Discrétisation

La discrétisation du problème s'eectue ensuite de manière classique en approxi- mant les espaces H1_{(Ω), H}1

0(Ω) et L2(Ω)par des espaces vectoriels Hh1(Ω), H0,h1 (Ω)

et L2

h(Ω) de dimensions nies. Les vecteurs de fonctions d'interpolations {N (x)} T

permettent alors d'écrire les champs U (x) ∈ L2

h(Ω)comme :

U (x) = {N (x)}T · {X} . (III.8)

U (x)est alors représenté par le vecteur colonne inconnu {X}. Par la suite nous appel- lerons {Ni(x)}T les fonctions d'interpolation et {Xi}les vecteurs colonne d'inconnues

où i prend respectivement la valeur u, v, p et θ pour les champs respectivement de déplacement u, de vitesse v, de pression p et de température θ.

1.2.a Interpolations

Le logiciel GMSH [Geuzaine et Remacle, ] est utilisé pour créer un maillage de triangles (ou de tétraèdre, en trois dimensions). Bien que de nombreuses interpolations soient possibles, les interpolations lagrangiennes utilisées permettent aux inconnues de représenter les valeurs des champs en certains points physiques (les n÷uds, par exemple).

La discrétisation des champs à l'aide de fonctions d'interpolations permet alors d'écrire les formulations faibles précédentes sous forme discrète :

Fe(Xu) = 0 ∀u∗ ∈ H_0,h1 (Ω)

Ft(Xθ) = 0 ∀θ∗∈ H0,h1 (Ω)

Fv(Xv, Xp) = 0 ∀v∗∈ H_0,h1 (Ω) ∀p∗∈ L2_h(Ω) .

(III.9) En choisissant un ensemble de fonctions test, on peut alors écrire un vecteur de résidus à éliminer :

{Fi(X)} = {0} (III.10)

où i ∈ {e, t, v}. En appliquant une méthode classique de Galerkin, les fonctions test sont choisies comme étant les fonctions d'interpolation.

1.2.b Cas particulier de la formulation mixte

Condition LBB La formulation mixte (III.7) est résolue en recherchant un vec- teur d'inconnus {X} formé de la concaténation du vecteur inconnu vitesse et du vec- teur inconnu pression. Le problème mixte à résoudre est un problème d'écoulement

(a) P2/P1 (b) P1+/P1

Fig. III.2: Interpolations admissibles pour la vitesse et la pression

sous contrainte d'incompressibilité. Babu²ka [Babu²ka, 1973] et Brezzi [Brezzi, 1974] montrent que la condition suivante, également connue sous le nom de condition inf-sup, doit être remplie :

inf p∗_∈L2 h(Ω)\{0} sup v∈H1 0,h(Ω)\{0} R Ωp ∗_{∇ · v} kvk₁kpk₀ ≥ k0> 0 (III.11)

où kk1 et kk0 sont les normes respectives de H1(Ω) et L2(Ω). Cette condition ne

peut être remplie que pour des choix particuliers d'interpolations pour les champs p∗

et v. Une interpolation P2 pour la vitesse et P1 pour la pression permet par exemple d'assurer la condition inf-sup [Zienkiewicz et al., 2009].

Elément P1+ / P1 Arnold et al. [Arnold et al., 1984] proposent une interpolation originale assurant la condition inf-sup, le MINI élément. Une interpolation P1 est uti- lisée pour le champ de vitesse et de pression, mais l'interpolation du champ de vitesse est enrichi d'un nouveau degré de liberté par élément, appelé degré bulle. Cette fonc- tion d'interpolation est une fonction Lagrangienne d'ordre 3 qui s'annule sur le bord de chaque élément. Ainsi, la connectivité de ce degré de liberté est limité aux n÷uds de l'élément courant.

