Source additionnelle due aux h´et´erog´en´eit´es sous-pixel

Par source additionnelle, nous entendons la pr´esence de coefficients d’´echelle dans le champ de rayonnement r´esultant qui ne seraient pas apparus si le milieu n’´etait pas fluctuant aux ´echelles inf´erieures `a celle des pixels d’approximation, autrement dit, si les coefficients d’on-delettes hα, ψ1i ´etaient tous nuls.

3.7.2.2.1 “Cascade inverse d’´energie” en deux ´etapes

On ne consid`ere ici que le cas b) des interactions de la figure 3.5, mais le raisonnement peut ˆetre tenu avec l’interaction correspondant au cas c). Ces interactions entre ´echelles d´efinissent une “cascade inverse d’´energie” en deux ´etapes (fig. 3.21) : supposons que le rayonnement incident soit homog`ene. En premi`ere ´etape, l’interaction avec le milieu h´et´erog`ene cr´ee des h´et´erog´en´eit´es jumelles dans le champ (cas b) de la figure 3.17). Dans le champ att´enu´e (direction de propagation), ces h´et´erog´en´eit´es cr´e´ees sont de signe oppos´e. Dans le champ diffus r´esultant de cette interaction, les h´et´erog´en´eit´es cr´e´ees sont de mˆeme signe. Dans une deuxi`eme ´etape, ces h´et´erog´en´eit´es cr´e´ees interagissent `a leur tour avec les h´et´erog´en´eit´es du milieu (cas c) de la figure 3.20) : le r´esultat est la production de fluctuations de type fonction d’´echelle.

La pr´esence de fluctuations `a petite ´echelle dans le champ nuageux suffit donc `a produire en deux interactions une remont´ee d’´energie de cette ´echelle vers l’´echelle du pixel

d’ap-3.7. PREMI `ERES ANALYSES MULTIR ´ESOLUTIONS DES INTERACTIONS 81

proximation (fig. 3.21 ). Ce m´ecanisme bas´e sur l’interaction de deux ondelettes de mˆeme ´echelle 2^−j avec j ≥ J, est `a l’origine d’une source additionnelle de rayonnement `a l’´echelle 2^−J du pixel d’approximation due aux interactions non-lin´eaires sous-pixel : si on n´eglige ces interactions `a petite ´echelle, on n´eglige cette source additionnelle. Il faut noter que si les h´et´erog´en´eit´es du milieu rencontr´ees dans les deux ´etapes sont de mˆeme signe, la source additionnelle cr´e´ee est de signe positive dans le champ r´eduit, et n´egative dans le champ diffus induit. Nous reviendrons plus loin sur cet aspect.

Le vocabulaire employ´e (cascade inverse d’´energie) est un peu “provocateur”, en tous cas pour ceux qui ´etudient la turbulence. Le mot cascade est en effet r´eserv´e et tradition-nellement associ´e `a la description ph´enom´enologique de la turbulence par Richardson ; cette cascade transf`ere l’´energie des grandes vers les petites ´echelles. Quand il s’agit de transfert d’´energie des petites vers les grandes ´echelles, la communaut´e de la turbulence pr´ef`ere parler de “backscattering” d’´energie, mais le terme est source d’ambigu¨ıt´e dans le domaine du trans-fert radiatif. Ce qui est propos´e ici est bien une tentative de description ph´enom´enologique de la remont´ee d’´energie dans les ´echelles dans les processus de transfert radiatif en milieu h´et´erog`ene.

3.7.2.2.2 Efficacit´e d’interaction

On rappelle ici les valeurs des coefficients de connexion pour l’AMR de Haar donn´ees au paragraphe 3.6.1.1 : a)^+∞R −∞ ϕ_J,k(x)ϕ_J,k(x)ϕ_J,k(x)dx = 2^J2 b)^+∞R −∞ ψ_j1,k1(x)ψ_j1,k1(x)ψ_j3,k3(x)dx = ( 2^j32 −2^j32 avec j₃< j₁ c)^+∞R −∞ ψ_j1,k1(x)ψ_j1,k1(x)ϕ_J,k3(x)dx = 2^J2 (3.102)

Il est `a noter qu’il n’y a pas d’´echelles d’h´et´erog´en´eit´e privil´egi´ees dans ce m´ecanisme de remont´ee d’´energie : en effet, ^+∞R

