3.4 R´ecapitulatif des incertitudes associ´ees `a chaque ´etape du couplage
5.1.2 Loi de comportement
Loi de comportement pour les alliages monophas´es gamma.
La loi de comportement utilis´ee pour la description du comportement des grains γ est une loi de comportement ´elasto-viscoplastique cristalline avec ´ecrouissage lin´eaire [3, 4] (cf. §4.1.2). Le taux de contrainte ˙σ est reli´e au taux de d´eformation totale ˙ε par la loi de Hooke :
˙σ = C : ˙ε − ˙εv
(5.1) o`u C est le tenseur d’´elasticit´e et ˙εv est le taux de d´eformation viscoplastique.
L’activation du syst`eme de glissement s defini par la normale au plan de glissement ns et la direction de glissement ms est d´efinie par la loi de Schmid, selon laquelle un syst`eme est dit activable lorsque :
|τs| − τ0s = 0 (5.2)
o`u τ0s est la cission r´esolue critique et τs = σ.Rs est la cission r´esolue sur le syst`eme de
glissement s avec Rs= 12(ns⊗ ms+ ms⊗ ns), le tenseur d’orientation du syst`eme s.
Il devient actif si :
|τs| > τ0s (5.3)
o`u plus g´en´eralement si : |τs| > rs o`u rs repr´esente la cission critique courante sur le plan
s. La d´eformation plastique engendr´ee par l’activation de tous les syst`emes de glissement s est donn´ee par :
˙εv =X
s
˙γsRs (5.4)
o`u ˙γs est la vitesse de glissement plastique sur le syst`eme s tel que :
˙γs= signe(τs) ˙vs (5.5)
L’´evolution de la vitesse de cisaillement suit une loi de Norton `a seuil de param`etres K et n :
˙vs = |τs| − rs
K n
(5.6)
avec les crochets de Macauley d´efinis par :
hai = a si a > 00 si a ≤ 0 . (5.7) Pour tout syst`eme s, l’´evolution de rs est reli´ee `a l’´evolution du cisaillement de la
mani`ere suivante :
rs = τ0s+ h0
X
k
hskvk (5.8)
o`u h est la matrice d’interaction (ou matrice d’´ecrouissage), suppos´ee inversible et h0 le
param`etre d’´ecrouissage.
Pour des raisons de simplification (la loi exacte n’´etant pas connue), la repr´esentation du comportement local est consid´er´ee, dans un premier temps, comme ´elasto-plastique cristalline. On choisit donc des param`etres de la loi de Norton de mani`ere `a se rapprocher d’une loi elasto-plastique i.e. n grand (= 20) et K petit (= 1 MPa). La matrice d’´ecrouissage
5.1 Mod´elisation par ´el´ements finis 133
h est suppos´ee diagonale (avec h0=1230 MPa pour tous les syst`emes de glissement, identifi´e
par G´el´ebart [8]), ce qui signifie qu’on n´eglige les interactions entre les diff´erents syst`emes de glissement, car celles-ci n’ont pas ´et´e identifi´ees pour notre alliage. D’autres auteurs prennent en compte cet ´ecrouissage latent [2, 15] (cf. §4.1.3) mais aucune ´etude ne justifie un choix plutˆot que l’autre.
Les cissions critiques utilis´ees pour les premiers calculs proviennent de l’identification r´ealis´ee `a partir des r´esultats de mesures de champs de d´eformation de G´el´ebart [8] et sont les suivantes :
– τ0ordinaire = τ0maclage = 250 MPa
– τ0super = 333 MPa
Les macles sont trait´ees comme du glissement unidirectionnel. Le tenseur d’´elasticit´e est pris ´egal au tenseur quadratique mesur´e exp´erimentalement sur monocristal [19] (notation de Voigt) : C = 183 74,1 74,4 0 0 0 74,1 183 74,4 0 0 0 74,4 74,4 178 0 0 0 0 0 0 105 0 0 0 0 0 0 105 0 0 0 0 0 0 78,4 GPa
Loi de comportement pour les grains lamellaires.
