D´ecomposition adapt´ee aux probl`emes physiques sous jacent 32

A cˆot´e de ces consid´erations math´ematiques, il est important que la d´ecomposition choi-sie pour la solution le soit en fonction de motivations d’ordre physique. En effet, une bonne analyse des ph´enom`enes physiques passe par une repr´esentation ad´equate qui permette de discerner clairement ces ph´enom`enes, des comportements, des interactions, des m´ecanismes. Toute la difficult´e et tout l’int´erˆet sont d’essayer de voir les choses sous un certain angle, de se donner les moyens d’avoir ce point de vue, pour mieux mod´eliser les ph´enom`enes physiques. Tout comme l’analyse de donn´ees en statistique multidimensionnelle peut ˆetre consid´er´ee comme une technique de mod´elisation, faisant ´emerger les propri´et´es du mod`ele, des donn´ees

2.2. UTILISATION D’ONDELETTES POUR LA R ´ESOLUTION D’EDP 33

ellmˆemes [Brissaud et al. 1990], l’esprit des m´ethodes spectrales peut ˆetre de choisir un es-pace de projection qui donne une repr´esentation de la solution permettant d’orienter l’analyse et la mod´elisation.

Si par exemple les processus physiques consid´er´es montrent des interactions entre les ´echelles, il est judicieux d’avoir une repr´esentation multi´echelle des ph´enom`enes qui per-mettent de d´ecrire ces interactions. On parle ainsi commun´ement de d´ecomposition en ´echelles des ´equations [Heurtaux et al. 1992] ou de m´ethodes multi´echelles [Dahmen et al. 1995]. Prenons l’exemple de l’´equation de Navier-stokes :

∂v

∂t + (v.▽)v = ¹_ρ▽ p + ν∆v (2.36)

Elle est l’´equation d´eterministe qui d´ecrit l’´ecoulement d’un fluide visqueux, accompagn´ee de conditions aux limites et souvent de la condition d’incompressibilit´e ▽.v = 0. L’´ecoulement est caract´eris´e par un nombre sans dimension, le nombre de Reynolds R_e = ^{U L}_ν , avec U un ordre de grandeur des variations de vitesse, L une taille caract´eristique de l’´ecoulement, et ν la viscosit´e cin´ematique du fluide. La r´esolution directe de cette ´equation est difficile : la complexit´e de l’´ecoulement augmente lorsque le nombre de Reynolds croˆıt, et le caract`ere non lin´eaire de l’´equation devient tr`es probl´ematique (grande sensibilit´e aux conditions initiales). Une simulation correcte demande la repr´esentation de l’´ecoulement du fluide `a toute les ´echelles de l’´ecoulement, depuis la plus grande ´echelle L jusqu’`a la plus petite, l’´echelle de dissipation visqueuse η. Or, ^L_η = ^L

(ν3/ε)^1/4 ∽ Re^3/4 , avec ε le taux moyen massique de dissipation visqueuse. Si on raisonne en terme de grilles de r´esolutions `a adopter, cela impose en trois dimensions Re<sup>9/4</sup>points de grille dans un cube d’arˆetes L. En m´et´eorologie et oc´eanographie, on rencontre des nombres de Reynolds de 108 `a 1012, ce qui impose de 1013 `a 1027points ! Une simulation r´esolvant toutes les ´echelles dans un volume macroscopique est exclue. C’est pour cette raison que des approches statistiques ont ´et´e adopt´ees, approches bas´ees sur une description ph´enom´enologique de la turbulence par Richardson : une cascade d’´energie des grandes ´echelles vers les petites ´echelles, la plus petite ´etant l’´echelle de dissipation visqueuse, `

a travers une gamme d’´echelles appel´ees inertielles o`u il y a conservation de l’´energie. Cette description am`ene `a la pr´ediction par Kolmogorov (K41) de la fameuse pente en −5/3 du spectre d’´energie, largement v´erifi´ee exp´erimentalement.

Les processus turbulents reposent donc sur des interactions entre les ´echelles. Comme on l’a dit ci-dessus, il est alors judicieux d’avoir une repr´esentation multi´echelle des ph´enom`enes pour pouvoir d´ecrire ces interactions. La transform´ee de Fourier propose une repr´esentation multi´echelle, si on consid`ere que nombre d’onde=´echelle. [Bouchon 1999] ´etudie l’´equation de Burgers, une simplification de Navier-stokes souvent utilis´ee comme mod`ele de turbulence, `a l’aide d’une transform´ee de Fourier 3D et propose une s´eparation des ´echelles conduisant `a des m´ethodes multi-niveaux [Temam 1996].[Heurtaux et al. 1992] ´etudie cette mˆeme ´equation et, dans la d´ecomposition de l’op´erateur d’´evolution de Burgers sur une base d’ondelette, ´etudie le couplage des ´echelles et le transfert d’´energie entre elles. Qu’est ce qui fait la diff´erence entre ces deux approches ? Ce sont les propri´et´es des deux outils, transform´ees de Fourier dans un cas, en ondelettes dans l’autre, et leur ad´equation `a la physique sous-jacente.