−∞

ψ_j1,k1(x)ψ_j1,k1(x)ϕ_J,k3(x)dx = 2^J2 , ∀j1 ≥ J. La valeur du tenseur de connexion (2^J2) peut ˆetre comprise comme l’efficacit´e de l’interaction. Cette efficacit´e est ind´ependante de j₁. Donc les diff´erentes ´echelles des h´et´erog´en´eit´es nuageuses ont la mˆeme capacit´e d’interaction sur les grandes ´echelles. Ce m´ecanisme d’interaction entre ´echelles n’est pas plus efficace que le m´ecanisme d’interaction entre les fluctuations `a l’´echelle des fonctions d’´echelle (cas a). Dans le cas de l’AMR de Meyer, les efficacit´es d’interaction ont ´egalement ce caract`ere d’invariance d’´echelle. Les figures 3.22 montrent les valeurs maxi-males des coefficients de connexion d’interaction pour les situations de remont´ee d’´energie entre ´echelles ^+∞R

−∞

ψ_i(x)ψ_i(x)ψ_j(x)dx (avec J ≤ j et J ≤ i pour l’AMR de Haar, et J ≤ j ≤ i pour l’AMR de Meyer) , et ^+∞R

−∞

ψ_i(x)ψ_i(x)ϕ_J(x)dx (avec J ≤ i). La convergence des courbes vers le point le plus `a droite et d’ordonn´ee 1 confirme que pour l’AMR de Haar et de Meyer, la valeur de ^+∞R

−∞

ψ_i(x)ψ_i(x)ϕ_J(x)dx est ind´ependante de l’´echelle i. Pour l’AMR de Meyer, contrairement `a l’AMR de Haar, l’interaction produisant une ondelette ψ<sub>j</sub> `a partir de deux ondelettes ψ_i `a plus petite ´echelle d´epend de l’´echelle i, et l’efficacit´e d’interaction est maximum pour i − j = 2 et i − j = 3. On peut constater la ressemblance de ces courbes.

ψ ψ κ = = = = = = = ₌ ! "#!$

(a) AMR de Haar

ψ ψ κ = = = ! = " = # = $ = = (b) AMR de Meyer

Fig.3.22 – Efficacit´e d’interaction pour les situations de remont´ee d’´energie dans les ´echelles.

Les diff´erentes courbes correspondent aux diff´erentes ´echelles pour l’ondelette ψ_i . κ_j est soit

une ondelette (indic´ee de 7 `a 0), soit une fonction d’´echelle (indic´ee 00).

G´en´eralement, le spectre d’´energie des signaux d’´epaisseur optique ou de contenu en eau nuageux est en loi puissance S(k) ∼ k−β avec β ∈ (1.2, 1.7). L’´energie d´ecroˆıt donc assez rapidement dans les ´echelles. Les coefficients en ondelettes du milieu varient comme 2^−jβ2. En deux ´etapes, une source additionnelle est cr´e´ee d’ordre de grandeur (2^J2)²(2^−jβ2 )². Les deux facteurs interviennent au carr´e car :

– le tenseur d’interaction (efficacit´e : 2^J2) intervient deux fois,

– le coefficient d’ondelette cr´e´e dans le champ r´esultant (premi`ere ´etape) est de l’ordre de grandeur 2<sup>−jβ</sup>2, et cette fluctuation agit `a son tour avec une ondelette pr´esente `a la mˆeme ´echelle.

La source additionnelle est donc d’ordre de grandeur 2^J−jβ.

Si on simule le transfert radiatif sur un nuage de type bruit blanc qui a autant d’´energie `

a petite qu’`a grande ´echelle (β = 0), les sources cr´e´ees seront tr`es ´energ´etiques (2^J) d’autant plus que chaque ´echelle contribuera `a cette source avec la mˆeme efficacit´e. On comprend ainsi que les h´et´erog´en´eit´es `a toutes les ´echelles d’un champ nuageux perturbent fortement les valeurs `a grande ´echelle des flux et radiances r´esultants, et que deux milieux tr`es diff´erents `a petite ´echelle produisent des quantit´es radiatives globales tr`es diff´erentes.

Ceci ´etant dit, si l’efficacit´e d’interaction des petites ´echelles j sur les grandes ´echelles est ind´ependante de j, les processus radiatifs d’interaction entre ´echelles ne sont pas invariants d’´echelles. Quand l’´echelle des fluctuations est inf´erieure au libre parcours moyen local des photons, qui d´epend de la position dans le nuage et de la direction du rayonnement, la remont´ee d’´energie dans les ´echelles sera plus faible. Un changement de comportement `a l’´echelle o`u le support de l’ondelette passe par le libre parcours moyen des photons est `a ´etudier dans le cadre de travaux sur le transfert radiatif 3D. Des ´etudes futures dans cette direction sont certainement n´ecessaires.

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