Simulations par éléments finis

En se basant sur la théorie élastique linéaire exposée dans le chapitre III, nous avons simulé nos lames minces de microscopie par des modèles en trois dimensions puis en deux dimensions en considérant une déformation suivant z et une relaxation suivant y.

Sur la Figure IV.10, nous imposons à notre modèle des conditions aux limites suivant

x de manière à avoir εxx =0. Ainsi, le modèle peut être ramené à un calcul 2D. Le maillage

du calcul par éléments finis est alors plus précis et demande nettement moins de ressources matérielles.

Ici, nous choisissons un maillage allant jusqu’à 1 nm dans la couche mince. Les lois de l’élasticité anisotropique, nous permettent de déterminer la déformation relative de la couche mince en fonction du substrat virtuel. Le calcul est un calcul relatif et est complètement adapté pour ensuite être directement comparé à nos mesures par GPA. La déformation

Chapitre IV: Calibration de la méthode

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moyenne est mesurée sur l’ensemble de la couche mince (moyenne effectuée dans toute la zone de sSi). En partant du principe que les électrons “voient” la déformation moyenne suivant y, intégrer les valeurs de déformations dans cette direction semble être une bonne approximation.

Figure IV.10 : Simulation par éléments finis en 3 dimensions puis en 2 dimensions d’une lame mince de

microscopie d’un dépôt pleine plaque d’une couche de 20 nm de Si sur un VS de Si60Ge40.

Ainsi, nous pouvons extraire le comportement de la déformation ε en fonction de z zz

et comparer nos simulations avec les profils obtenus par GPA (Figure IV.11). Dans chacun des cas (épaisseurs variables et substrats virtuels de différentes compositions) nous avons également calculé le cas sans relaxation (que nous appellerons cas épais ou “pleine plaque” correspondant à une déformation uniaxiale suivant z dans le cas d’une contrainte biaxiale dans le plan (O, x, y)).

Les simulations montrent très clairement l’effet de la relaxation de lame mince et nous voyons que les mesures faites par microscopie électronique en transmission sont plus proches des mesures obtenues pour des lames minces que les déformations calculées dans le cas “épais”. Par exemple, dans le cas du silicium contraint sur Si60Ge40, la mesure par GPA nous donne une valeur moyenne dans la couche contrainte de εzz =−2,2% ; dans le cas “épais” le

calcul par éléments finis nous donne εzz =−2,85% et dans le cas d’une relaxation de lame

mince (pour une lame de 20 nm d’épaisseur et une couche de Si de 10 nm), la contrainte moyenne vaut -2,2%. Les différentes simulations FEM effectuées confirment ce comportement et un facteur semble déterminant pour comprendre et interpréter l’effet de relaxation. Ce facteur est le ratio t/l (avec t l’épaisseur de la lame mince et l celle de la couche de silicium contraint) et avait déjà été observé par Jain et al. [Jain 95].

Ce rapport semble en effet déterminer l’état de relaxation. Le modèle tend vers le cas lame mince décrit dans le chapitre III pour t grand et l petit. En effectuant quatre gammes de simulations correspondant aux quatre familles de substrats virtuels, nous avons essayé de déterminer le comportement de la déformation en fonction de ce ratio. Nous voyons, sur la Figure IV.12.(a), que le comportement de la relaxation est le même quel que soit le taux de

Chapitre IV: Calibration de la méthode germanium dans le substrat virtuel. En définitive, seuls thick

zz

ε et thin

zz

ε et le ratio t/l semblent régir le comportement de la lame mince. Le décrochement se situe pour un ratio compris entre 5 et 50 (en dessous de 5, la lame est quasiment dans le cas infiniment fin et au-delà de 50 elle se comporte comme un échantillon épais). Dans la plupart de nos cas, nous avons des couches faisant 10 à 20 nm d’épaisseur et des lames fines faisant environ 20 ou 30 nm ; cela correspond à un ratio de 2 ce qui permet d’approximer les lames minces utilisées en HREM comme des lames infiniment minces dont la déformation peut être calculée analytiquement par la relation (III.14). Les tendances observées sur la Figure IV.11 confirme cette analyse. Les mesures par GPA donnent des valeurs qui sont égales au cas relaxé.

Figure IV.11 : Comparaison entre simulations par éléments finis et mesures expérimentales pour différents cas

de substrat virtuel Si1-xGex. Les cas “épais” et “relaxé” à droite correspondent à des simulations FEM avec,

respectivement, les bords fixes et libres suivant y. L’épaisseur de la lame est fixée à 20 nm.

Le comportement de la relaxation peut être généralisé et une courbe empirique permettant de calculer ε simplement à partir de zz

thick zz

ε , thin

zz

ε et du ratio t/l est présentée en Figure IV.12(b). Cette courbe généralisée (calculée pour les constantes élastiques de Si et Ge) permet de déterminer en un instant l’écart au cas infiniment fin. Si par exemple, la couche de

Chapitre IV: Calibration de la méthode

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silicium contraint fait 40 nm et que la lame mince est très fine (10 nm), alors le ratio de 4 nous permet de savoir que la déformation sera thin

zz

ε

05 .

1 .

Il faut remarquer que, quel que soit le ratio, nous pouvons considérer la lame comme infiniment fine étant donné la précision sur la mesure par GPA (environ 0,3%). En considérant un substrat virtuel de Si50Ge50, une couche de sSi de 10 nm, et une lame de 80 nm (cas extrême en haute résolution), le ratio vaut 8, la déformation est thin

zz

ε

1 ,

1 . La mesure par GPA serait de -3,14% au lieu de -2,85% ce qui entre dans la barre d’erreur de nos mesures qui est de 0,2-0,3%.

Figure IV.12 : (a) Comportement de la relaxation de la lame mince en fonction du ratio t/l. Pour des lames très

fines, le calcul par éléments finis tend vers la relation (III.14), la lame mince ne se comporte comme le cas épais (relation (III.12)) que pour des épaisseurs supérieures à 800 nm. (b) Représentation graphique de l’équation (IV.1) exprimant la déformation relative en fonction de εthick_zz , ε_zzthin et du ratio t/l.

Chapitre IV: Calibration de la méthode

De manière analytique, la courbe IV.12.(b) est une interpolation exponentielle de la relaxation de lame mince pour un ratio croissant. Cette interpolation a été effectuée en moyennant les comportements de la déformation pour les quatre familles de substrats virtuels considérées dans notre étude :

20 ) ( r thin zz thick zz thick zz zz e − × − − =ε ε ε ε (IV.1)

En sachant que thick zz

ε et thin

zz

ε dépendent des constantes élastiques des matériaux, nous pouvons considérer cette équation comme une équation générale valable pour tout système de couches minces sous contraintes.

Avec les simulations par éléments finis, nous avons pu vérifier le bon accord entre la théorie élastique et nos mesures par GPA à partir d’images en haute résolution. Les mesures concordent parfaitement avec les simulations de lames de 20-30 nm (ce qui est l’épaisseur estimée au cours de nos observations). Sur certaines images (G886P02, 04, 14 et J068P02, 07 et 09), nous observons même une tendance décroissante du profil vers la surface identique à celle observée pour les simulations de lames relaxées. La déformation a pu être quantifiée pour différents ratios (épaisseur de lame / épaisseur de couche) et une tendance générale de la relaxation de lame mince a pu être extraite.

Pour comparer pleinement les images en haute résolution avec la théorie, nous avons simulé les images HREM par multislice à partir des déformations calculées par éléments finis et de déterminer les déformations par GPA. Ainsi, il sera possible de connaître l’impact de l’imagerie sur la mesure de la déformation.