Meyer `a l’´echelle la plus fine entraine un filtrage des coefficients de Haar sur toute la gamme des ´echelles (au sens de Haar).
4.3 Aspects concernant l’analyse multir´esolution
4.3.1 S´eparation des quantit´es radiatives
Un des int´erˆets de l’approche d´evelopp´ee dans ce travail de th`ese est de pouvoir d´etailler les interactions ´el´ementaires `a l’origine des valeurs moyennes des flux et radiances dans chaque “pixel” d’approximation. Les quantit´es radiatives moyennes Q, `a une certaine ´echelle et loca-lis´ees, sont proportionnelles aux coefficients d’´echelles hQ, ϕi des champs de rayonnement :
Q(k) = 2J2 hQ, ϕJ,ki avec ½
J : ´echelle d’approximation
k : indice de position, k ∈ [0; 2J− 1] (4.14) On distingue dans le calcul, d’une part les quantit´es radiatives dˆıtes `a l’´echelle, cons´equences de l’interaction du rayonnement par le champ nuageux h´et´erog`ene repr´esent´e seulement par ses coefficients d’´echelle (donc une version basse r´esolution de la variabilit´e nuageuse), et d’autre part les quantit´es radiatives dues aux interactions sous-pixel, sources additionnelles, r´esultat de l’effet des fluctuations aux petites ´echelles du champ nuageux. Les quantit´es qui sont r´esultat des interactions `a l’´echelle seront indic´ees J , et celles qui r´esultent des interactions sous-pixel via un couplage entre les ´echelles seront indic´ees sub. Ainsi, quand un calcul fera intervenir un coefficient d’ondelette du champ d’extinction, le r´esultat de cette interaction ´el´ementaire sera indic´esub.
WaveNum manipule (et fournit) donc deux familles de coefficients de champs de radiances, une famille J et une famille sub. Cet objectif de s´eparation des quantit´es radiatives a pour cons´equence une ´ecriture particuli`ere et orient´ee du code de calcul, et un doublement (ou presque) du nombre d’op´erations lors de son ex´ecution. Les deux familles de coefficients ne sont pas ind´ependantes : si les coefficients indic´esJ se calculent ind´ependamment des coefficients
sub, ces derniers en revanche d´ependent des premiers : quand une interaction ´el´ementaire fait intervenir un coefficient indic´eJ du champ de radiance et un coefficient d’ondelette du champ d’extinction, le r´esultat de l’interaction porte l’indicesub.
Ainsi, on notera par la suite, d’une part f luxJ et radianceJ, d’autre part f luxsub et radiancesub, les flux et radiances calcul´es respectivement `a l’´echelle et dus aux interactions entre ´echelles. La somme de ces quantit´es radiatives fournit le champ de rayonnement total not´e sans indice, cons´equences de la totalit´e des interactions entre le champ de rayonnement et le champ nuageux. C’est ce dernier champ de rayonnement qui sera compar´e au d´ebut du chapitre suivant avec les r´esultats de simulations des codes SHDOM et Monte Carlo, ceci afin de valider le calcul.
4.3.2 Choix de la multir´esolution
Comme nous l’avons vu aux chapitres 2 et 3, il n’y a pas de multir´esolution “parfaite”, et le choix de l’AMR va d´ependre de l’application. Dans ce qui nous pr´eoccupe, deux points sont `a consid´erer.
En premier lieu, quelle est la “vision” que nous impose l’AMR ? Nous avons vu au chapitre 2 que le principe d’Heisenberg fait qu’on ne peut pas avoir une bonne localisation des fonctions `a la fois dans le domaine spectral et dans le domaine physique. Le choix d’une AMR nous fera pr´ef´erer un domaine plutˆot que l’autre. Est-ce utile dans notre cas d’avoir cette double localisation ? Qu’entendons-nous en fait par interaction entre ´echelles : est-ce entre les ´echelles spatiales ? L’AMR de Haar propose alors une vision tr`es claire des ´echelles et des interactions.