D’apr`es [Farge et al. 1996], la transform´ee de Fourier ne convient pas pour deux raisons : la premi`ere est qu’en turbulence pleinement d´evelopp´ee, le terme convectif non-lin´eaire devient pr´epond´erant. Or, ce terme est repr´esent´e de mani`ere complexe dans l’espace de Fourier par un produit de convolution, complexe dans le sens o`u un grand nombre de modes de Fourier sont mis en jeu. L’outil Fourier n’est donc peut-ˆetre pas le plus ad´equat pour repr´esenter ce terme convectif qui dicte l’´evolution, au contraire du terme dissipatif (l’op´erateur laplacien est diagonal dans l’espace de Fourier). D’ailleurs [Bouchon 1999] ne r´ealise pas le produit (v.▽)v `a l’aide d’une convolution (car en dimension 3 une convolution coˆute beaucoup d’op´erations),

mais dans l’espace physique `a l’aide d’aller-retour (m´ethode pseudospectrale [Canuto et al. 1988]).

La seconde raison est que la solution de l’´equation de Navier stokes poss`ede une struc-ture spatiale tr`es intermittente, celle de l’´ecoulement. Cette strucstruc-ture est le r´esultat d’une succession d’interactions non lin´eaires entre des structures coh´erentes de tailles diff´erentes form´ees d’un ou plusieurs tourbillons. La repr´esentation de ces structures coh´erentes implique une localisation spatiale du champ de vorticit´e. La description de Richardson est donc loin de la r´ealit´e : les cascades d’´energie ne vont pas simplement des grandes vers les petites ´echelles : les tourbillons interagissent entre eux pour en former de plus larges, provoquant un transfert d’´energie vers les grandes ´echelles. Ainsi on parle de diffusion arri`ere d’´energie [Leith 1990], et pas de cascade inverse d’´energie car il n’y a pas de ph´enom´enologie associ´ee. Il faut donc ´etudier de nouvelles repr´esentations multi´echelles pour la solution de l’´equation qui soient mieux adapt´ees `a la structure spatiale tr`es intermittente de l’´ecoulement. La trans-form´ee en ondelettes est un bon outil pour d´ecrire de telles structures, localis´ees `a la fois en espace et en ´echelle, au moyen d’une repr´esentation ´economique [Charton 1996]. [Farge et al. 1996] utilise les ondelettes pour s´eparer ces structures du reste de l’´ecoulement. [Farge et al. 1999] pr´esente la transform´ee en ondelettes comme un outil ad´equat, pas seulement pour analyser et interpr´eter les r´esultats exp´erimentaux, mais aussi pour tenter d’envisager une th´eorie statistique de la turbulence qui soit plus satisfaisante. Cet outil permet de d´efinir de nouvelles m´ethodes num´eriques plus adapt´ees [Liandrat and Tchamitchian 1990][Charton and Perrier 1996][Fr¨ohlich and Schneider 1997][Dahmen and Schneider 1999], en particulier les m´ethodes de Galerkin-ondelette qui sont utilis´ees et exploit´ees dans ce pr´esent travail.

2.2.2 M´ethode de Galerkin-Ondelette

Les m´ethodes spectrales bas´ees sur l’utilisation de bases multir´esolutions de type ondelette consistent `a projeter l’´equation dans un espace multir´esolution, `a repr´esenter la solution f par ses coefficients d’´echelle et d’ondelettes. Si des termes non-lin´eaires ou des termes d´eriv´ees `

a diff´erents ordres apparaissent (respectivement le terme d’advection et le terme diffusif dans l’´equation de Navier-stokes), deux solutions sont possibles : soit r´ealiser les op´erations produit ou diff´erentiation dans l’espace initial de la solution, ce qui implique des allers et retours d’un espace vers l’autre – la recomposition de la solution `a partir de ces coefficients d’ondelettes pour r´ealiser dans l’espace initial les op´erations, puis `a nouveau la repr´esentation de la solution par ses coefficients d’ondelettes, et ceci `a chaque pas de temps du calcul ; soit repr´esenter ces termes dans l’espace de projection.

La premi`ere m´ethode est appel´ee m´ethode pseudospectrale, ou de collocation [Vasilyev et al. 1998]. Par exemple dans le cas du produit de deux fonctions, le produit est r´ealis´e sur les points de grille appel´es points de collocation. La consomnation en temps de calcul des allers et retours entre les espaces sera un point sensible de cette m´ethode.

La deuxi`eme m´ethode consiste `a r´esoudre enti`erement l’´equation dans l’espace de ces coef-ficients ; c’est une “vraie” m´ethode de Galerkin – appel´ee m´ethode de Galerkin-Ondelette. Ce n’est qu’en fin de calcul que l’on recompose la solution `a partir des coefficients d’´echelles et d’ondelettes solutions de l’´equation projet´ee dans leur espace. Le traitement des termes produit, d´eriv´ee, etc ., fait apparaˆıtre des coefficients appel´es coefficients de connexion [Perrier and Wickerhauser 1999][Resnikoff and Wells. 1998] qui relient les coefficients des diff´erents termes aux coefficients de la solution. Cette deuxi`eme m´ethode a ´et´e retenue ici pour ´etudier l’´equation qui d´ecrit le transfert radiatif en milieu h´et´erog`ene.

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