Contact

Nous avons expliqué en introduction que la gestion du contact est nécessaire pour une meilleure description de la physique et pour d'éventuelles considérations de phé- nomènes de cicatrisation. D'un point de vue numérique, la description d'une géométrie telle que celle présentée gure III.14, n'est pas possible avec une unique level-set. Si le contact de deux interfaces Γ1 et Γ2 a lieu dans un élément e1, une unique level-set ψ

de degré 1, ne permet pas de décrire ces deux interfaces. De même, Guetari [Guetari, 2005] montre que la description d'un coin dans un élément à l'aide d'une unique level-set entraîne un rognage : sans traitement particulier, les coins sont généralement biseau-

tés. Nous proposons donc dans cette section deux méthodes numériques de gestion du contact dans une résolution éléments nis eulérienne.

2.2.a Contact naturel

La première technique, la plus simple, consiste à décrire les deux surfaces à l'aide de deux level-sets distinctes que l'on propage successivement. Dans le cadre eulérien retenu, il n'existe qu'un seul champ de vitesse. Les deux surfaces libres peuvent se rapprocher, mais si elles sont en contact, chaque point de la surface possède la même vitesse. Les deux matériaux ne peuvent donc pas s'interpénétrer. En outre, la continuité du champ ne permet pas de traiter le contact glissant sans enrichissement.

Limite Si les deux surfaces libres évoluent librement, certains éléments sont traversés par les deux iso-zéros (cf. gure III.15a). Une interpolation classique linéaire ou même un enrichissement à l'aide d'une discontinuité de gradient ne permet pas de décrire les deux discontinuités de gradients aux interfaces. La gure III.15b montre qu'une interpolation originale, autorisant deux discontinuités de gradient dans l'élément, est nécessaire. Un sous-découpage adéquat de l'élément serait alors indispensable pour évaluer précisément les intégrales (cf. g. III.15c). De plus, le déplacement des level-sets poserait toujours le problème d'implémentation lié au transport de discontinuités traité section 3.1.a. Le cas test suivant permet de conrmer la nécessité d'un enrichissement spécique.

Un traitement complet de ce type de problème est envisageable, mais les traitements numériques associés sont très complexes et devront faire l'objet d'approfondissements ultérieurs.

(a) Deux level-sets traversent un élément.

(b) Interpolation avec enrichissement spé-

cique. (c) Double sous-découpage.

Cas test 6 : Contact entre deux level-sets mobiles

Dans un rectangle de dimension 1 × 1, deux level-sets initiales représentent deux demi-cercles de uide newtonien de viscosité 5 (cf. gure III.16). L'air

η = 5 η = 5 η = 0.2 v= ! 1 0 " v= ! −1 0 "

(a) Géométrie et maillage. (b) Champ de vitesse et contrainte équivalente à t = 0, 4 s.

Fig. III.16: Contact entre deux level-set mobiles.

environnant est supposé newtonien de viscosité 0, 2. Sur les deux frontières gauches et droites, la vitesse est imposée normale entrante, de norme 1. Les deux frontières supérieure et inférieure sont laissées libres pour permettre à l'air de s'échapper. Le maillage est grossier an de mettre en exergue les défauts lors du contact. On observe que lorsque les surface libres atteignent les mêmes éléments au centre, l'interpolation P1+/P1 ne permet plus aux level-sets de se rapprocher. Le contact est en quelque sorte anticipé à la taille de l'élément près.

2.2.b Méthode de pénalité

An de contourner cette diculté, une méthode plus classique de contact sur surface analytique est envisagée. En considérant qu'un matériau limité par l'interface Γ1 entre

en contact avec une surface analytique Γ2, les conditions de contact, qui doivent être

assurées en chaque point x de l'interface Γ1, sont résumées par le système suivant :

  

t = 0 si δ (x) · n < 0

où n est la normale sortante, t est la force exercée par l'obstacle sur le matériau et δ est le vecteur distance du point x à l'obstacle. Ces dénitions sont résumées sur la gure III.14. Le système précédent résume la condition simple qui consiste à dire que s'il n'y a pas contact, l'eort de l'obstacle sur le matériau est nul, et si cet eort n'est pas nul, il y a contact. De plus, l'eort de contact est répulsif et il ne peut pas y avoir de pénétration.

État de l'art Le système (III.43), exprimé sous forme d'inégalités, est fortement non- linéaire. De nombreuses méthodes existent pour le résoudre numériquement. Belytschko et Neal [Belytschko et Neal, 1991] ou Chaudhary et Bathe [Chaudhary et Bathe, 1986] proposent une méthode des multiplicateurs de Lagrange. Cette méthode rigoureuse est relativement similaire à la gestion de la condition d'incompressibilité du problème de mécanique des uides. Elle demande un eort d'implémentation important qui passe par la dénition d'un nouveau vecteur d'inconnues, les multiplicateurs de Lagrange. Dans le contexte X-FEM, l'imposition de ces multiplicateurs nécessitent la recherche d'un espace d'approximation adéquat tel que proposé dans [Moës et al., 2006]. Kikuchi et Oden [Kikuchi et Oden, 1988] proposent une méthode de pénalisation reprise par Peri¢ et Owen [Peri¢ et Owen, 1992].

Principe Cette méthode de pénalisation, plus simple à implémenter, a été testée [Gue- tari, 2005,Dubois et al., 2009,Levy et al., 2009]. Elle consiste à autoriser une pénétration du matériau dans la surface analytique et à appliquer un eort de contact dépendant de cette pénétration. La force de contact induit donc un terme fortement non-linéaire dans le problème. Alors que la méthode classique consiste à imposer un eort de contact proportionnel à la pénétration, une régularisation est possible avec un eort propor- tionnel au carré de la pénétration. L'ecacité de la méthode étant très dépendante du choix du coecient de pénalisation, il est déterminé à l'aide de la matrice tangente du résidu volumique. Ceci permet d'obtenir un coecient qui soit en accord avec le pro- blème physique global. En eet, les eorts de contact ne peuvent pas être déterminés localement puisqu'ils dépendent du problème complet. Le détail de la méthode et de l'implémentation est donné en annexe D.

2.2.c Discussion

La méthode de contact par pénalité permet une implémentation rapide sans né- cessiter de stockage numérique supplémentaire. Dans le cadre retenu de dénition des surfaces par level-set, elle est très ecace, puisque la pénétration est directement connue en chaque point, via le champ level-set. Néanmoins, nous avons considéré que le maté- riau vient au contact d'une surface analytique. Cette surface ne dénit pas de matériau

et possède donc les propriétés de l'air dans le formalisme que nous nous sommes donné. D'autre part, cette surface analytique décrit un obstacle indéformable. An de simuler le contact de deux corps déformables, des développements supplémentaires sont néces- saires. Une résolution itérative avec interface maître et interface esclave semble alors incontournable.

La résolution du problème avec contact pénalisé ajoute une forte non-linéarité au problème et nécessite une dizaine d'itérations de Newton-Raphson avant convergence, comme le montre le cas test en annexe D.