Importance de l’hypoth`ese d’homog´en´eit´e verticale

Les m´ecanismes de remont´ee d’´energie dans les ´echelles en deux ´etapes d´ecrits plus haut produisent des sources additionnelles. Nous avons d´ej`a vu (paragraphe 3.7.2.2.1) qu’en fonc-tion du terme de l’ETR que nous consid´erons, terme repr´esentant l’extincfonc-tion du rayonne-ment incident, ou terme repr´esentant la source de diffusion, la r´eplique de l’h´et´erog´en´eit´e du milieu dans le champ est de signe diff´erent. Nous allons ici un peu plus loin et ´etudions les cons´equences de l’hypoth`ese d’homog´en´eit´e verticale du milieu, souvent consid´er´ee dans les calculs radiatifs. Ou plus g´en´eralement de l’hypoth`ese de corr´elation (verticale) des h´et´erog´en´eit´es nuageuses le long de la propagation du rayonnement. Par corr´elation, nous entendons ici “quand le signe des coefficients d’ondelettes de la fluctuation horizon-tale d’´epaisseur optique est inchang´e le long de la propagation du rayonnement”. Consid´erant un ´eclairement vertical, il s’agit donc ici de corr´elation verticale. Dans le cas particulier d’une hypoth`ese d’homog´en´eit´e verticale, les coefficients d’ondelettes sont non seulement de mˆeme signe, mais ils sont de plus ´egaux.

Consid´erons l’´eclairement par un flux direct vertical et homog`ene d’un nuage h´et´erog`ene horizontalement et homog`ene verticalement, et consid´erons un sch´ema diffusif simple `a deux flux (le milieu diffuse le rayonnement verticalement, soit vers le haut, soit vers le bas). Le probl`eme est donc `a une dimension.

Etudions l’extinction du flux direct. On a vu le m´ecanisme de la remont´ee d’´energie dans les ´echelles. En premi`ere ´etape, des fluctuations de mˆeme ´echelle que celles rencontr´ees dans le milieu sont cr´e´ees dans le champ radiatif (fig. 3.21a), et elles sont de signe oppos´e (− (+ ∗ +) → −). En deuxi`eme ´etape, et puisque qu’il y a corr´elation des h´et´erog´en´eit´es nuageuses, les deux fluctuations interagissantes de mˆeme ´echelle sont de signes oppos´es. Une fluctuation de type fonction d’´echelle est cr´e´ee (fig. 3.21b) et elle est positive (− (+ ∗ −) → +). Des sources additionnelles, cons´equences de la pr´esence d’h´et´erog´en´eit´e horizontale dans le champ nuageux, sont donc cr´e´ees dans le champ r´eduit, `a chaque endroit dans le nuage o`u le m´ecanisme en deux ´etapes peut se produire. La source additionnelle dans le flux direct att´enu´e est positive : si on la n´eglige, on sous-estime le flux transmis. Ceci est l’illus-tration de l’in´egalit´e de Jensen due `a la convexit´e des r´eponses radiatives : on sous-estime syst´ematiquement le flux direct transmis dans un calcul plan-parall`ele. Par la suite, le calcul ne prenant pas en compte les h´et´erog´en´eit´es nuageuses sous-pixel est appel´e calcul `a l’´echelle.

On trouvera dans l’annexe E le d´etail d’un calcul analytique `a l’aide de l’AMR de Haar, et pour un cas d’´ecole. Ce calcul montre que les sources additionnelles dans le rayonnement transmis et dans l’absorption par le milieu sont respectivement syst´ematiquement positives et n´egatives.

Raisonnons maintenant par rapport au flux diffus´e une fois. La premi`ere ´etape cr´ee des fluctuations de mˆeme ´echelle que celles rencontr´ees et de mˆeme signe (terme source diffusif)(+ (+ ∗ +) → +). S’il y a homog´en´eit´e verticale des fluctuations, une source addi-tionnelle de signe n´egatif (terme puits) sera cr´e´ee lors de la deuxi`eme ´etape (− (+ ∗ +) → −). De mˆeme que pour le flux direct att´enu´e, `a chaque endroit dans le nuage o`u le m´ecanisme en deux ´etapes peut se produire, des sources d’ordre de diffusion un, de signe n´egatif, sont cr´e´ees. On surestime donc syst´ematiquement la diffusion simple dans un calcul plan-parall`ele (diffusion aussi bien vers le haut que vers la bas).

