1.1.a Équilibre mécanique
Comme évoqué à la section I. 1.3.a (p. 18), les plaques composites sont trop nes pour qu'une onde mécanique se propage dans leur épaisseur. A l'échelle des directeurs d'énergie, l'équilibre dynamique est donné par :
ρdv
dt = ∇ · σ + f . (II.1)
Le terme de force volumique f ne concerne que la gravité. Il est de l'ordre de :
La vitesse v dans le directeur d'énergie est la superposition de deux vitesses. La pre- mière, due aux vibrations, peut être estimée en considérant que le haut du directeur a le même déplacement que la sonotrode, soit :
kvvibk ∼ aω cos(ωt) ∼ 3m/s, (II.3)
où a = 20 µm est l'amplitude de vibration de la sonotrode et ω = 2πf sa pulsation. On trouve : ρd 2v vib dt ∼ ρaω2 ∼ 108 N/m3. (II.4)
La seconde, due à l'écrasement, a été estimée dans l'équation (I.30) à une valeur large- ment inférieure à kvvibk. Les eets dynamiques de l'écrasement sont donc naturellement
négligeables devant les eets dynamiques de vibration. En considérant un comporte- ment élastique du matériau avec un module d'Young E ∼ 109Pa et une déformation
due à la vibration de l'ordre de kε0k ∼ 0.1, le terme ∇.σ peut être approché par :
∇.σ ∼ E kε0k h ∼ 1012 N/m 3 (II.5) et donc ρd 2v vib dt << k∇.σk . (II.6)
Le système peut être considéré à l'équilibre statique, même pour les grandes vitesses engendrées par la vibration de la sonotrode, à 20 kHz. Les termes de gravité et d'inertie pouvant être négligés, l'équilibre mécanique dans le directeur est régit par :
∇.σ = 0 sur (Ω) (II.7)
Remarque : Bien que le développement présenté par la suite soit eectué sous cette hypothèse d'équilibre statique, une étude plus générale prenant en compte les termes dynamiques est présentée en annexe B.3
1.1.b Loi de comportement
Incompressibilité Le polymère est supposé incompressible se qui se traduit par la condition :
∇.v = 0. (II.8)
Il en résulte que la contrainte de Cauchy σ n'est connue qu'à une contrainte hydro- statique près. La loi de comportement ne permettra de déterminer qu'un tenseur des
extra-contraintes :
Σ = σ − pI (II.9)
où I est le tenseur identité d'ordre 2 et p est le multiplicateur de Lagrange permettant d'assurer la contrainte d'incompressibilité (II.8).
Loi de Maxwell Le chauage nécessaire au soudage se fait par dissipation d'éner- gie mécanique. A n de pouvoir modéliser de manière réaliste cette dissipation, la loi de comportement doit être adaptée. Bien qu'en pointe de directeur, des phénomènes de plasticité puissent apparaître, une loi de comportement visco-élastique semble su - sante, en première approche, pour décrire la vibration du directeur et son écoulement, en particulier lorsqu'il atteint des températures supérieures à la température de transi- tion vitreuse. Cette modélisation viscoélastique est conforme à ce que l'on peut trouver dans la littérature [Benatar et Gutowski, 1989, Benatar et al., 1989, Tolunay et al., 1983,Suresh et al., 2007,Nonhof et Luiten, 1996,Roylance et al., 2004].
Une loi de Maxwell en petite perturbation permet une première modélisation : λdΣ
dt + Σ = 2ηD (II.10)
où λ est le temps de relaxation de Maxwell et η est la viscosité de Maxwell. Cette loi idéale est assez peu réaliste mais a l'avantage de pouvoir être généralisée (cf. an- nexe B.2). D'autre part, l'hypothèse des petites perturbations n'est pas rigoureusement assurée. En eet les déformations dans le directeur sont de l'ordre de 10% pour la vi- bration mais deviennent bien plus élevées quand l'écrasement a lieu. Néanmoins, dans cette première étude générale, c'est l'hypothèse retenue.
1.1.c Conditions aux limites
Pour simpli er l'analyse du problème, le comportement macroscopique des plaques composites et de l'outillage est supposé connu. Les conditions limites sur les frontières supérieure Γsupet inférieure Γ0 sont donc données.
