prise en compte de la couverture fractionnaire. [Gabriel et al. 1993] et [Gabriel and Evans 1996] ont prolong´e ces travaux en explicitant plus en d´etail la m´ethode de fermeture2. Celle-ci est bas´ee sur une d´ecomposition de type Reynolds. Cette m´ethode est g´en´eralement associ´ee aux syst`emes stochastiques d´ecrits par des ´equations diff´erentielles comportant des fonctions al´eatoires. Dans le cas de syst`eme d´eterministe, les fermetures permettent de faire la moyenne horizontale de l’´equation de transfert, et d’augmenter l’efficacit´e des calculs. Le point central de la fermeture des ´equations est le traitement du terme α′N′, qui repr´esente la corr´elation entre le champ d’extinction nuageuse (α) et le champ de radiances (N ).
1.3 Approche propos´ee dans ce travail
1.3.1 Utilisation de l’outil ondelettes
Parmi les r´ef´erences donn´ees plus haut, certaines sont associ´ees `a l’utilisation de l’outil ondelettes pour ´etudier les aspects multi´echelles de processus physiques : [Harris and Foufoula-Georgiou 2001] ´etudient l’importance radiative dans le domaine des micro-ondes de la prise en compte de la variabilit´e sous-pixel dans le cadre d’algorithme d’inversion de pluies tropicales `
a partir de mesures avec le TMI (Tropical Microwave Imager). Les fluctuations aux petites ´echelles qui ne sont pas repr´esent´ees par le mod`ele nuageux utilis´e, et ce pour des raisons techniques (filtrage n´ecessaire des hautes fr´equences), sont r´eintroduites `a l’aide de cascades entre ´echelles d´evelopp´ees sur une base d’ondelettes. [Yano, Moncrieff, Wu and Yamada 2001] et [Yano, Moncrieff and Wu 2001] ´etudient `a l’aide d’ondelettes l’organisation de la convec-tion tropicale. Plus g´en´eralement, les ondelettes et l’analyse multir´esoluconvec-tion sont utilis´ees de plus en plus en physique, g´eophysique et en sciences de l’atmosph`ere : [Weng and Lau 1994] ´etudient ´egalement la convection tropicale ; [Yamada and Ohkitani 1991] identifient les cas-cades d’energie en turbulence `a l’aide d’ondelettes de Meyer ; la dynamique atmosph´erique est ´etudi´ee au moyen d’ondelettes par [Fournier 2000], [Fournier 2002], [Fournier 2003] et [Hasegawa 2000] ; enfin, [Davis et al. 1994] et [Davis et al. 1999] ´etudient les structures nua-geuses `a l’aide d’ondelettes. L’analyse de la turbulence `a l’aide d’ondelettes est d´esormais une activit´e `a part enti`ere [Meneveau 1991], et utilise souvent des ondelettes continues3 : grˆace `
a cette transformation, [Arn´eodo et al. 1999] ´etudient les statistiques des champs de vitesse turbulents, [Roux et al. 2000] ´etudient les caract´eristiques multifractales d’images satellites Landsat ; [Farge et al. 1999] utilisent cette technique pour analyser en profondeur les proces-sus turbulents ; [Venugopal et al. 2003] ´etudient la turbulence dans la couche limite `a l’aide des ondelettes continues “chapeau mexicain”. Une description plus compl`ete des diff´erentes activit´es en physique et g´eophysique utilisant des ondelettes peut ˆetre trouv´ee dans [Van Den Berg 1999] et [Foufoula-Georgiou and Kumar 1994].
Cet outil “ondelette” fournit une d´ecomposition multi´echelle des fluctuations des signaux, qui contient en outre une information sur leurs localisations dans le domaine physique. La difficult´e du transfert radiatif en milieu h´et´erog`ene tient `a la prise en compte des interactions entre les ´echelles. Plus haut, nous avons ´egalement soulign´e l’importance des gradients locaux d’´epaisseur optique, qui conditionnent les flux nets horizontaux. Les processus physiques `a l’oeuvre impliquent donc des interactions locales entre ´echelles. C’est pourquoi nous pensons que l’analyse en ondelettes est plus appropri´ee que l’analyse de Fourier pour repr´esenter
2la fermeture d’´equations consistent `a prendre en compte dans ces ´equations les effets des processus phy-siques non-repr´esent´es, en les param´etrisant.
