Limites num´eriques

La premi`ere interrogation provient de la loi de comportement. On peut se poser la question de savoir si une loi de comportement aussi simple est suffisante pour repr´esenter les ph´enom`enes que l’on mesure `a l’´echelle des grains. Ainsi une des premi`eres am´eliorations qui pourrait ˆetre envisag´ee est l’am´elioration de la loi de comportement avec la prise en compte par exemple de la rotation du r´eseau cristallin et utilisation d’un formalisme en grandes transformations [5].

Une meilleure connaissance de la matrice d’´ecrouissage est n´ecessaire ´egalement car, ici, pour raison de simplicit´e, celle-ci a ´et´e suppos´ee diagonale, ce qui signifie que l’on n´eglige l’´ecrouissage latent. Dans les cas o`u un seul syst`eme de glissement est activ´e, cela importe peu. Mais dans le cas contraire, il est fortement improbable que cet ´ecrouissage latent soit n´egligeable.

Nous avons ´egalement montr´e que l’´evolution des conditions aux limites avait un effet tr`es important sur la courbe de comportement. Diff´erentes solutions ont ´et´e propos´ees et devront ˆetre valid´ees sur d’autres microstructures afin de choisir la plus pertinente. Une autre solution qui pourrait ˆetre envisag´ee est d’utiliser un milieu homog`ene ´equivalent `a la mani`ere du m´esoscope num´erique d´evelopp´e par H´eraud [11]. Cependant, les d´eformations locales obtenues pour les grains du bord du maillage polycristallin ne devront pas ˆetre prises en compte dans l’identification car elles ne “voient” qu’une interaction moyenne avec

168 Chapitre 5 : Etude de la plasticit´e - Etude num´erique

la matrice, sens´ee repr´esenter l’influence des grains voisins. D’autre part, cette m´ethode n´ecessite un nombre de degr´es de libert´e beaucoup plus ´elev´e que pour un maillage de polycristal seul.

Le paragraphe suivant montre l’effet de l’´evolution des conditions aux limites choisies sur les champs de d´eformation locale.

Influence de l’´evolution des conditions aux limites sur les d´eformations locales La figure 5.33(a-b) repr´esente la localisation des erreurs sur les d´eformations locales au sein de la microstructure due `a l’utilisation de l’´evolution des conditions aux limites de type 8 pour un maillage extrud´e de 2 ´el´ements dans l’´epaisseur (cf. §5.2.3, page 143). Ces erreurs sont norm´ees et calcul´ees avec l’utilisation de l’´equation (5.15) (page 138).

Les ´ecarts sur les d´eformations sont plus ´elev´ees dans la direction transverse (direction 1), direction dans laquelle les ´evolutions sont approch´ees, que dans la direction de solli- citation. Elles ne sont pas uniform´ement r´eparties dans la microstructure et sont plutˆot localis´ees aux endroits de plus faibles d´eformations, ce qui peut ˆetre un effet de l’utilisation d’´ecarts norm´ees. Lorsque l’on compare les histogrammes de distribution de ces erreurs sur les d´eformations avec ceux obtenus en utilisant l’´evolution r´eelle (telle qu’obtenue par le calcul sur agr´egat 3D) des conditions aux limites, on s’aper¸coit qu’environ deux fois plus de points ont une erreur inf´erieure `a 10 % dans le cas des conditions aux limites r´eelles. Com- par´ee aux histogrammes des distributions des erreurs dues `a une modification de l’´epaisseur du maillage, l’erreur obtenue par le choix de ce type de conditions aux limites g´en`ere une erreur beaucoup plus importante.

Effet de la taille de la zone maill´ee sur l’applicabilit´e de la m´ethodologie

Pour cette ´etude, un maillage de 100×100×50 pixels (ou ´el´ements `a int´egration lin´eaire) a ´et´e r´ealis´e. La microstructure maill´ee poss`ede 1000 grains et est repr´esent´ee sur la figure 5.34.

Ce maillage permet de retrouver des bandes de localisation de la d´eformation comme cela est observ´e exp´erimentalement par microextensom´etrie (cf. §4.2.5). Plusieurs tailles de surface ont ensuite ´et´e extraites de la microstructure initiale afin de tester l’influence des conditions aux limites sur la taille de la zone ´etudi´ee et v´erifier ainsi l’applicabilit´e de la m´ethode. Les r´esultats sont pr´esent´es sur la figure 5.35

Ces r´esultats montrent que plus la zone maill´ee est grande, plus l’h´et´erog´en´eit´e des d´e- formations du grain central, par exemple, s’´eloigne de celle du maillage de la microstructure 3D th´eorique. Cependant, le sch´ema de localisation de la d´eformation est toujours le mˆeme au sein de la microstructure. Doumalin et al. [7] ont montr´e que la longueur des bandes de localisation de la d´eformation ´etait de l’ordre de 5 `a 10 fois la taille moyenne des grains. Cela indique donc que pour avoir une zone ind´ependante des conditions aux limites, la zone ´etudi´ee doit ˆetre d’une taille sup´erieure `a 5 `a 10 fois la taille de grains. En dessous de cette taille, il est n´ecessaire d’appliquer des conditions aux limites r´ealistes si l’on veut comparer les r´esultats du calcul aux r´esultats exp´erimentaux. Le dernier maillage ´etudi´e, poss´edant environ 5 grains dans la largeur est `a la limite. Il serait n´ecessaire de r´ealiser des maillages de surfaces encore plus grandes pour voir cette ind´ependance des conditions aux limites.

5.5 Etude des limites de ce couplage 169

(a) Champs des erreurs sur ε11 (b) Champs des erreurs sur ε22

Conditions aux limites type cas 8

(c) ǫ11 (d) ǫ22

Histogrammes des erreurs sur les d´eformations locales Comparaison ´evolution des CL exp´erimentales vs ´evolution cas 8

Fig. _{5.33 – Influence de l’´evolution des conditions aux limites sur l’erreur sur les} d´eformations locales