1 lsim R Γsupuyds − 1 lsim R Γ2uyds , (IV.17)

où les surfaces Γ1 et Γ2 sont dénies sur la gure IV.11. Dans ce dépouillement, les

trois frontières Γi sont supposées de longueur constante lsim.

Il faut noter que la raideur des plaques est sous-estimée par le fait que la surface de droite Γd est laissée libre. Dans le cas où la contrainte de symétrie serait imposée,

la déformation serait verticale : ε = εyyy ⊗ y, σyy = (λcomp+ 2µcomp) εyy avec λcomp

et µcomp les deux coecients de Lamé du composite et donc :

K_compsup = K_compinf = (λcomp+ 2µcomp) lsim

L = 1, 4.10

10 N_{/m. (IV.18)}

La gure IV.12 montre l'évolution de ces rigidités équivalentes en fonction du temps. La raideur des plaques de composites est sous-estimée d'un facteur 2 environ. La ri- gidité du directeur Kd est bien inférieure à celle des plaques. Au fur et à mesure de

l'écoulement, elle augmente pour des raisons géométriques jusqu'à atteindre environ 30%de celle des plaques. Même en tenant compte de la sous-estimation, Kdn'est alors

Fig. IV.13: Vitesse d'écrasement en fonction du temps.

Vitesse d'écrasement La condition limite du problème d'écoulement est une condi- tion en eort, la vitesse d'écrasement sur la frontière supérieure évolue donc avec le temps. La gure IV.13 représente la moyenne de la vitesse verticale sur la frontière supérieure en fonction du temps. On y observe bien trois phases distinctes : une pre- mière phase d'échauement, jusqu'à t = 0, 04 s, où la vitesse d'écrasement est faible ; une seconde phase d'écoulement aux alentours de t = 0, 05 s, où la vitesse d'écrase- ment augmente brusquement du fait de la localisation en pointe de directeur. Durant la troisième phase, après t = 0, 06 s, l'écoulement entraîne un changement de géométrie. De manière analogue à l'augmentation de raideur équivalente traitée précédemment, la vitesse d'écrasement diminue donc progressivement.

Cicatrisation An de caractériser la qualité de l'adhésion, le degré de cicatrisation Dc déni à la section 1.1.b est calculé en chaque point de l'interface Γ0, et incrémenté

lorsqu'il y a contact∗_{. La courbe IV.14 montre l'évolution de ce degré de cicatrisation}

en fonction de la position sur l'interface à deux instants t = 0, 10 s et t = 0, 15 s. A l'heure actuelle, la simulation n'est eectuée que sur un temps très court correspondant à la phase d'écoulement. Les degrés de cicatrisation atteints restent donc très faibles. An de conclure sur une qualité d'adhésion, la phase suivante de refroidissement devrait être analysée. Toutefois l'augmentation importante du degré de cicatrisation, même sur ces temps très courts (de l'ordre de 0, 1 s) est encourageante et pousse à croire à une adhésion rapide du polymère sur la plaque inférieure. De manière qualitative, l'objectif de chauage localisé et de contact intime semble assuré.

∗_{Pour des raisons pratiques dues aux artefacts de contact et an de s'assurer que l'on traite un}

champ de température dans le matériau, le dépouillement est eectué sur le plan déni par y = 10−5

m proche de Γ0.

Fig. IV.14: Degré de cicatrisation de l'interface.

Bilan Les premiers résultats obtenus permettent de valider les quelques hypothèses eectuées dans la modélisation, en particulier en ce qui concerne les conditions limites. L'erreur numérique a pu être évaluée à une dizaine de pourcents. Cette erreur est encourageante compte tenu de l'absence de travaux antérieurs à cette étude. Les simu- lations ne permettent pas de conclure sur des valeurs quantitatives mais représentent plutôt un outil d'analye qualitative de l'inuence des diérents paramètres sur la qua- lité de la soudure. Il en est de même pour les outils théoriques tels que l'analyse de la cicatrisation à l'interface. Les simulations n'ont été présentées que pour proposer d'éventuelles possibilités et perspectives de dépouillement des simulations. Elles n'ont pas pour ambition, à l'heure actuelle, de quantier mécaniquement avec précision une qualité d'adhésion.

Les premiers résultats présentés dans cette section constitue une base de travail que nous appellerons par la suite simulation type ou simulation de référence.

2 Utilisation du modèle : inuence des paramètres sur la

qualité de la soudure

L'outil numérique développé permet d'étudier l'inuence de diérents paramètres procédé sur l'écoulement à l'interface. Cette section présente quelques utilisations de l'outil et les conclusions qu'elles permettent de tirer sur le procédé.

Fig. IV.15: Température maximale en pointe de directeur à l'instant t = 0, 03 s en fonction du rayon de courbure initial en pointe de directeur.

Dans le document Modélisation et simulation d'un écoulement sous vibration. Application au soudage par ultrasons de composites à matrice thermoplastique. (Page 151-161)