4.1.2 Int´egration num´erique des ETR multir´esolutions
L’Equation du Transfert Radiatif est une ´equation locale. La r´esolution du transfert radia-tif se r´esout par l’int´egration de cette ´equation. L’utilisation de quadrature ouvre la voie vers la r´esolution de l’´equation du transfert radiatif par un syst`eme lin´eaire d’´equations coupl´ees d’inconnues N (µi), i = ±1, .., ±n. La r´esolution de ce syst`eme lin´eaire peut se faire matri-ciellement par la recherche de valeurs et de vecteurs propres : c’est la m´ethode dite des ordonn´ees discr`etes. Par exemple pour la solution `a deux flux, la solution compl`ete est une combinaison lin´eaire des solutions exponentielles pour les deux valeurs propres du syst`eme [Thomas and Stamnes 1999]. Par exemple, le code DISORT de la NASA est bas´e sur ce prin-cipe. Associ´ee `a une m´ethode de adding-doubling, cette m´ethode permet de r´esoudre en une fois le transfert radiatif dans tout le nuage. C’est ce qui est utilis´e dans [Stephens 1988a] et [Stephens 1988b].
Cependant, dans cette premi`ere tentative pour r´esoudre les ´equations du transfert radiatif sous forme multir´esolution, nous utilisons une approche plus primitive de l’int´egration des ´equations. Le gradient vertical est exprim´e sous sa forme explicite : dN
dz =
N (z + ∆z) − N(z)
∆z .
Cette approche nous permet d’´etudier l’effet du pas vertical sur la solution, d’´etudier le ph´enom`ene de Gibbs (`a l’origine de bruit num´erique se propageant `a partir des points de discontinuit´es et tr`es probl´ematique pour l’analyse en ondelettes tout autant que l’analyse en Fourier), et d’´etudier le probl`eme du transport horizontal du rayonnement r´ealis´e par le terme de d´eriv´ee horizontale.
Des allers et retours dans le nuage r´ealisent l’int´egration num´erique des ´equations et l’aug-mentation de l’ordre de diffusion (voir les figures 4.2). Ils permettent d’obtenir les fonctions source pour chaque ordre de diffusion, de faire s’att´enuer cette source le long de sa direction de propagation et d’aller chercher pour chaque descente/mont´ee dans le nuage la condition `a la limite basse/haute du nuage.
4.2 Aspects num´eriques
Des probl`emes num´eriques apparaissent lors de l’int´egration num´erique des ´equations. Ils sont li´es en partie `a l’utilisation des AMR.
4.2.1 Probl`eme d’´echantillonnage ou de discr´etisation
Le probl`eme d’´echantillonnage apparaˆıt lors du passage du continu au discret [Mallat 1998]. L’´echantillonnage d’un signal sur l’intervalle T provoque la p´eriodisation de la trans-form´ee de Fourier de ce signal avec pour p´eriode 2π/T . Si le support fr´equentiel de bf est inclus dans [−π/T, π/T ], le th´eor`eme de Shannon-Whittaker prouve que le signal continu peut ˆetre restitu´e par la donn´ee des valeurs ´echantillonn´ees de f . Si le support fr´equentiel de bf n’est pas inclus dans [−π/T, π/T ], la p´eriodisation modifie la fonction bf dans l’intervalle couvrant une p´eriode, provoquant une modification (augmentation) du contenu `a haute fr´equence du signal ; c’est le ph´enom`ene d’aliasing ou de repliement du spectre. Si le support fr´equentiel du signal est infini (comme pour une gaussienne par exemple), on aura th´eoriquement tou-jours des probl`emes d’aliasing : le signal reconstitu´e passera bien par certains points du signal initial, ceux ´echantillonn´es, mais entre ces points, l’interpolation sera mauvaise. La fr´equence maximale `a laquelle on a acc`es pour d´ecrire harmoniquement (fr´equentiellement) le signal est appel´ee fr´equence de Nyquist et vaut la moiti´e de la fr´equence d’´echantillonnage. Si le signal a un support fr´equentiel born´e, une d´ecomposition tronqu´ee en Fourier pourra reconstituer parfaitement le signal, pour peu que l’´echantillonnage suffisamment fin du signal propose une
(a)
!
