Il est naturel de faire passer l’acc´el´eration radiative dans le membre de gauche de l’ECE, sa contribution venant s’ajouter (vectoriellement) `a celle du champ d’acc´el´eration ext´erieur ge. L’ECE (3.3) devient alors ve. ∂ ∂z[ne(z)fe(z, ve)] + ne(z) [ge(z, ve) + ae(z)] . ∂ ∂ve fe(z, ve) = Σel(z, ve) + Σinel(z, ve) +Σbf b(z, ve) + Σf f(z, ve) . (3.147) Au chapitre 5 (section 5.3), nous envisagerons la r´esolution de cette ´equation priv´ee de son membre de gauche, qui devient isotrope lorsque la fdv des ´electrons est isotrope
Σel(z, ve) + Σinel(z, ve) + Σbf b(z, ve) + Σf f(z, ve) = 0 . (3.148) Cette simplification conduit `a une ECE locale, c’est-`a-dire dans laquelle la variable z n’est pas transform´ee.
3.6. SIMPLIFICATION DE L’ ´EQUATION 65
3.6.1
Terme d’´ecoulement
Le terme d’´ecoulement de l’ECE v´erifie la condition ¯ ¯ ¯ ¯ve. ∂ ∂z[ne(z)fe(z, ve)] ¯ ¯ ¯ ¯ ≤ |ve| ∂ ∂z[ne(z)fe(z, ve)] ne(z)fe(z, ve) ne(z)fe(z, ve) ≈ |ve| H(z)ne(z)fe(z, ve) , (3.149) o`u H(z) d´esigne l’´echelle de hauteur pour la densit´e ou la temp´erature ´electronique, que nous sup- poserons du mˆeme ordre de grandeur (elles sont ´egales dans l’approximation isobare : ne(z)T (z) = cte).
Le terme de collision ´elastique des ´electrons est de l’ordre de (neνefe)(z, ve), o`u νe(z, ve) est la fr´equence de collision ´elastique `a la vitesse consid´er´ee. On peut donc n´egliger le terme d’´ecoulement de l’ECE par rapport au terme de collision ´elastique situ´e dans le membre de droite si (ve/H)nefe¿ neνefe, soit λe= ve/νe¿ H : le libre parcours moyen (lpm) des ´electrons doit ˆetre bien plus petit que l’´echelle de hauteur de l’atmosph`ere, `a tous les niveaux z et pour toutes les vitesses ´electroniques ve. Cette condition semble bien remplie dans les couches moyennes de la photosph`ere solaire, o`u la fr´equence de collision des ´electrons est de l’ordre de 108s−1 `a la vitesse thermique des ´electrons (d’o`u un lpm de l’ordre du cm) et l’´echelle de hauteur H est de l’ordre de 150 km. Nous allons voir, en utilisant le comportement asymptotique des fr´equences de collision (section 3.2.3), que ce r´esultat est encore vrai `a toutes les vitesses ´electroniques.
Pour les ´electrons de vitesse inf´erieure `a leur vitesse thermique, la fr´equence de collision e − e ou e − + est constante et `a peu pr`es ´egale `a sa valeur `a la vitesse thermique ¯ve, et la fr´equence de collision e − H est plus importante que sa valeur `a la vitesse thermique. Comme le terme d’´ecoulement est proportionnel `a la vitesse, donc plus faible que sa valeur `a la vitesse thermique, ce terme est bien n´egligeable par rapport au terme de collisions ´elastiques.
Pour les ´electrons de vitesse sup´erieure `a la vitesse thermique ¯ve, la fr´equence de collision e − e ou e − + est inversement proportionnelle au cube de la vitesse, alors que la fr´equence de collisions e-H est inversement proportionnelle `a la vitesse. Le terme d’´ecoulement ´etant toujours proportionnel `a la vitesse, il prend de plus en plus d’importance. Nous avons besoin de connaˆıtre la fdv des ´electrons `a des vitesses au maximum ´egales `a 2 ou 3 fois la vitesse d’ionisation de l’hydrog`ene `a l’´etat fondamental, qui correspond `a une temp´erature de l’ordre de 15 × 105K. Cette vitesse d’ionisation est donc de l’ordre de 5 fois la vitesse thermique de la photosph`ere solaire (T = 6000 K). Pour ve= 3 × 5 × ¯ve, la fr´equence de collisions des ´electrons est au plus divis´ee par 153, donc leur lpm est multipli´e par 154∼ 5 × 104. Ce lpm, qui ´etait de l’ordre du cm `a la vitesse thermique, est donc de l’ordre de 5 × 104cm = 0.5 km, ce qui correspond `a 0.3 % de l’´echelle de hauteur H ∼ 150 km.
