La situation scolaire des filles et des garçons, des EGEF à Dakar 2000

A definição que Tarski dá de teorema é a que se segue:

De fato, se tomarmos os axiomas como sentenças originais a partir das quais, por meio dos processos de obtenção de sentenças vistos na Definição 14, se obtém sentenças com caráter de conseqüência lógica, é possível demonstrar que as sentenças obtidas provém dos axiomas ao se verificar que são teoremas. Isto é, as sentenças obtidas e com caráter de conseqüência dependem integralmente dos axiomas: são deduzidas a partir delas.

Um esclarecimento prévio da natureza de uma sentença demonstrável pode ser lido em On the Concept of Logical Consequence (TARSKI,A.; [1983h], p. 419, nota de

rodapé 1):131

“Talvez será instrutivo justapor os três conceitos: ‘derivabilidade’ (...), ‘conse- quência formal’, e ‘consequência material’, para o caso especial quando a classe K de sentenças, da qual a dada sentença X se segue, consiste unicamente de um número finito de sentenças: Y1, Y2,..., Yn. Vamos denotar pelo símbolo ‘Z’, a sentença condicional (a

implicação) cujo antecedente é a conjunção das sentenças Y1, Y2,..., Yn e cujo consequen-

te é a sentença X. As seguintes equivalências podem ser estabelecidas:

131 _{A respeito das referências apontadas por Tarski neste trecho, o ‘XII’ é artigo Foundations of the Cal-} culus of Systems (TARSKI,A.; [1983j]), o (2) e o (4) são, respectivamente, os artigos From the methodo- logy of the deductive sciences (Z metodologji nauk dedukcyjnych, Lwow, 1921) e The logical foundati- ons of teaching (Logiczne podstawy nauczania, Encyclopidja Wychowania, ii, Warsawa, 1934).

[p.182]-2 DEFINIÇÃO 17. x é uma sentença demonstrável (aceita) ou teorema – em

símbolos x ∈ Pr – se e somente se x for uma conseqüência do conjunto de todos os axiomas.

174

A sentença X é (logicamente) derivável das sentenças da classe K se e somente se a sentença Z é logicamente demonstrável (isto e, derivável dos axiomas da lógica);

A sentença X segue-se formalmente das sentenças da classe K se e somente se a sentença Z é analítica;

A sentença X segue-se materialmente das sentenças da classe K se e somente se a sentença Z é verdadeira.

Das três equivalências unicamente a primeira pode estar sujeita a certas obje- ções; cf. o artigo XII, pp. 342-64, especialmente 346. Em conexão com estas equivalên- cias cf. também Ajdukiewicz, K. (2), p. 19, e (4), pp. 14 e 42.

Em vista da analogia indicada entre as muitas variantes do conceito de conse- quência, apresenta-se a questão de se não seria útil introduzir, em adição aos conceitos especiais, um conceito geral de um caráter relativo, e de fato o conceito de consequên- cia com respeito à classe L de sentenças. Se fizermos novamente uso da notação prévia (limitando-nos ao caso em que a classe K é finita) podemos definir este conceito como se segue:

A sentença X segue-se das sentenças da classe K, com respeito à classe L de sentenças se, e somente se, a sentença Z pertence à classe L.

Com base nesta definição, a derivabilidade iria coincidir com a consequência com respeito às classes de todas as sentenças logicamente demonstráveis, a consequên- cia formal seria consequência com respeito à classe de todas as sentenças analíticas, e as consequências materiais aquelas com respeito a todas as sentenças verdadeiras.”

Fica assim estabelecido o sentido de sentença demonstrável para Tarski. As sen- tenças demonstráveis formam um conjunto Pr de sentenças. Quem são todos os mem- bros desse conjunto? Aponta Tarski:

Isto é, pertencem a Pr todas as sentenças que forem obtidas dos axiomas da cláusula (α) da Definição 13 e mais todos os teoremas de qualquer linguagem, desde que esses teoremas sejam traduzidos para a linguagem objeto L (tradção essa que todas

[p.182]-3 Dessa definição, é fácil ver que temos, entre as sentenças demonstráveis, não só todas as sentenças que possam ser obtidas dos teoremas do cálculo senten- cial do mesmo modo como os axiomas do primeiro tipo (isto é, aqueles que satis- fazem a condição (α) da Definição 13) foram obtidos dos axiomas do cálculo sen- tencial, mas também todos os teoremas conhecidos do cálculo de classes não- formalizado, desde que eles sejam primeiro traduzidos para a linguagem sob inves- tigação.

