Choix du maillage

Il y a plusieurs fa¸cons de mailler `a partir de la microstructure tri-dimensionnelle obtenue par le programme Micro3D. En effet, celui-ci g´en`ere un ensemble compos´e de N3 _voxels,

appartenant `a des grains, qui peuvent ˆetre consid´er´es comme des ´el´ements du maillage - lin´eaires (maillage 1) ou quadratiques (maillage 2) - ou encore comme des points de Gauss d’un maillage lin´eaire (maillage 3) ou quadratique (maillage 4). Cinq diff´erentes possibilit´es de maillage sont list´ees dans le tableau 5.1 et seront ensuite rep´er´ees par leur num´ero dans la suite de ce chapitre.

5.2 Analyse d’un agr´egat polycristallin 137

Num. du Type Nombre Nombre de Nombre de ddl maillage d’´el´ements pts de Gauss

1 cubique lin. N3 _(2N)3 _{3(N + 1)}3

2 cubique quad. N3 _(3N)3 _3(4N3_{+ 9N}2_{+ 6N + 1)}

3 cubique lin. (N/2)3 _N3 _{3(N/2 + 1)}3

4 cubique quad. (N/3)3 _N3 _3(4N3_{/27 + N}2_{+ 2N + 1)}

5 prismatique lin. - - -

Tab._{5.1 – Tableau r´ecapitulatif des diff´erents maillages possibles cr´e´es `a partir d’un agr´egat} de N3 _voxels.

El´ements lin´eaires 397.953 ddl

Fig. _{5.3 – Maillage 1 (de r´ef´erence) et champ de d´eformation ε22 associ´e.}

Dans un sens purement num´erique et dans les limites donn´ees par les crit`eres de conver- gence, plus le maillage est fin, plus la solution tend vers la solution exacte. Cependant, l’ob- jectif de ces calculs ´etant l’optimisation des coefficients par comparaison avec les r´esultats exp´erimentaux, le maillage doit ˆetre adapt´e aux mesures. Il doit donc ˆetre ni trop fin pour ´eviter des temps de calcul trop longs, ni trop grossier par rapport aux mesures (pas de l’EBSD et pas de la grille) afin d’utiliser le maximum d’informations exp´erimentales. Pour chaque maillage d´ecrit pr´ec´edemment, les diff´erences absolue et relative (en termes de champs de d´eformation surfaciques) avec le maillage 1 (choisi pour sa simplicit´e) sont calcul´ees. Ces diff´erences seront `a mettre en relation avec les incertitudes exp´erimentales (cf. §3.4). Si celles-ci sont nettement inf´erieures, cela signifie que le maillage a peu d’in- fluence sur les r´esultats de l’optimisation et peut donc ˆetre choisi de mani`ere `a minimiser le temps de calcul. Les r´esultats des calculs et les comparaisons avec le maillage 1 (fig. 5.3) sont pr´esent´es sur les figures 5.4, 5.5 et 5.6 suivantes.

Suivant la configuration choisie, des diff´erences sur les r´esultats sont observ´ees, no- tamment sur les intensit´es des d´eplacements et d´eformations locales calcul´ees en surface, repr´esentant des donn´ees que l’on souhaite comparer aux r´esultats exp´erimentaux. Afin d’´evaluer les diff´erences entre les maillages, les d´eplacements obtenus apr`es calculs sur les maillages 2, 3 et 4 sont transf´er´es aux nœuds du maillage correspondant au cas 1.

138 Chapitre 5 : Etude de la plasticit´e - Etude num´erique

Maillage Diff´erence sur ε11 Diff´erence sur ε22

El´ements quadratiques 1.568.403 ddl

Fig. _{5.4 – Comparaison du maillage 2 avec le maillage 1.}

tions r´ealis´e avec les fonctions de forme des ´el´ements dans le logiciel Z´eBuLoN de mani`ere `a ˆetre sˆur qu’ils soient calcul´es de la mˆeme fa¸con. En chaque nœud, sont appliqu´ees les diff´erences entre les d´eplacements obtenus dans le cas consid´er´e et ceux du calcul 1 et ceci uniform´ement dans l’´epaisseur. Ce n’est donc pas un calcul “normal” ´etant donn´e que l’ensemble des ddl sont impos´es. Les histogrammes repr´esentent les ´ecarts sur les d´eformations calcul´ees, pour chaque point de Gauss k, de la mani`ere suivante :

∆k ij = |ε2,kij − ε 1,k ij | |ε1,kij | (5.15)

avec i repr´esentant chaque point d’int´egration du maillage 1, ε la composante de la d´efor- mation en ce point. Les chiffres 2 et 1 repr´esentent le num´ero du maillage `a comparer (ici le num´ero 2) et le maillage 1 respectivement.