Pour la loi de comportement des grains lamellaires, ´etant donn´e que les lamelles sont beaucoup trop fines pour ˆetre d´etect´ees par l’analyse EBSD, une loi de comportement “ho- mog´en´eis´ee” semblait ˆetre le meilleur choix. Celle-ci mod´elise donc le comportement global du mat´eriau du grain sans en d´eterminer les fluctuations des d´eformations et contraintes intragranulaires dues aux diff´erentes orientations cristallographiques des lamelles. Ces der- ni`eres sont suppos´ees homog`enes au sein des diff´erentes lamelles de mˆemes orientations.
La loi de comportement, propos´ee par G´el´ebart [8], a ´et´e mise en application dans le code de calculs par ´el´ements finis Z´eBuLoN par Roos et al. [16]. Ici ne sera d´ecrit que le passage entre l’´echelle des grains et l’´echelle des lamelles qualifi´e de passage m´eso-micro. Le passage macro-m´eso (´echelle macroscopique et ´echelle du grain) n’est pas utilis´e ´etant donn´e que les grains de la microstructure sont maill´es par ´el´ements finis et les conditions aux limites appliqu´ees aux contours proviennent de l’exp´erience.
La loi de comportement `a l’´echelle du grain lamellaire est donc obtenue par une s´erie de quatre ´etapes (fig. 5.1) : la localisation (permettant de relier les contraintes m´esoscopiques aux contraintes microscopiques), l’´evolution (loi de comportement `a l’´echelle des lamelles) puis l’homog´en´eisation (permettant de relier les d´eformations de l’´echelle microscopique `a celles de l’´echelle m´esoscopique) et enfin la loi ´elastique de Hooke est utilis´ee pour relier contraintes et d´eformations `a l’´echelle du grain.
1. Localisation - Passage m´eso → micro
La contrainte moyenne de chacune des lamelles peut ˆetre reli´ee `a la contrainte moyenne du grain lamellaire par la relation provenant de l’analyse multi-couche r´e´ecrite dans la
134 Chapitre 5 : Etude de la plasticit´e - Etude num´erique
Fig. 5.1 – Sch´ematisation de la m´ethode d’homog´en´eisation pour le calcul du comportement moyen des grains lamellaires.
forme g´en´erale en champs de transformation (TFA - Transformation Field Analysis) :
σi = Bi : σg − N X j=1 Fij : Cj : εvj (5.9) o`u
– N est le nombre de sous-volumes, soit le nombre de lamelles (n.b. ici N = 7 pour les six variants de la phase γ et une lamelle de phase α2)
– Bi est le tenseur de localisation des contraintes,
– λj = Cj : εvj est le tenseur des contraintes propres o`u
– Cj repr´esente le tenseur d’´elasticit´e du sous-volume (ou lamelle) j, et enfin
– Fij est le tenseur d’influence des contraintes propres.
2. Loi de comportement `a l’´echelle des lamelles
La loi de comportement `a l’´echelle des lamelles est ´elasto-visco-plastique cristalline telle que celle utilis´ee pour la mod´elisation du comportement des grains monophas´es γ. Ainsi, l’´evolution du cisaillement sur chaque syst`eme de glissement s dans une lamelle i est d´efini par : ˙γis= signeσi : Rsi * |σi : Rsi| − ris Ki +ni (5.10) γs i = Z t 0 ˙γs idt (5.11) εvi =X s γisRis (5.12) Les param`etres rs
i, ni et Ki peuvent ˆetre adapt´es suivant la direction “morphologique”
consid´er´ee.
5.2 Analyse d’un agr´egat polycristallin 135
La d´eformation plastique m´esoscopique peut alors se d´eduire de la d´eformation plastique microscopique de la mani`ere suivante :
εvg =X
i
ciBiT : εvi (5.13)
ci ´etant la fraction volumique de la lamelle i dans le volume total du grain g et T indique
la transpos´ee.
4. Loi de comportement `a l’´echelle du grain
L’utilisation de la loi de Hooke `a l’´echelle du grain permet maintenant de retrouver la contrainte m´esoscopique `a partir de la d´eformation m´esoscopique obtenue par l’´etape d’homog´en´eisation pr´ec´edente : σg = Cg : εg− εvg