3La transform´ee en ondelette continue est un outil performant pour le traitement des signaux. On tire profit de la redondance de cette repr´esentation : elle permet une interpr´etation et un traitement de l’information plus pr´ecis. En g´eophysique, le but du traitement est par exemple la s´eparation des diff´erentes propagations d’ondes pr´esentes dans le profil sismique afin d’en faciliter l’interpr´etation physique. Cette transformation am`ene ´egalement aux techniques des maxima d’ondelettes.
ces processus de transfert radiatif, puisqu’elle propose une d´ecomposition des signaux en fluctuations ´el´ementaires, localis´ees `a la fois dans les domaines physique et de Fourier. De plus et comme nous le verrons, l’analyse multir´esolution de type ondelettes propose une ´echelle d’approximation et des ´echelles plus fines. Cette notion d’´echelle d’approximation semble bien r´epondre `a la donn´ee d’un pixel de r´esolution impos´e, que ce soit le pixel ´el´ementaire d’une grille de mod`eles de calcul, ou le pixel d’un radiom`etre satellis´e. Si l’on comprend les m´ecanismes des interactions entre les ´echelles, l’effet des h´et´erog´en´eit´es sous-pixel `a l’´echelle des pixels d’approximation, on est sur la voie de la param´etrisation des petites ´echelles et de la fermeture en transfert radiatif.
1.3.2 Technique utilis´ee : la m´ethode de Galerkin-ondelette
La technique utilis´ee est similaire `a celle de [Stephens 1986] et [Stephens 1988a] : la d´ecomposition de l’Equation du Transfert Radiatif sur une base multir´esolution. Dans notre travail, il s’agit d’une base multir´esolution de type ondelettes. On ne va plus manipuler le champ de quantit´es radiatives (les radiances) et le champ des propri´et´es optiques du mi-lieu (l’extinction), mais leurs coefficients d’´echelle et d’ondelette. Le principe de la m´ethode de Galerkin est de faire le calcul de l’interaction mati`ere-rayonnement dans l’espace de ces coefficients. L’int´erˆet de cette m´ethode est de d´ecomposer l’interaction des deux champs en interactions ´el´ementaires. La nouvelle formulation de l’Equation du Transfert Radiatif va faire apparaˆıtre des coefficients, appel´es coefficients de connexion [Perrier and Wickerhauser 1999], qui contiennent toutes les interactions entre les ´echelles. Une des questions importantes qui vont se poser concerne le choix de l’analyse multir´esolution `a utiliser, sa pertinence, et l’in-terpr´etation physique des r´esultats
Le plan de cette th`ese est comme suit : le deuxi`eme chapitre est assez math´ematique et pr´esente l’analyse multir´esolution et ses applications, en particulier celle que l’on exploite ; la m´ethode de Galerkin-ondelette. Le troisi`eme chapitre pr´esente l’Equation du Transfert Radiatif et sa d´ecomposition multir´esolution. Les coefficients de connexion sont ´etudi´es et l’information qu’ils contiennent est analys´ee. Quelques premi`eres analyses des m´ecanismes d’interaction entre ´echelles sont donn´ees. Le chapitre se termine par les premiers pas vers une formalisation multir´esolution du transfert radiatif en milieu h´et´erog`ene. Le quatri`eme chapitre d´etaille la mise au point du code calcul de transfert radiatif bas´e sur cette approche. Ce code est construit dans le but de quantifier les interactions entre les ´echelles et l’effet des h´et´erog´en´eit´es sous-pixel. Enfin, le cinqui`eme chapitre montre la comparaison des r´esultats obtenus par rapport aux code Monte Carlo et SHDOM, afin de valider nos calculs, et donne les premi`eres analyses des interactions pour deux types simplifi´es de nuage. Quelques effets radiatifs “3D” sont ´etudi´es `a l’aide de cette approche novatrice. Enfin, le m´emoire se termine par les conclusions et perspectives de ce travail.