0 20 40 60 80 100 120 140 −0.06 −0.05 −0.04 −0.03 −0.02 −0.01 0 0.01 0.02 0.03
seuillage des coefficients de Meyer
après seuillage avant seuillage
Plus petite échelle: 64 coefficients d’ondelettes
(a) Coefficients de Meyer
0 20 40 60 80 100 120 140 −0.03 −0.02 −0.01 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07
Coefficients de Haar: conséquence du seuillage appliqué aux coefficients de Meyer à la plus petite échelle
après seuillage avant seuillage
Plus petite échelle: 64 coefficients d’ondelettes
(b) Coefficients de Haar
4.3. ASPECTS CONCERNANT L’ANALYSE MULTIR ´ESOLUTION 103
Est-ce au sens des nombres d’onde ? Dans ce cas, les AMR de Meyer et de Shannon sont pr´ef´erables. Ce d´ebat est-il seulement conceptuel ? Un des objectifs de cette th`ese est d’essayer de r´epondre `a ces questions.
En deuxi`eme lieu, l’AMR utilis´e doit nous permettre un calcul pr´ecis et faisable. Le cal-cul sera pr´ecis si l’´evaluation des coefficients de connexion est bonne. Il sera faisable en consid´erant les performances actuelles et `a venir des mat´eriels informatiques, en terme de rapidit´e d’ex´ecution, de capacit´e de stockage, de m´emoire vive.
Nous d´etaillons ci-dessous les qualit´es et d´efauts des AMR de Meyer et de Haar, puis nous nous int´eressons aux aspects num´eriques concernant les composants de connexion.
4.3.2.1 AMR de Meyer versus AMR de Haar
Ces deux AMR ont ´et´e utilis´ees car elles sont tr`es oppos´ees l’une de l’autre. L’AMR de Shannon n’a pas ´et´e retenue `a cause de la tr`es mauvaise localisation de ses fonctions dans l’espace physique. L’AMR de Meyer paraˆıt ˆetre un bon compromis.
Comme nous l’avons dit, l’int´erˆet de l’AMR de Meyer est la bonne localisation des fonc-tions dans le domaine fr´equentiel. Si nous adoptons le point de vue ´echelle = nombre d’onde, l’AMR de Meyer est bien plac´ee pour ´etudier les interactions entre ´echelles.
Le calcul des coefficients de connexion de Meyer n’est pas trivial. L’utilisation classique des filtres miroirs conjugu´es pour calculer ces coefficients [Perrier and Wickerhauser 1999] n’est pas la bonne solution car ces filtres sont forc´ement tronqu´es. Nous l’avons vu dans la partie 3.6, les d´efinitions analytiques dans l’espace de Fourier des fonctions de Meyer permettent, via le th´eor`eme de Parseval, d’exprimer analytiquement les coefficients de connexion d’interaction et de diff´erentiation. La p´eriodisation du probl`eme permet, moyennant pr´ecautions, de faire le calcul `a partir de l’espace de Fourier des coefficients de connexion par des transform´ees de Fourier inverse. Les propri´et´es d’invariance des coefficients de connexion permettent de ne calculer que le noyau des coefficients suffisants, les autres en ´etant d´eduits. Le d´etail du calcul des coefficients de connexion de Meyer et leurs propri´et´es sont donn´es respectivement dans les annexes C et B. De plus, cette AMR est performante pour traiter le terme d´eriv´ee horizontal car elle donne une approximation de la d´eriv´ee exacte. Cependant, comme nous allons le voir, des bruits num´eriques apparaissent avec cette AMR, dus au ph´enom`ene de Gibbs, qui n’existent pas pour l’AMR de Haar, et les fonctions de Meyer n’´etant pas tr`es bien localis´ees dans l’espace physique, le tenseur d’interaction sera beaucoup plus plein donc le calcul beaucoup plus lourd. Cette lourdeur des calculs risque d’ˆetre d´eterminante dans le choix de l’AMR utilis´ee.
Le grand int´erˆet de l’AMR de Haar r´eside dans la d´efinition simple des fonctions d’´echelle et d’ondelette et la compacit´e de leurs supports physiques. Si nous adoptons le point de vue ´echelle=taille d’un support dans le domaine physique, l’AMR de Haar est alors la mieux plac´ee pour ´etudier les interactions entre ´echelles. Les cons´equences de ces d´efinitions sont des interactions entre ´echelles r´esum´ees `a l’essentiel, donc une grande vacuit´e du tenseur d’interaction, pas de ph´enom`ene de Gibbs pr´esent, et des coefficients d’interaction calculables `
a la main. Par contre, comme on l’a d´ej`a remarqu´e, l’´evaluation correcte du terme d´eriv´ee pose probl`eme. On en voit une illustration sur la figure 4.5 que nous commentons au paragraphe suivant.