Pour chaque cas, on observe le mˆeme sch´ema de localisation des d´eformations consitu´e de bandes orient´ees `a 45 ◦_{, cependant les intensit´es des valeurs changent. Dans le cas}

3, correspondant au maillage lin´eaire (fig. 5.5), les d´eformations sont sous-estim´ees par rapport au maillage lin´eaire du cas 1 (valeurs n´egatives), alors que le maillage 4 sur-estime ces d´eformations (valeurs positives).

Les erreurs au niveau du joint de grain ne doivent pas ˆetre consid´er´ees car elles sont dues `a l’interpolation d’un maillage vers un maillage plus fin. L’interpolation aux joints de

5.2 Analyse d’un agr´egat polycristallin 139

Maillage Diff´erence sur ε11 Diff´erence sur ε22

El´ements lin´eaires 52.728 ddl

Fig. _{5.5 – Comparaison du maillage 3 avec le maillage 1.}

grains prend donc en compte des d´eplacements provenant de deux grains diff´erents.

L’analyse des histogrammes de d´eformation (obtenu par calcul avec la mˆeme base de mesure, c’est-`a-dire apr`es transfert sur le maillage lin´eaire) montre tr`es peu de diff´erences entre les 3 types de maillages. Etant donn´e la faible diff´erence (du mˆeme ordre de grandeur que l’erreur exp´erimentale dans ce cas, c’est-`a-dire 0,1 pixel de diff´erence si l’on consid`ere une base de mesure de 15 pixels) sur les champs de d´eformation, il peut s’av´erer plus judi- cieux d’utiliser le maillage poss´edant le moins de degr´es de libert´e, soit le cas 3. Cependant, pour la comparaison avec les r´esultats exp´erimentaux, l’interpolation des d´eplacements aux intersections de la grille peut g´en´erer des erreurs au niveau des joints de grains si l’inter- polation se fait sans tenir compte des diff´erents grains en pr´esence.

En ce qui concerne la diff´erence entre maillage cubique et maillage t´etra´edrique qui suit les joints de grains, selon Diard [6], les valeurs macroscopiques et moyennes par grains sont identiques. Ainsi, si la comparaison entre mesures et r´esultats du calcul se fait sur la moyenne par grains ou sur les histogrammes de d´eformations (cf. §3.3.3 pour les diff´erentes possibilit´es de comparaison essais / calculs), l’un ou l’autre des maillages peut ˆetre choisi. Cependant, lors d’une comparaison point par point, des diff´erences peuvent apparaˆıtre au niveau du joint de grain qui n’est pas d´ecrit de mani`ere pr´ecise. Toutefois, l’´ecart entre les deux m´ethodes peut ˆetre consid´er´e du deuxi`eme ordre ´etant donn´ee l’incertitude

140 Chapitre 5 : Etude de la plasticit´e - Etude num´erique

Maillage Diff´erence sur ε11 Diff´erence sur ε22

El´ements quadratiques 67.068 ddl

Fig. _{5.6 – Comparaison du maillage 4 avec le maillage 1.}

Histogrammes des d´eformations

ε11 ε22

Fig. _{5.7 – Comparaison de la distribution des d´eformation pour les quatre types de} maillage.

exp´erimentale sur le positionnement du joint de grain, soulign´ee lors du chapitre 3.2.3. Ce- pendant, si l’on souhaite int´egrer des ´el´ements coh´esifs dans des maillages r´eels de mani`ere

5.2 Analyse d’un agr´egat polycristallin 141

`a mod´eliser la propagation de fissure au sein des microstructures, et notamment au niveau des joints de grains, il semble n´ecessaire de d´ecrire des joints de grains qui soient le plus courbes possible afin de repr´esenter au mieux un joint de grain r´eel.