175 estas definições desde a 1 até esta 17, ensinam metalinguisticamente, como funciona).

Podemos ler o (α) da Definição 13 no [p.179]-4. No QUADRO A seguinte temos os axiomas de L e sua tradução metalinguística132 de primeiro tipo (segundo a cláusula (α) da Definição 13) e no QUADRO B temos a tradução metalinguística de segundo tipo (segundo cláusula (β) da Definição 13):

QUADRO A - Axiomas de L, traduzidos metalinguisticamente na Definição 13

Axiomas de L (notação polonesa e moderna mais usual) Tradução metalinguística (Cláusula (αααα)) Πx,Ix,x, x1(x1 x1) y S Πx,Πx„Πx,,,ANIx,x„ANIx„x,,,Ix,x,,, x1 x2 x3( (x1 x2) (x2 x3) (x1 x3)) Πx,Πx,,NΠx,,,NANNANIx,x,,,Ix,,x,,,NΠx,,,,NAIx,x,,,,Nax,,x,,,,Aix,,,x,,,, x1 x2 x3((x1 x3) (x2 x3) x4(¬(x1 x4) ¬(x2 x4) (x3 x4))) Πx,Πx,,NΠx,,,NANNANIx,,,x,Ix,,,x,,NΠx,,,,NAIx,,,,x,Nax,,,,x,,Aix,,,,x,,, x1 x2 x3((x3 x1) (x3 x2) x4(¬(x4 x1) ¬(x4 x2) (x4 x3))) x1 x2( x3 x4((¬(x3 x1) ¬(x3 x2) (x3 x4)) (¬(x1 x3) ¬(x2 x3) (x4 x3)) x5((x5 x1) x6((x6 x2) ¬(x6 x1) (x6 x5)))).

QUADRO B – comparação de traduções metalinguísticas.

Cláusula (αααα) Cláusula (b)

y S

Com esses axiomas é possível, aplicando substituição, destacamento e introdu-

ção e eliminação de quantificador universal, obter novas sentenças, estas pertencentes a

Pr (isto é, sentenças demonstráveis). A verificação desse fato é vista na metalinguagem, pois é ela que descreve os ‘movimentos lógicos’ que obtém dos axiomas as sentenças demonstráveis:

176

Isto é, tomamos uma prova feita na linguagem objeto L envolvendo termos e sentenças, ou as classes das sentenças, e traduzimos essa prova para a metalinguagem, segundo os quadros A e B que vimos acima em [p182]-4. Essa tradução nos fornece uma estrutura metalinguística que, se estiver correta, mostra como adequadamente se fez a prova na linguagem objeto L (trata-se de uma explicação metalinguística da prova ocorrida em L). Tarski fornece o seguinte exemplo:

A referência (90) da nota de rodapé 1 deste [pp.182-183] indica a literatura já explicada na nota 16 neste trabalho. O teorema ‘ANpp’ é lido em linguagem moderna mais usual como ¬p p. Podemos interpretar esse exemplo de Tarski como segue

(compare com quadros A e B de [p.182]-4, lembrando que neste exemplo de Tarski só há uma única variável nas expressões que compõem as sentenças, de modo que v1 = v2 =

v3 = v4 = v5 = v6): Sabendo que Axioma 2:

[pp.182-183] Por exemplo, é possível obter dessa maneira a sentença do bem conhecido teorema ‘ANpp’ do cálculo sentencial. Traduzindo a prova desse teorema,1 _{mostramos sucessivamente, pela Definição 13,}

que

, ,

e

são axiomas; consequentemente pela Def. 15

É uma consequência de 1º. grau e é uma conseqüência de segundo grau da classe de todos os axiomas. Assim, pelas Defs. 16 e 17, é uma sentença demonstrável.

___________________________________

1 _{Cf. Whitehead, A. N., e Russell, B. A. W (90), vol. 1, p. 101, *2.1.}

[p.182]-5 A fim de nos convencermos disto, imi- tamos na metateoria, em cada caso particular, a prova correspondente do domínio do cálculo sentencial ou do cálculo de classes.

177 Axioma 3: Axioma 5: temos 1. ... Axioma 2 2. ... Axioma 3 3. ... Axioma 5 4. ...1,3, Modus Ponens _________________________________________________________________ Conclusão: ...2,4, Modus Ponens

As linhas 1, 2 e 3 são consequências de grau 0. A linha 4 é consequência de grau

1 (após uma operação, no caso modus ponens) e a linha 5 é consequência de grau 2 (após duas operações, no caso dois modus ponens). Como a linha 5 é consequência de axiomas, então é teorema.