(a) Direction de pro-pagation 0 1 2 3 4 5 6 7 −4 −2 0 2 4 6 8 transport exact Haar HM Meyer différence finie
(b) Transport du rayonnement `a travers une atmosph`ere transparente
Fig. 4.5 – Transport horizontal du rayonnement, r´ealis´e au moyen de diff´erentes
mul-tir´esolutions.
un processus `a cascade born´ee utilis´e par la suite), les trois calculs donnent des r´esultats diff`erents. On visualise sur la figure 4.5 le transport exact (obtenu par une translation du si-gnal d’origine, respectant et l’angle d’incidence et l’´epaisseur du nuage), ceux obtenus avec les AMR de Haar, Meyer, le calcul hybride “HM”, et avec un calcul utilisant le sch´ema classique de diff´erences finies centr´ees (+1/2,-1/2), ceci afin de v´erifier si, en pratique, la diff´erentiation de Haar et ce sch´ema sont ´equivalents [Beylkin 1992]. On observe que les sch´emas diff´erences fi-nies et Haar donnent des r´esultats parfaitement confondus, ce qui ´etait pr´evisible. Les sch´emas Meyer et hybride “HM” donnent aussi des r´esultats parfaitement confondus, ce qui est remar-quable. Les r´esultats obtenus avec l’AMR de Meyer (et donc ´egalement HM ) sont proches du transport vrai, avec toutefois la pr´esence de bruit `a petite ´echelle avant la discontinuit´e cen-trale du signal, manifestation du ph´enom`ene de Gibbs inh´erent `a l’utilisation des ondelettes de Meyer. Le transport avec d’AMR de Haar n’est pas tr`es bon pour ce type de signal, alors qu’il est tout `a fait comparable avec le sch´ema de Meyer pour des signaux plus r´eguliers. Le transport des petites ´echelles ne se fait donc pas correctement. Il est assez surprenant que le sch´ema de diff´erences finies produise ce bruit car un tel sch´ema a plutˆot tendance `a filtrer les signaux (voir annexe D). On peut remarquer que la pr´esence de bruits avant la discontinuit´e centrale pour le calcul avec Haar n’est pas `a la plus petite ´echelle. La comparaison des spectres d’´energie de ces signaux n’est pas montr´ee ici, mais ces spectres sont tous tr`es proches : c’est bien dans la phase qu’il y a une diff´erence, d’o`u r´esulte la diff´erence des signaux reconstitu´es.
4.4 Aspects num´eriques concernant les composants de connexion
L’int´erˆet de voir apparaˆıtre les deux composants de connexion tenseur d’interaction et matrice de diff´erentiation dans l’ETR g´en´erale est aussi num´erique. Le calcul de ces compo-sants se fera une fois pour toutes au d´ebut de la simulation, et ils seront juste appel´es par
le programme au cours de celle-ci.
4.4.1 Vacuit´e du tenseur d’interaction
Le tenseur d’interaction est le composant qui est num´eriquement le plus lourd : il est de dimension trois et pour 2L points, il est de taille 2L× 2L× 2L. En fonction des AMR, ce tenseur est plus ou moins vide. L’exploitation de la vacuit´e du tenseur d’interaction sera d’un grand int´erˆet num´erique afin d’aller en direction d’un sch´ema de calcul dit adaptatif et de sauver de la place m´emoire. Le calcul sera effectivement adaptatif si les z´eros pr´esents dans la matrice ne sont pas appel´es. Pour cela, il faut rendre les matrices ´eparses, c’est `a dire ne garder en m´emoire que les adresses des coefficients non nuls et leurs valeurs. Cette op´eration est int´eressante si la matrice contient moins de un tiers de valeur non-nulles. On va le voir, l’AMR de Haar est tr`es int´eressante de ce point de vue.
La table 4.2 donne le pourcentage de vide pour le tenseur d’interaction de Meyer pour diff´erents seuils de coefficients et pour les ´echelles de r´esolution L = 7 (on d´efinit donc 2L= 128 points dans l’espace physique), et d’approximation J = 3 (on a donc 8 pixels d’approximation ou 8 fonctions d’´echelles ). Un calcul pr´ecis se doit de prendre en compte tous les coefficients
seuil 10−8 10−7 10−6 10−5 10−4 10−3 10−2 10−1 1
Vide en % 10.1 20.9 38.6 57.6 71.4 82.9 92.5 98.3 99.87
Tab. 4.2 – Vacuit´e du tenseur d’interaction en fonction du seuil AMR de Meyer
de connexion. Dans ce cas, la vacuit´e du tenseur est tr`es faible. Une ´etude est `a faire sur l’effet du seuillage des coefficients. Dans le cas de l’AMR de Haar, le tenseur est vide `a 99.94 % sans seuillage ! L’int´erˆet num´erique de l’AMR de Haar est ´evident.
