Implémentation du modèle type

1.1.a Géométrie

Domaine de résolution Comme discuté précédemment (section II. 1 (p. 44)), le choix du domaine de simulation doit être susamment grand pour que la condition limite d'isolation thermique soit réaliste. La distance de diusion Ldif du front de

chaleur pendant la durée du procédé tp = 3 speut être évaluée à l'aide de la diusivité

thermique du polymère : Ldif = s k ρctp ∼ 1, 5.10−4m (IV.1)

Les plaques de composite ont une épaisseur L d'environ 10 fois cette distance carac- téristique. La simulation de l'ensemble des plaques composites permet donc d'assurer des conditions limites thermique réalistes. La hauteur du domaine simulé vaut (voir gure IV.1a) :

h

sim

lsim

(a) Maillage. (b) Level-sets initiales.

Fig. IV.1: Domaine de résolution.

De par la symétrie du problème, la résolution n'est eectuée que sur un demi di- recteur d'énergie. La largeur du domaine est xée ici à une demi distance entre deux directeurs, soit :

lsim = 9.10−4m. (IV.3)

Maillage Bien que le domaine soit étendu en hauteur, seule la partie centrale où se situe le directeur d'énergie doit être décrite avec précision. En eet, la plaque supérieure subit quasiment un déplacement de corps rigide et les gradients thermiques y sont faibles. Le maillage du domaine n'est donc pas homogène. Un maillage triangulaire non structuré tel que présenté sur la gure IV.1a permet un ranement dans la zone d'intérêt. Il est constitué de 2 676 n÷uds avec des éléments d'une taille caractéristique de 2.10−6_{mau voisinage de la pointe du directeur.}

Fig. IV.2: Coupe micrographique permettant de déterminer le rayon du congé à appli- quer en pointe de directeur.

Level-set initiale Dans la simulation type proposée, trois level-sets sont nécessaires (voir gure IV.1b). Une première pour décrire le directeur d'énergie et la couche de PEEK supercielle de la plaque supérieure, une seconde pour décrire l'interface po- lymère/air de la plaque inférieure et une troisième pour décrire les interfaces poly- mère/composite dans les deux plaques. Dans cette simulation de référence, la hauteur initiale h du directeur d'énergie est xée à :

h = 3.10−4m. (IV.4)

Un congé est appliqué en pointe de directeur. En se référant à des coupes microscopiques telles que celle de la gure IV.2, le rayon de courbure de ce congé est xé à 10% de la hauteur du directeur.

1.1.b Matériau

Implémentation numérique Le matériau numérique utilisé est implémenté à l'aide d'une classe dérivée de trois matériaux parents :

 Un matériau élastique permet de simuler le problème mécanique micro-chronolo- gique. Le module d'Young E est thermo-dépendant. Il est mis à jour à l'aide de la température avant le calcul du résidu ou le calcul de la sensibilité.

 Un matériau de Carreau (cf. annexe C.2.c) permet de simuler l'écoulement. La thermo-dépendance en loi d'Arrhenius de la consistance est implémentée en mul- tipliant la consistance par le facteur thermo-dépendant.

 Un matériau thermique transitoire pour simuler les problèmes de conduction et de convection transitoires.

Polymère Les paramètres matériau retenus pour la simulation de référence sont adaptés de la littérature (cf. annexe F). La loi de comportement de Carreau identi-

Tab. IV.1: Paramètres matériaux utilisés.

Polymère Air Composite

Élasticité Module d'Young E (Pa) cf. équation (IV.7) 5.103 9, 3.109

Coecient de Poisson ν 0, 4 0 0, 2

Écoulement Coecient pré-exponentiel

de la viscosité A (Pa.sm₎ 5, 6.10

−3 _2.10−5 ₁₀

Énergie d'activation Ea(J) 7, 44.104 0 7, 44.104

Temps caractéristique de

la loi de Carreau λ (s) 1 0 1

Indice puissance de la loi

de Carreau m 0, 54 1 1

Thermique Conductivité thermique

k`Wm−1 K−1´ 0, 24 2, 6.10 −2 <sub>0, 72</sub> Capacité calorique ρc`Jm−3 K−1´ 1, 3.10 6_{+ 4500 · θ [}◦_{C] 10}3 _{2, 22.10}6 Module de perte E00 (Pa)(eq.IV.1b) 20.106 _{0 0}

Pulsation de la sonotrode ω (rad_{/s) 1, 25.10}5

ée par Nicodeau [Nicodeau, 2005] a été simpliée an de l'écrire : η = η0



1 + (λDeq)2

m−1₂

(IV.5) où λ = 1 s est le temps caractéristique de Carreau et η0 est la viscosité Newto-

nienne dont la thermo-dépendance est assurée à l'aide d'une loi d'Arrhenius (équa- tion (II.122)) : η0(θ) = A. exp  Ea Rθ [K]  . (IV.6)

En adaptant les résultats de Goyal [Goyal et al., 2007], le module d'Young est modélisé en fonction de la température par :

E (θ) = 2, 8.109  0, 5 − arctan  θ[◦C]−140 20  π  + 1, 6.108Pa (IV.7)

Le coecient de Poisson est xé à ν = 0, 4 [Cogswell, 1992].