On pourrait poursuivre ce raisonnement simple et d´ecrire des m´ecanismes qui conduisent `a des sources syst´ematiquement de mˆeme signe en fonction de l’ordre de diffusion. Nous verrons au chapitre 5 qu’on retrouve num´eriquement ces tendances : des sources dues aux interactions sous-pixel positives dans le flux direct transmis, des sources de signe n´egatif pour la diffusion simple, et de signes variables en fonction des ordres de diffusion plus ´elev´es. Des ´etudes plus

pouss´ees doivent ˆetre men´ees pour analyser l’effet des h´et´erog´en´eit´es verticales.

Manipuler qualitativement des coefficients en ondelettes et retrouver des r´esultats connus est rassurant. On a retrouv´e ici l’importance des couvertures fractionnaires en transfert ra-diatif, ou des trous dans les nuages, et l’inad´equation de calcul “plan-parall`ele” pour ce type d’h´et´erog´en´eit´e. En effet, un trou dans un nuage se construit avec des coefficients en on-delettes non nuls aux bords des trous et align´es verticalement (illustration figure 3.23). En ´eclairement vertical, il y a corr´elation parfaite de ces coefficients le long de la propagation du rayonnement ; et dans ce cas, les sources additionnelles dues `a la pr´esence de trous sont importantes car toutes de mˆeme signe.

Afin d’illustrer un peu plus cet aspect qualitatif, prenons l’exemple num´erique sui-vant : on calcule la transmission d’un rayonnement solaire vertical et homog`ene `a travers une couverture nuageuse p´eriodique de p´eriode 6.4 km et d’´epaisseur 2.5 km, dont le coefficient d’extinction varie comme sur la figure 3.23a : le coefficient d’extinction vaut 1 km−1 quand la couverture nuageuse est pr´esente, soit une ´epaisseur optique de 2.5, et 0 bien sˆur `a l’endroit du trou dans le nuage. Supposons que le nuage n’a que la propri´et´e d’absorber le rayonne-ment. Le flux transmis `a l’´echelle correspond `a la transmission `a travers un nuage ´equivalent (fig. 3.23b) dont le coefficient d’extinction est constant par morceaux. Les propri´et´es optiques de cette couverture nuageuse auraient ´et´e mesur´ees par un satellite performant, mais dont le point faible est son pixel de r´esolution de 6.4 ∗ 2−3 = 800 m (on oublie ici la deuxi`eme dimension horizontale). On voit sur la figure 3.24 les flux transmis qu’on obtient pour cette simulation : le flux transmis vrai, le flux transmis `a l’´echelle, et la source additionnelle due aux interactions sous-pixel. Dans ce cas, la source additionnelle est positive. Les r´esultats num´eriques sont donn´es dans le tableau 3.1. Le flux vrai maximum correspond au calcul avec la vraie distribution des propri´et´es optiques. La source additionnelle, due `a l’effet des h´et´erog´en´eit´es sous-pixel, est compt´ee `a l’´echelle des pixels de 800 m. Le flux vrai moyen correspond `a la somme des flux transmis `a l’´echelle et de la source additionnelle. Le r´esultat num´erique est donn´e dans le tableau 3.1.

pixel 4 pixel 5

Flux transmis `a l’´echelle 0.515 0.458

Flux vrai maximum 1 1

Flux moyen vrai 0.756 0.713

Source additionnelle 0.241 0.255

Tab. 3.1 – Diff´erents flux transmis `a travers le nuage “trou”.

Ainsi, en consid´erant le nuage ´equivalent basse r´esolution (fig. 3.23b) :

– on sous-estime le flux transmis `a l’´echelle des pixels de 800 m. L’erreur est de pr`es de 32% pour le pixel 4, et de 36 % pour le pixel 5,

– on ne voit pas que le flux transmis atteint la valeur de l’unit´e sur une distance horizontale de pr`es de 1 km.

3.7. PREMI `ERES ANALYSES MULTIR ´ESOLUTIONS DES INTERACTIONS 85

0 0.5 1 1.5

Décomposition multirésolution d’un signal "trou" − AMR de Haar − J=3, L=9

0 0.5 1 1.5 −0.5 0 0.5 −0.5 0 0.5 −0.5 0 0.5 −1 0 1 −0.5 0 0.5 0 1 2 3 4 5 6 −1 0 1 x (km) a) d) b) e) f) g) h) c)

Fig. 3.23 – D´ecomposition multir´esolution de type Haar d’un signal ” trou”. On visualise

le signal (a), puis sa d´ecomposition en ondelettes : l’approximation `a l’´echelle (J = 3) (b), et les d´etails aux diff´erentes ´echelles ((b) `a (h)). Le trou dans le nuage est r´ealis´e quand les coefficients d’ondelette non nuls sont align´es verticalement.

0 1 2 3 4 5 6 7 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 x (km)

Flux transmis normalisé

Flux transmis à l’échelle Flux transmis vrai

Source additionnelle due aux hétérogénéités sous−pixel