Simulations num´eriques par ´el´ements finis

De nombreux auteurs se sont int´eress´es `a la mod´elisation pour la pr´ediction de la propagation des fissures dans les microstructures de polycristaux [15, 16, 18, 26]. En ce qui concerne les alliages TiAl, les calculs par ´el´ements finis pour l’´etude de la fissura- tion `a l’´echelle cristalline ont ´et´e r´ealis´es essentiellement sur cristaux PST, ou encore sur des polycristaux enti`erement lamellaires. Quelques ´etudes int´eressantes sont pr´esent´ees ci- apr`es. Nous nous sommes attach´es principalement `a la pr´esentation des ´etudes utilisant des ´el´ements de zone coh´esive pour la mod´elisation de la propagation de fissure, car il s’agit de la m´ethode que nous souhaitons utiliser.

Pr´esentation des mod`eles de zones coh´esives

Pour mod´eliser l’initiation et la propagation des fissures, des ´el´ements coh´esifs sont ins´er´es dans le maillage le long des lamelles. Ces ´el´ements sont souvent utilis´es pour la mod´elisation du d´elaminage, de la d´ecoh´esion ou plus g´en´eralement de l’initiation des fissures et de leur propagation [1]. Dans tous les mod`eles, le comportement de cette interface est d´ecrit par deux param`etres : la contrainte de coh´esion σ0 au-del`a de laquelle, il y a

endommagement de l’interface et l’´energie de coh´esion Γ0 d´efinie par l’aire sous la courbe

σ − δ d´efinissant le comportement de l’interface. Diff´erents types de lois peuvent ˆetre utilis´ees [1] (cf. figure 6.6):

– bilin´eaire comme propos´e par Hilleborg et al. [17] et Crisfield et al. [21], – lin´eaire parabolique propos´e par Allix et al. [2],

– exponentiel par Needleman [22] et Chandra et al. [11], – trapezo¨ıdal par Tvergaard et al. [27, 28].

Simulation de la fissuration des cristaux PST

Cornec et al. [13, 30] ´etudient la fissuration trans-lamellaire (TL) (ou intra-lamellaire) et inter-lamellaire (IL) de cristaux PST de mani`ere `a identifier les param`etres d’un mod`ele coh´esif. Le mod`ele utilis´e est de type trapezo¨ıdal comme celui de Tvergaard et al. [27, 28] (fig. 6.6) n´ecessitant deux param`etres : σ0 la contrainte de coh´esion et Γ0 = R σ(δ)dδ,

l’´energie de coh´esion avec δ la s´eparation des deux l`evres de la fissure. Les r´esultats de cette identification sont r´epertori´es dans le tableau 6.2. Le mˆeme couplage a ´et´e r´ealis´e sur des polycristaux `a grains lamellaires, dans le cas de fissuration TL. Les param`etres obtenus

182 Chapitre 6 : Application de la m´ethodologie `a l’´etude de la fissuration

Fig. _{6.6 – Quatre exemples de lois d’interface possibles [1].}

sont ´egaux `a σ0=780 MPa et Γ0=1560 J/m2. Cependant, les calculs ont ´et´e r´ealis´es en 2D

et les effets en pointe de fissure dans l’´epaisseur ne sont donc pas pris en compte.

Type de fissuration σ0 (MPa) Γ0 (J/m2)

TL 600 7000-8000 IL _≥100 50-100

Tab._{6.2 – Param`etres coh´esifs identifi´es sur cristaux PST [13].}

Simulation de la propagation de fissures dans les microstructures lamellaires Xuan et al. [31] utilisent ´egalement un mod`ele `a zones coh´esives pour l’´etude de la fissuration dans des mat´eriaux lamellaires. Le mod`ele est exponentiel comme introduit par Needleman [22] (cf. fig. 6.6) et est d´ecrit par :

σn(δn,δt) = − Γn c0,n δn c0,n exp  −_cδn 0,n  exp  −δ 2 t c2 0,t  (6.9) σt(δn,δt) = − Γn c0,n δt c0,t  2c0,n c0,t   1 + δn c0,n  exp  − δn c0,n  exp  − δ 2 t c2 0,t  (6.10)

avec σ et c0 les force de coh´esion et d´eplacement des l`evres de la fissure dans les directions

normale (n) ou tangentielle (t) `a l’interface, Γ l’´energie de coh´esion et c, le d´eplacement pour la valeur maximale de σ. Pour les simulations effectu´ees, les simplifications suivantes ont ´et´e ´etablies : Γn = Γt = Γ et c0,n = c0,t = c0. Ainsi σ0,t =