"
(b)
(c)
Fig. 4.2 – Sch´ematisation des allers et retours dans le nuage, conduisant `a l’obtention des
4.2. ASPECTS NUM ´ERIQUES 99
fr´equence de Nyquist sup´erieure `a la borne haute du support fr´equentiel, ´evitant ainsi les probl`emes d’aliasing.
Inversement et c’est important dans notre cas, un calcul bas´e sur l’´echantillonnage dans l’espace de Fourier d’une fonction bf implique la p´eriodicit´e du signal f . Cette r`egle a ´et´e prise en compte lors du calcul des coefficients de connexion de l’AMR p´eriodique de Meyer, calcul bas´e sur la d´efinition analytique des fonctions de Meyer dans l’espace fr´equentiel.
4.2.2 Ph´enom`ene de Gibbs
L’effet de Gibbs est un ph´enom`ene qu’il faut avoir `a l’esprit quand on utilise une d´ecomposition de type ondelettes, car dans la grande majorit´e des multir´esolutions “sur le march´e”, cet effet intervient. Le th`eme “ph´enom`ene de Gibbs et ondelettes” est trait´e tr`es en d´etail par [Walter and Shen 2001].
De quoi s’agit-il ? Il s’agit d’un limitation intrins`eque des bases orthogonales de type Fourier ou ondelettes pour repr´esenter parfaitement une discontinuit´e forte d’un signal. Les valeurs diff´erentes des limites `a gauche et `a droite en un point x0, produit un ph´enom`ene d’“overshoot” en ce point, ph´enom`ene qui ne peut ˆetre corrig´e par une augmentation de la d´ecomposition. Contrairement au probl`eme d’´echantillonnage pour un support fr´equentiel born´e, il est vain d’augmenter la taille des ´echantillons pour esp´erer annuler l’effet de Gibbs : il est intrins`eque `a cette m´ethode.
Cet effet est pr´esent pour les multir´esolutions habituelles proposant des fonctions d’´echelle appartenant `a l’espace de Sobolev `a l’ordre r, c’est-`a-dire des fonctions d’´echelle dont les d´eriv´ees sont `a d´ecroissance rapide jusqu’`a l’ordre r. C’est le cas des fonctions de Meyer. Ainsi les calculs effectu´es avec la multir´esolution de Meyer pr´esentent un bruit num´erique de type Gibbs pour tout signal assez irr´egulier. Les principaux probl`emes num´eriques auront pour origine la propagation de ce bruit lors de l’int´egration verticale des ´equations.
Selon [Walter and Shen 2001], les seules multir´esolutions qui font exceptions et ne souffrent pas d’effet de Gibbs sont celle de Haar et les multir´esolutions proposant des fonctions d’´echelle `
a valeur positive.
4.2.3 Discr´etisation verticale
L’int´egration verticale des ´equations fournira des r´esultats corrects si le pas de discr´etisation est suffisamment faible. En effet, deux conditions sont `a v´erifier.
La premi`ere condition est que les ph´enom`enes physiques soient bien repr´esent´es. En effet, l’Equation g´en´erale du Transfert Radiatif (3.15) est valable pour un volume ´el´ementaire dans lequel la diffusion est simple. Si ce n’est pas le cas, le milieu est optiquement plus ´epais et la diffusion multiple a des chances de se produire. L’alb´edo de diffusion simple eωo(~r) n’est plus alors judicieux pour quantifier la fonction source. Cela impose des volumes ´el´ementaires r´eduits quand le coefficient d’extinction est important.
La deuxi`eme condition est math´ematique : la loi d’extinction de Beer obtenue par int´egration de l’´equation 3.11 indique que l’´energie radiative d´ecroˆıt de fa¸con exponentielle. Le d´eveloppement limit´e au premier ordre de la fonction exponentielle est ex = 1 + x + o(x). L’approximation est correcte si x << 1.
Ces deux conditions imposent des pas de dicr´etisation verticale limit´es. Ceci est d’autant plus vrai plus pour les directions de propagation du rayonnement tr`es inclin´ees sur l’hori-zontale (ds = dz/ cos θ). Par exemple, pour la direction la plus horil’hori-zontale propos´ee par la quadrature de Gauss, 1/ cos(85◦) ≃ 11.5). Quand le milieu est d´ecoup´e en boˆıtes ´el´ementaires, il suffit de choisir des tailles de boˆıte suffisamment petites. C’est pourquoi dans le code ra-diatif SHDOM de Evans [Evans 1998], la grille est red´ecoup´ee localement quand l’´epaisseur
optique est trop importante, en consid´erant qu’il y a homog´en´eit´e en dessous de l’´echelle de la grille initiale. [Lenoble 1985] donne une condition empirique reliant la discr´etisation verticale `
a utiliser `a l’´epaisseur optique locale maximale et `a la valeur minimale du cosinus des angles z´enithaux consid´er´es.