Une élimination locale de la bulle, par éléments, peut alors être eectuée pour réduire le nombre de degrés de liberté avant de résoudre le problème global. C'est ce que Basset [Basset, 2006] appelle la condensation de la bulle. Même sans eectuer cette résolution locale, le degré bulle n'interagissant pas avec les éléments voisins, les matrices engendrées ont une largeur de bandes inférieure à une interpolation P2/P1. En eet, comme le montre la gure III.2a, pour une interpolation P2/P1, les degrés d'ordres supérieurs en vitesse, qui sont les valeurs du champ au milieu de chaque arête, induisent une connectivité entre deux éléments voisins.

Tab. III.1: Nombre de degré de liberté par n÷ud dans un maillage régulier pour le problème en vitesse / pression.

P1+/P1 P2/P1

2 dimensions 7 9

3 dimensions 19 22

En considérant un maillage régulier, on peut estimer le nombre de degrés de libertés global engendré par ces deux interpolations :

P2/P1 : En deux dimensions, deux degrés de libertés en vitesse par arête, 2 degrés de liberté en vitesse par n÷ud et 1 degré de liberté en pression par n÷ud. Pour un maillage régulier, en deux dimensions, il y a trois fois plus d'arêtes que de n÷uds. Soit 9 degrés de libertés par n÷ud.

En trois dimensions, il y a six fois plus d'arêtes que de n÷uds, soit 22 degrés de libertés par n÷uds.

P1+/P1 : En deux dimensions, 2 degrés de libertés en vitesse par n÷uds, 1 degré en pression par n÷ud et 2 degrés en vitesse par triangles (tétraèdre en trois dimensions). En deux dimensions, avec deux fois plus d'éléments que de n÷uds, il y a donc 7 degrés de libertés par n÷uds.

En trois dimensions, il y a 5 tétraèdres par n÷uds, soit 19 degrés de libertés par n÷uds.

L'interpolation P1+/P1 donne donc moins de degrés de liberté qu'une interpolation P2/P1 pour le même nombre de n÷uds. Néanmoins, le degré bulle ajouté ne permet pas de gagner en précision, contrairement à l'interpolation d'ordre élevée P2/P1.

Cas test 1 : Compression homogène

Un cas test de compression homogène a été eectué pour valider la conver- gence des formulation avec interpolation P2/P1 et P1+/P1. Un problème d'écoulement newtonien avec η = 1 est résolu sur un carré de dimension 1 × 1. Les conditions limites sont récapitulées gure III.3. Le cas test est homogène, Dxx = −Dyy = 1 et Dxy = 0. Les résolutions avec interpolation

P1+/P1 et interpolation P2/P1 donnent bien la solution exacte. Comme le montre la gure III.4. La contrainte d'incompressibilité est bien assurée au niveau élémentaire pour les deux types d'interpolations, à la précision numé- rique près.

Fig. III.3: Cas test d'écrasement incompressible, conditions limites.

(a) Interpolation P1+/P1, ∇ · v. (b) Interpolation P2/P1, ∇ · v.

Fig. III.4: Cas test de compression homogène, résultats.

1.2.c Cohérence entre les physiques

Suivant les applications, l'une ou l'autre des interpolations peut être utilisée. Néan- moins dans un cadre de résolution multiphysique, il est préférable d'utiliser les même interpolations {Ni}T pour les diérents champs physiques. Ceci permet en eet d'être

cohérent quant au stockage des données et d'éviter des étapes de projections. De ma- nière générale, une interpolation P1+/P1 sera utilisée pour le champ de vitesse et de pression et des interpolations P1 pour les champs de déplacement u et de température θ. Nous avons par ailleurs vérié sur de nombreux cas la concordance des résultats entre les approximations d'ordre 2 et d'ordre 1. Bien que l'approximation P2 permette de gagner en précision, elle perd son intérêt lors du calcul des vitesses normales à une level-set d'ordre 1. Par soucis de cohérence, une interpolation P1 est donc retenue.