Déplacement imposé Le déplacement est supposé nul sur la frontière inférieure :
u = 0 sur (Γ0) (II.11)
et est imposé égal au déplacement de la sonotrode sur la frontière supérieure. Le dé- placement de la sonotrode est la superposition de deux déplacement : une oscillation
squ
Fig. II.2: Illustration de l'évolution temporelle du déplacement imposé sur Γsup.
harmonique due à la vibration de la sonotrode et un déplacement lent du à l'écrasement des directeurs (cf. gure II.2) :
u = ud(t) + a sin (ωt) sur (Γsup) (II.12)
D'autre part la frontière latérale Γσ est supposée libre :
σ.n = 0 sur (Γσ) (II.13)
Pour alléger les écritures, nous dé nissons la frontière de Dirichlet Γu= Γ0∪ Γsup. En
dé nissant :
a = ud= 0 sur (Γ0) , (II.14)
on peut écrire, de manière générale :
u = ud(t) + a sin (ωt) sur (Γu) . (II.15)
Condition initiale A l'instant initial, le déplacement est supposé nul et la con gu- ration libre de toute contrainte :
Σ (t = 0) = 0 σ (t = 0) = 0 u (t = 0) = 0 sur (Ω) . (II.16)
Fig. II.3: Les deux échelles de temps.
1.1.d Spéci cité de la condition d'écrasement sous vibration
Dans le cadre adopté, le directeur est soumis à une double sollicitation. La condition limite (II.15) fait intervenir simultanément les eets de l'écrasement et de la vibration. Il est important de noter que ceux-ci se font sur deux échelles de temps diérentes. Le terme udest appliqué sur un temps long, qui est le temps total du procédé, tandis que
la vibration a sin(ωt) se fait sur un temps court, lié à la vibration de la sonotrode. Verrou Seule une résolution numérique du problème permettra à terme de prendre en compte les couplages des diérentes physiques et l'évolution de la géométrie. L'ap- plication de cette double sollicitation dans un cadre de résolution numérique doit donc être envisagée. Mais l'application directe de cette condition limite nécessiterait une discrétisation temporelle su samment ne pour décrire chaque cycle ultrasonore. La fréquence ultrasonore étant de 20 kHz, le nombre de pas de temps serait alors de l'ordre de 106 comme illustré sur la gure II.3. Dans un cadre de résolution classique une telle
discrétisation est inenvisageable.
1.2 Thermique
Comme montré précédemment, l'écoulement à l'interface et l'évolution de tempé- rature sont intimement liés. La résolution simultanée des deux problèmes est donc nécessaire. Cette section présente la modélisation thermique que nous avons retenue. 1.2.a Bilan énergétique et terme source
De manière classique le bilan énergétique s'écrit : ρde
dt = ∇.k∇θ + σ : dε
où e est l'énergie interne et k la conductivité thermique du polymère. En considérant une décomposition de la déformation ε en une partie élastique et une partie visqueuse, nous pouvons appliquer des concepts de thermodynamique avec variable interne, comme par exemple dans [Lemaître et al., 1996]. En considérant que l'élasticité ne provient que d'eets entropiques, l'équation de la chaleur précédente peut s'écrire sous la forme :
ρcdθ
dt = ∇.k∇θ + σ : dε
dt sur (Ω) (II.18)
En prenant en compte les eets d'élasticité énergétique, on peut se ramener à une équa- tion de la même forme avec un facteur α, qui détermine la proportion d'élasticité entro- pique, devant le terme σ : dε/dt. Peters et Baaijens [Peters et Baaijens, 1997] l'utilisent par exemple dans une modélisation d'écoulement visco-élastique thermo-dépendant. 1.2.b Conditions aux limites
Isolation Le point clef du soudage est l'augmentation de température au niveau de l'interface, due à la dissipation d'énergie mécanique en énergie thermique. A n de s'assurer qu'aucune quantité d'énergie autre n'est apportée au système par conduction sur la frontière, le domaine Ω est considéré comme isolé.
Taille du domaine On prend soin de dé nir une taille de domaine Ω su samment grande pour que l'augmentation de température localisée au niveau de l'interface ne soit pas in uencée par la condition limite d'isolation. En eet, le PEEK ayant une diusivité thermique d'environ 10−7 m2
/s, en considérant un domaine Ω de 3 mm environ, le temps
nécessaire pour que la température diuse dans l'ensemble du domaine est d'environ 10 s, bien supérieure à la durée du procédé.
La condition limite thermique s'écrit donc :
k∇θ.n = 0 sur (Γ) . (II.19)
où n est la normale sortante à la frontière.
La condition initiale du problème thermique s'écrit :
θ (t = 0) = θ0 sur (Ω) (II.20)