4.4.2 Vacuit´e de l’op´erateur effectif d’interaction
Outre la vacuit´e du tenseur, la capacit´e de l’AMR a repr´esent´e ´economiquement les signaux est `a prendre en compte. L’op´erateur effectif d’interaction, not´e T
α Ψ2,Ψ3et d´efini au paragraphe 3.59 par : T α Ψ2,Ψ3 =X Ψ1 hα, Ψ1i (z)TΨ1,Ψ2,Ψ3 (4.15)
prend en compte la vacuit´e du tenseur d’interaction TΨ1,Ψ2,Ψ3 propre `a l’AMR utilis´ee et la repr´esentation du coefficient d’extinction par l’AMR. On visualise dans les figures 4.6 et 4.7 la vacuit´e de T
α Ψ2,Ψ3pour les deux fluctuations nuageuses horizontales utilis´ees dans le chapitre suivant. La figure 4.6 repr´esente la vacuit´e de T
α Ψ2,Ψ3dans le cas d’une fluctuation sinuso¨ıdale et au seuil de 10−1. La vacuit´e au seuil de 10−1dans le cas de l’AMR de Haar est de 95.7%, contre 90.3% pour Meyer. En outre, ce composant propose plus d’interactions entre ´echelles (termes non diagonaux) pour l’AMR de Haar que pour celle de Meyer tout simplement parce que la sinuso¨ıde est repr´esent´ee par l’AMR de Meyer au moyen seulement des fonctions d’´echelles et des ondelettes `a la plus grande ´echelle J, alors que la d´ecomposition de la fonction sinus sur l’AMR de Haar est plus fournie. Au niveau de la vacuit´e de ce composant, la propri´et´e de vacuit´e du tenseur d’interaction l’emporte toutefois sur la qualit´e de la repr´esentation du coefficient d’extinction.
4.4. ASPECTS NUM ´ERIQUES CONCERNANT LES COMPOSANTS DE CONNEXION107 0 20 40 60 80 100 120 0 20 40 60 80 100 120
(a) AMR de Haar
0 20 40 60 80 100 120 0 20 40 60 80 100 120 (b) AMR de Meyer
Fig. 4.6 – Repr´esentation standard de l’op´erateur effectif d’interaction pour une fluctuation
de type sinuso¨ıdal. 0 20 40 60 80 100 120 0 20 40 60 80 100 120
(a) AMR de Haar
0 20 40 60 80 100 120 0 20 40 60 80 100 120 (b) AMR de Meyer
Fig. 4.7 – Repr´esentation standard de l’op´erateur effectif d’interaction pour une fluctuation
La vacuit´e au seuil de 100 dans le cas de l’AMR de Haar est de 98.7%, contre 97.7% pour Meyer. Mais ce qui est plus int´eressant, c’est de regarder comment cette vacuit´e varie en fonction du seuil (table 4.3) : pour un seuillage beaucoup plus faible, l’avantage sera bien sˆur encore donn´e `a l’AMR de Haar.
seuil 10−8 10−7 10−6 10−5 10−4 10−3 10−2 10−1 1
Vide en %
AMR de Haar 94.43 94.43 94.43 94.43 94.434 94.43 94.43 94.66 98.73
Vide en %
AMR de Meyer 0.01 0.28 2.97 12.35 25.13 38.15 56.25 82.87 97.75
Tab.4.3 – Vacuit´e de l’op´erateur effectif d’interaction pour le nuage cascade born´ee en
fonc-tion du seuil
On mesure sur ces deux exemples `a quel point le choix de l’AMR est important num´eriquement. Quand le seuil est beaucoup plus faible, T
α Ψ2,Ψ3est presque autant vide pour l’AMR de Haar
et quelque soit le milieu, alors qu’avec l’AMR de Meyer, il se remplit tr`es vite. En pratique, le calcul deX
Ψ1
hα, Ψ1i (z)TΨ1,Ψ2,Ψ3 qui donne T
α Ψ2,Ψ3 est fait une fois pour toutes au d´ebut de la simulation. Si le milieu est h´et´erog`ene verticalement, ce calcul devra ˆetre fait pour chaque couche horizontale.
A cˆot´e de l’importance num´erique de la vacuit´e des composants de connexion, revenons ici sur l’importance des valeurs maximales dans la matrice de diff´erentiation hδΨ1,Ψ3i. On a vu que ces valeurs maximales jouent un rˆole dans la discr´etisation verticale `a adopter. Pour des ´echelles d’approximation J = 3 et de r´esolution L = 7, et pour les AMR de Meyer, de Haar et l’AMR hybride HM, les valeurs maximales de hδΨ1,Ψ3i sont respectivement de 176.5, 67.9 et 135.9. De ce point de vue ´egalement, l’AMR hybride HM est interm´ediaire entre les AMR de Meyer et de Haar.