√

2eσ0,n (e ´etant le nombre

exponentiel). Deux types d’´el´ements sont int´egr´es dans le maillage : – des ´el´ements “tenaces” tels que Γ = 6523,9 J/m2 _{et σ}

0,n = 4 GPa

– des plans `a faible tenacit´e tels que 271,83 ≤ Γ ≤ 4349,28 J/m2 _{et σ}

0,n = 2 GPa.

Ces calculs, men´es sur un bicristal dont les grains lamellaires sont d´esorient´es de 45 ◦ _l’un

par rapport `a l’autre, permettent de mettre en ´evidence l’augmentation de la t´enacit´e du mat´eriau en fonction de l’emplacement des plans de faible tenacit´e par rapport `a la fissure

6.1 Bibliographie 183

(a) (b)

Fig. _{6.7 – Repr´esentation d’une interface entre colonies lamellaires (a) observ´ee} exp´erimentalement (b) telle que d´ecrite par le mod`ele [4].

initiale.

Arata et al. [4, 3] ont ´egalement mod´elis´e l’initiation et la propagation des fissures dans des solides lamellaires `a l’aide d’´el´ements coh´esifs. Les lois utilis´ees dans [3] sont les mˆemes que celles utilis´ees par Xuan et al. [31]. Les valeurs des param`etres du mod`ele coh´esif adopt´ees sont pr´esent´ees dans le tableau 6.3 [3].

α2 + interfaces α2/γ γ joints des grains

lamellaires Γ = Γn= Γt 407,75 J/m2 6523,9 J/m2 2548 J/m2

(= 0,4 N/mm) (= 6,5 N/mm) (= 2,5 N/mm) σ_0,n = σ_0,t/√2e 1 GPa 4 GPa 2,5 GPa

c0 = c_0,n = c_0,t 0,15 µm 0,60 µm 0,375 µm

Tab._{6.3 – Param`etres du mod`ele de zone coh´esive adopt´es par Arata et al. [3].}

Dans ces mod`eles, il est consid´er´e que la fissure se propage suivant les interfaces α2/γ ou

`a l’int´erieur des lamelles de α2. L’article [4] consid`ere un comportement ´elastique du TiAl

avec les valeurs suivantes : E = 180 GPa, ν = 0,3 et ρ = 4000 kg/m3 _{alors que l’article}

[3] utilise une loi ´elasto-visco-plastique `a ´ecrouissage isotrope avec pour limite ´elastique initiale R0 = 850 MPa. Des calculs sur bicristaux PST sont effectu´es avec diff´erentes va-

leurs de l’angle de d´esorientation β (cf. fig 6.7). Dans tous les cas, la fissure situ´ee dans le premier grain est arrˆet´ee par le joint de grain et une deuxi`eme fissure apparaˆıt dans le grain voisin. Une ´etude de l’influence de l’´epaisseur d de l’´el´ement situ´e entre les deux grains repr´esentant l’´epaisseur du joint de grain lamellaire (cf. fig. 6.7) est effectu´e et il apparaˆıt que la valeur de K n´ecessaire `a l’apparition de la deuxi`eme fissure est tr`es sensible `a la d´esorientation β pour des petites valeurs de d, et augmente avec la valeur de d. Pour des grandes valeurs de d, K devient insensible `a l’angle de d´esorientation β.

184 Chapitre 6 : Application de la m´ethodologie `a l’´etude de la fissuration

Les valeurs des ´energies de coh´esion des lois de comportement utilis´ees par les auteurs sur les cristaux PST ou les microstructures lamellaires sont dans les mˆemes ´echelles (entre 6000 et 8000 J/m2 _{pour la propagation intralamellaire et entre 50 et 500 J/m}2 _{pour la}

propagation aux interfaces entre lamelles). Cependant, bien que les param`etres de Cornec et al. [13, 30] aient ´et´e identifi´es sur les courbes de comportement des cristaux PST, ceux choisis par Arata et al. [4, 3] ont simplement ´et´e choisis de mani`ere `a donner des valeurs de t´enacit´es r´ealistes.