La capacité calorique est modélisée à l'aide d'une dépendance linéaire tandis que la conductivité thermique est prise constante.

Air Comme décrit section III.2.1.a, la résolution est eectuée sur l'ensemble du do- maine constitué du polymère, de l'air et du composite. Des paramètres matériaux doivent donc être aectés à l'air et au composite. Pour l'air, les paramètres méca- niques sont xés de manière à ne pas inuencer la résolution dans le polymère. Le module d'Young est choisi très faible, le coecient de Poisson est xé à 0 et les para- mètres visqueux décrivent un comportement Newtonien à viscosité très basse. Tous ces paramètres sont récapitulés dans le tableau IV.1.

Un soin plus important est à porter au choix des paramètres thermiques. D'abord, l'auto-échauement de l'air est négligeable face au terme d'auto-échauffement dans le polymère. Numériquement, il n'est simplement pas pris en compte. Le module de perte, nécessaire au calcul de la dissipation visqueuse de l'équation (II.112), est donc xé à 0 pour l'air. La conductivité et la capacité thermique de l'air immobile à 20◦C sont retenues :

k = 0.026 Wm−1K−1

ρc = 103Jm−3K−1. (IV.8)

La diusivité thermique k/ (ρc) de l'air est donc environ 100 fois plus importante que celle du polymère. Toutefois, son eusivité, de l'ordre de √kρc ∼ 5 JK−1m−2s−0.5 est négligeable devant celle du PEEK, de l'ordre de 500 JK−1_m−2_s−0.5_{. L'air aura donc}

vraisemblablement peu d'inuence sur la thermique dans le directeur d'énergie.

Composite An d'appliquer des conditions aux limites réalistes au système, la réso- lution est eectuée dans les deux plaques de composite. Néanmoins, le domaine d'ob- servation privilégié est l'interface et l'écoulement du directeur. Dès lors, les plaques ne sont modélisées qu'à l'aide d'un matériau isotrope. Ses propriétés mécaniques sont les propriétés transverse du composite, ceci an de transmettre au mieux les eorts appliqués par la sonotrode dans l'épaisseur de la plaque.

1.1.c Conditions aux limites

Symétries An d'assurer les conditions de symétrie sur la frontière de gauche de la gure IV.3, les composantes horizontales de la vitesse et du déplacement sont imposées nulles et le domaine est isolé thermiquement. En toute rigueur, la périodicité des di- recteurs d'énergie impose les mêmes conditions de symétrie sur la frontière latérale Γd.

Toutefois, dans l'approche retenue, les lois de comportement des diérents matériaux sont les mêmes, et seuls les paramètres matériaux varient en fonction des positions des level-set. Dans le problème d'écoulement, l'air est considéré comme incompressible. En imposant une vitesse horizontale sortante nulle sur cette frontière, il ne pourrait

pas s'échapper, et l'écrasement de directeur ne pourrait pas avoir lieu. Dans cette si- mulation bidimensionnelle, à défaut de pouvoir simuler un matériau compressible, la frontière Γdest laissée parfaitement libre. Ceci permet dans un premier temps d'étudier

l'écrasement du directeur d'énergie en autorisant l'air à s'échapper. Il faut également remarquer qu'à terme, une simulation tridimensionnelle permettrait d'assurer l'évacua- tion de l'air dans la direction d'avance de la sonotrode. Cette remarque vaut aussi pour le procédé réel où l'eet tridimensionnel permet probablement d'aider l'évacuation de l'air et donc la fermeture de l'interface (cf. section 2.3 (p. 27)).

Autres conditions aux limites Les conditions aux limites sur la frontière Γsup des

systèmes (II.110) et (II.120) sont appliquées perpendiculairement à la surface. Seule la composante verticale du déplacement est xée. L'amplitude de vibration kak est xée à :

kak = 3.10−5m. (IV.9)

En se référant aux essais statiques discutés chapitre I, la force équivalente d'écrasement est traduite par une distribution de contrainte normale d'intensité :

k¯sk = 6.106Pa. (IV.10)

Dans le problème élastique, le déplacement de la frontière inférieure Γinf est imposé

nul :

u = 0 sur (Γinf) . (IV.11)

Dans le problème d'écoulement, la plaque inférieure est supposée rigide, et la vitesse verticale est supposée nulle sur la surface Γ0 :

v · y = 0 sur (Γ0) . (IV.12)

Ceci permet de s'assurer que la level-set modélisant la plaque inférieure reste immobile, c'est-à-dire confondue avec la frontière du maillage et donc les arrêtes. On élude ainsi les problèmes de contact discutés section III 2.2 (p. 106) puisqu'une discontinuité est possible. Cette condition est assurée en bloquant les degrés de libertés de Γ0, dénie

comme une surface physique lors du maillage.