Enfin, pour ˆetre physiquement interpr´etables, il faut que les interactions soient d´ecrites clairement dans cet espace multir´esolution. Or, nous nous int´eressons `a l’effet des fluctuations sous-pixel `a l’´echelle des pixels d’approximation. La notion de valeur moyenne au sens de l’AMR est importante. Seule l’AMR de Haar propose une vision basse r´esolution des signaux qui corresponde `a la moyenne vraie de ces signaux `a l’´echelle 2−J de la fonction d’´echelle. Elle correspond `a l’observation du champ par un instrument de mesure `a la r´esolution d´egrad´ee
0 1 2 3 4 5 6 7 0 10 20 30 40 50 60 x (km) signal original
approximation avec l’AMR de Haar
(a) AMR de Haar
0 1 2 3 4 5 6 7 0 10 20 30 40 50 60 x (km) signal original
approximation avec l’AMR de Meyer
(b) AMR de Meyer
Fig.4.4 – Signal p´eriodique `a l’´echelle de 6.4 km (28 points), et son approximation par deux
AMR. Echelle d’approximation J = 4.
(fig. 4.4a), qui fait la moyenne de l’´energie qu’il re¸coit depuis un pixel . Dans le cas de l’AMR de Meyer, la mˆeme reconstruction fournit une “moyenne” du signal dans un sens diff´erent et propre `a cette multir´esolution (fig. 4.4b). L’instrument de mesures qui est d´efinit alors ne r´ealise plus la moyenne au sens classique `a l’´echelle d’un pixel, mais est sensible aux fonctions d’´echelle ϕJ de Meyer. Il en est de mˆeme pour toutes les AMR autres que Haar.
4.3.2.2 Choix d’une multir´esolution hybride ?
Les propri´et´es et qualit´es des AMR de Meyer et Haar ne permettent pas de les d´epartager et de faire un choix.
L’AMR de Meyer permet de traiter convenablement la d´eriv´ee des fonctions, mais souffre d’effet de Gibbs. Cet effet intervient dans le calcul des termes produit et d´eriv´ee, mais c’est essentiellement le terme d´eriv´ee qui pose probl`eme. Le calcul de la propagation du rayonne-ment dans des directions tr`es proches de l’horizontale est accompagn´e d’un bruit num´erique maximal qui s’amplifie (dˆu, on l’a vu, aux effets de Gibbs), et qui se propage `a son tour, via la fonction de phase, vers les autres directions.
L’AMR de Haar ne souffre pas d’effets de Gibbs, mais sa faiblesse r´eside dans le traitement du terme d´eriv´ee. Le probl`eme du choix de l’AMR doit ˆetre examin´e num´eriquement, et porter sur le terme de d´eriv´ee horizontale.
Pour cette ´etude, nous avons test´e les AMR de Haar et de Meyer. Nous avons ´egalement envisag´e une AMR hybride, not´ee multir´esolution “HM”, qui tente d’exploiter les qualit´es des deux AMR de Haar et Meyer. Le calcul du terme produit se fait `a l’aide de l’AMR de Haar, ´evitant ainsi la pr´esence d’effet de Gibbs pour ce terme ; le calcul du terme d´eriv´ee se fait `a l’aide de l’AMR de Meyer. Pour ´eviter les allers et retours entre les deux espaces multir´esolutions, on a d´efini une nouvelle matrice de diff´erentiation hδΨ1,Ψ3iHM, qui d´efinit en quelque sorte un nouveau sch´ema de diff´erentiation pour l’AMR de Haar.
Afin de tester l’ensemble des AMR, nous avons simul´e le transport `a travers une at-mosph`ere transparente d’un rayonnement h´et´erog`ene dans une direction inclin´ee de 10◦ par rapport `a l’horizontale. Pour une h´et´erog´en´eit´e de type sinuso¨ıdal avec peu de p´eriodes, les r´esultats obtenus avec l’ensemble des trois AMR se superposent et sont corrects. Pour une fluctuation du rayonnement incident beaucoup plus “chahut´ee” (ici la fluctuation g´en´er´ee par