Quand on utilise suivant les directions horizontales une d´ecomposition spectrale des fonc-tions radiances, que devient le crit`ere pour respecter ces condifonc-tions ? [Stephens 1988a] propose un crit`ere li´e `a la m´ethode des ordonn´ees discr`etes qu’il utilise. Dans notre cas, nous avons estim´e la discr´etisation verticale `a adopter de fa¸con empirique et `a partir de consid´erations portant sur le terme de d´eriv´ee horizontale. En effet, `a cause de ce terme d´eriv´ee, l’´energie du signal `a haute fr´equence augmente beaucoup. Ce probl`eme apparaˆıt ´egalement en analyse spectrale de type Fourier tout simplement parce que (einx)′ = ineinx : la d´eriv´ee induit des termes ´elev´es `a haute fr´equence. Ceci est l’´equivalent du terme 2j en facteur dans les ´equations 3.81, 3.82 et 3.83, terme compris dans la matrice hδΨ1,Ψ3i. Si le pas de discr´etisation verticale du sch´ema num´erique est trop important, cette augmentation d’´energie `a petite ´echelle, associ´ee aux effets de Gibbs, devient incontrˆolable. Dans notre ´etude, le terme d´eriv´ee est repr´esent´e par :
tan θX Ψ1 D e Nk,Ψ1E hδΨ1,Ψ3i . (4.12)
Le probl`eme apparaˆıt donc surtout pour des directions de propagation tr`es inclin´ees sur l’horizontale (tan(85◦) ≃ 11.4). La valeur maximale des coefficients dans la matrice de diff´erentiation hδΨ1,Ψ3i sera ´egalement `a consid´erer. Elle d´ependra de l’analyse multir´esolution. On reviendra sur cet probl`eme dans le paragraphe 4.4. Un crit`ere empirique a ´et´e retenu dans ce travail : la discr´etisation verticale doit respecter la relation :
max(tan θhδΨ1,Ψ3idomainepas ) < 0.2, (4.13) avec pas : le pas vertical et, domaine : la dimension d’une p´eriode horizontale.
Concr`etement, cette augmentation d’´energie `a haute fr´equence nous a oblig´e `a employer une technique de filtrage.
4.2.4 Filtrage
Le traitement du terme d´eriv´ee demande un filtrage `a haute fr´equence des fonctions ra-diance. Filtrer les hautes fr´equences est une pratique commune pour la r´esolution num´erique de l’´equation de Navier-stokes `a cause de sa non-lin´earit´e. Ici, cette op´eration est tr`es d´elicate, car on ne doit pas “tuer” les hautes fr´equences puisqu’on s’int´eresse `a leurs effets `a plus grande ´echelle. Utiliser l’AMR de Haar et filtrer les coefficients de Haar `a petite ´echelle n’est pas une bonne solution, car les fonctions de Haar ´etant tr`es mal localis´ees fr´equentiellement, on mo-difie ainsi toutes les ´echelles spectrales. En revanche, le filtrage des coefficients d’ondelette de Meyer r´epond bien au probl`eme, les ondelettes de Meyer ´etant bien localis´ees spectralement. Quand on utilise l’AMR de Haar, cela suppose de “jongler” avec les coefficients en ondelette des deux multir´esolutions. Pour ´eviter des allers et retours entre les deux repr´esentations, on utilise les matrices de passage HM et M H d´efinies au paragraphe 3.6.2.3.3. La figure 4.3 illustre le filtrage op´er´e sur les coefficients de Meyer (fig. 4.3a) et la cons´equence sur les coefficients de Haar (fig. 4.3b). Dans ces figures sont repr´esent´es les vecteurs des coefficients de Meyer et de Haar. Pour une ´echelle de r´esolution L = 7, les vecteurs sont de dimension 128, et les 64 derni`eres valeurs correspondent `a celles des 64 coefficients d’ondelette d’´echelle la plus fine. Les courbes en bleu indiquent les valeurs des coefficients avant le seuillage, les courbes en rouge les valeurs apr`es le seuillage. On observe que le seuillage des coefficients de