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Chapitre 2
L’analyse multir´esolution et ses
utilisations
Nous pr´esentons dans ce chapitre les analyses multir´esolutions de type ondelettes et leurs applications. Les analyses multir´esolutions sont utilis´ees et d´evelopp´ees aussi bien par la com-munaut´e des physiciens, math´ematiciens, ou informaticiens. L’analyse multir´esolution est l’un des exemples les plus flagrants de la possibilit´e d’interaction de diff´erentes disciplines, du non-cloisonnement (n´ecessaire) des sciences, et de la richesse d’innovations math´ematiques et de leurs applications. L’histoire mˆeme du d´eveloppement de cette analyse est exemplaire : les bal-butiements de cette analyse sont g´en´eralement attribu´es `a un g´eophysicien, Jean Morlet, mo-tiv´e par la d´etection de singularit´e dans des signaux sismiques, et aid´e par un math´ematicien, Alex Grossman. Leur collaboration a conduit `a la transform´ee en ondelettes continues. La for-malisation de l’analyse a ´et´e faite ensuite par quelques math´ematiciens jusqu’aux travaux en commun de St´ephane Mallat (motiv´e par des consid´erations pratiques en imagerie) et Yves Meyer qui ont g´en´eralis´e l’analyse en ondelettes `a l’analyse multir´esolution bas´ee sur une hi´erarchie d’espaces d’approximation imbriqu´es, ce qui a conduit `a des algorithmes rapides r´ealisant la transform´ee discr`ete en ondelettes. Puis Ingrid Daubechies a g´en´eralis´e l’analyse multir´esolution en proposant l’obtention de bancs de filtres de tailles finies conduisant `a des ondelettes `a support compact performantes num´eriquement. Les d´eveloppements des ann´ees 90 sont all´es en direction de performances num´eriques, de l’´etude et de la r´esolution `a partir d’ondelettes des ´equations aux d´eriv´ees partielles. Quelques d´etails concernant l’histoire de cette ´epop´ee math´ematique des ann´ees 1980-1990 se trouvent dans l’ouvrage de vulgarisation de [Bulke Hubbard 1995]. Beaucoup de disciplines se sont donc int´eress´ees au d´eveloppement des analyses multir´esolutions. Pourquoi cet engouement ? Parce que ces analyses prolongent l’analyse de Fourier dans une direction int´eressante, qui est l’introduction de l’information sur la localisation spatiale des fluctuations d’un signal.
Cette interdisciplinarit´e fait que les motivations sont diff´erentes : on exploitera telle pro-pri´et´e des ondelettes et des analyses multir´esolutions en fonction de l’utilisation qu’on en fait. Certains utilisent les ondelettes pour leur r´egularit´e, d’autres pour leur simplicit´e et leur rapidit´e de calcul. Certains utilisent les ondelettes comme une nouvelle m´ethode spectrale pour r´esoudre les ´equations aux d´eriv´ees partielles (edp) [Goedecker 1998] dans un but d’ho-mog´en´eisation [Dumont 1996][Brewster and Beylkin 1995][Beylkin et al. 1998], d’analyse et de mod´elisation de ph´enom`enes [Farge et al. 1999]. Notre approche se situe dans cette derni`ere cat´egorie.
Nous pr´esentons dans ce chapitre les analyses multir´esolutions de type ondelettes. Cette pr´esentation ne se veut pas exhaustive. Le lecteur peut se r´ef´erer `a [Mallat 1998] pour un tour plus complet du sujet. Quelques domaines d’applications sont pass´es en revue. Nous abordons ensuite l’utilisation des ondelettes pour la r´esolution des ´equations aux d´eriv´ees partielles. Sont
d´etaill´es le principe et l’int´erˆet des m´ethodes spectrales utilisant des ondelettes, en particulier la m´ethode de Galerkin-Ondelette utilis´ee dans ce travail. Les coefficients de connexion, essentiels dans notre ´etude, sont introduits `a cette occasion et leurs expressions sont donn´ees.