3.6.2
Terme de force
Dans une atmosph`ere stellaire, le champ d’acc´el´eration ext´erieur ge est dˆu `a la pr´esence ´eventuelle d’un champ magn´etique ou ´electrique, et `a la gravit´e `a la surface de l’´etoile : ge = ge,magn+ ge,elec+ ge,grav.
– L’acc´el´eration magn´etique ge,magn est proportionnelle `a ve∧ B, donc parall`ele au plan de stratification si le vecteur B est normal `a ce plan, ce qu’impose la sym´etrie plan-parall`ele. Le produit scalaire ge,magn.(∂fe/∂ve) est donc nul si la fdv des ´electrons est isotrope (car ∂fe/∂veest perpendiculaire au plan de stratification).
– Le champ ´electrique E est un champ de polarisation provoqu´e par le d´eplacement des ´electrons des r´egions les plus chaudes de l’atmosph`ere vers les r´egions les plus froides. Il est donc li´e `a l’existence d’un gradient de temp´erature et dirig´e dans la direction oppos´ee `a ce gradient. Le courant conductif des ´electrons doit ˆetre exactement contrebalanc´e par un courant inverse dˆu au champ ´electrique, de sorte que la densit´e de courant ´electrique je soit nulle [111]. Si on adopte pour cette derni`ere l’expression de Spitzer et Harm [111, Eq. 25]
je(z) = σEE(z) + αT ∂
∂zT (z) , (3.150)
qui est valable pour des ´electrons de basse ´energie ou thermiques. On obtient alors E(z) = −ασT
E ∂T
o`u le rapport αT/σE est ind´ependant des conditions locales, d’apr`es Ljepojevic et Burgess [64, p. 88] : αT σE ≈ 0.703 4π²0 e k dT dz , (3.152)
qui font r´ef´erence au Tableau III de Spitzer et Harm [111]. D’o`u E ≈ −0.7034π²0
e k dT
dz . (3.153)
– Dans la photosph`ere solaire, pour une temp´erature de 6000K et une ´echelle de hauteur de la temp´erature de 150 km, on obtient un gradient de temp´erature de T /H ∼ 0.04 degr´e par m`etre, d’o`u une force ´electrique Fe,elec= eE de l’ordre de 4.3 × 10−35N sur chaque ´electron. – Le champ d’acc´el´eration gravitationnelle ge,grav est de l’ordre de GM/R2, o`u G est la constante de la gravitation (6.67 × 10−11 unit´es SI), M la masse de l’´etoile et R son rayon. Dans le cas du soleil, M = M¯ ∼ 2 × 1030kg et R = R
¯ ∼ 7 × 108m, d’o`u Fe,grav = mege,grav∼ 2.5 × 10−28N.
L’autre terme figurant dans le terme de force de l’ECE (3.147) provient de l’acc´el´eration radiative ae appliqu´ee aux ´electrons libres par suite des ´echanges d’impulsion entre ´electrons et photons au cours du processus de diffusion Thomson. On peut estimer grossi`erement cette acc´el´eration radiative en rempla¸cant, dans le membre de droite de sa d´efinition (3.136), le flux int´egr´e Fr par σT4
eff, o`u σ est la constante de Stefan (5.67 × 10−8 unit´es SI) et Teff la temp´erature effective de l’´etoile. La section efficace de diffusion Thomson est constante et vaut 6.652 × 10−29m2. On obtient une force radiative Fe,rad = me|ae| de l’ordre de 2 × 10−28N, donc comparable `a la force gravitationnelle.
Dans le terme de force de l’ECE figure le gradient de la fdv fe par rapport `a la vitesse, qui est ´egal `a (−meve/kT )fe pour une fdv maxwellienne des ´electrons, ce qui fournit une premi`ere estimation.
Le terme de force de l’ECE est n´egligeable devant le terme de collisions ´elastiques lorsque ne|ge+ ae|
meve
kT fe¿ neνefe, (3.154) o`u νe d´esigne la fr´equence de collisions ´elastiques des ´electrons `a la vitesse consid´er´ee. On peut encore ´ecrire, en introduisant le lpm moyen des ´electrons λe= ve/νe :
me|ge+ ae|λe¿ kT , (3.155) ce qui signifie que le travail des forces appliqu´ees aux ´electrons sur un lpm doit ˆetre bien plus faible que leur ´energie cin´etique moyenne. Dans le cas de la photosph`ere solaire, me|ge+ ae| ∼ 10−28N et, si on prend λe∼ 1 cm et T ∼ 104K, le membre de gauche de (3.155) est de l’ordre de 10−30J, alors que le membre de droite est de l’ordre de kT ∼ 1.38 × 10−19J.