Estimation de l’erreur relative faite sur les moments d’une fdv maxwellienne, lorsque

Nous pouvons maintenant essayer de donner une valeur à ce temps τ . Comme notre fréquence décroˆıt rapidement avec la vitesse (ν(z) ∝ 1/z3_{), nous sommes sˆ}_{urs que si τ ≥ 1/ν}

ε(z∞), alors le critère (Eq. B.87) sera respecté. Alors τ = tε(1) z_∞3 . Pour la précision ε = 10−2, nous avions trouvé tε(1) ∼ 10−6s, et en choisissant z∞ = 10, on obtient τ ∼ 10−3s. Ce temps τ est négligeable par rapport à tout temps d’évolution macroscopique dans une atmosphère stellaire, alors on pourra toujours traiter le problème stationnaire dans une atmosphère stellaire.

On remarquera qu’il sera possible de substantiellement améliorer la détermination de l’erreur maximale commise sur la conservation des invariants car, en ce temps τ , ∀v ∈ Ω, exp[−ν(v)τ] ≤ ε, expression à utiliser dans (B.53) pour avoir une nouvelle erreur A0

n = ε An, d’apr`es la d´efinition (B.56).

Nous avons calculé le temps τ à l’aide de considérations uniquement basées sur les collisions élastiques. Le problème cinétique qu’on se pose inclut des effets inélastiques, ce qui a pour consé- quences que :

– le temps τ doit être calculé en tenant compte de toutes les termes de l’équation cinétique. Ce qui a été fait pour les collisions élastiques pourrait être généralisé aux collisions inélastiques, i.e. construire un modèle BGK pour chaque terme. Même si cela était possible, les études manquent à ce sujet pour pouvoir chiffrer leur contribution. En pratique, nous sommes inca- pables de déterminer quantitativement un temps de stationnarité cinétique pour le problème inélastique que traité. Les études qui ont été faites portent sur la résolution des équations de transport temporelles pour un ensemble de moments de la fdv. On peut en déduire des temps de relaxation. Ces temps sont très souvent négligeable par rapport aux temps macroscopiques caractéristiques, validant l’approche stationnaire comme étant toujours valable, qu’elle soit hydrodynamique ou cinétique.

– Même si τ pouvait être déterminé, et qu’il soit possible de traiter le problème cinétique stationnaire, on sait, et c’est ce qu’on cherche, que les termes inélastiques vont induire de forts écarts à l’ETL. Alors, pour certains domaines de vitesses de Ω , la condition (B.87) de validité du modèle BGK pour le terme de collisions élastiques, ne sera pas réalisée, et on ne peut plus rien dire sur l’écart numérique entre le terme de source FPL et le terme de source BGK. Comme le problème posé est non-linéaire, la conséquence pourrait être grave sur la détermination de la fdv : la fdv issue du modèle BGK pourrait être très différente de celle correspondant au problème physique posé, issu de termes de source de FPL ou de Boltzmann. – Un autre problème vient de la détermination des paramètres du modèle BGK. Comme on ne connaˆıt pas la fdv initiale (à temps nul), on ne connaˆıt pas les paramètres de la maxwellienne du modèle. Avec les collisions inélastiques, la densité et la température de la fdv vont changer, mais les paramètres de la maxwellienne vont-ils changer ? Pour répondre à cela, il suffit de regarder l’équation cinétique FPL à un temps quelconque t. En laissant évoluer la fdv dans le temps sous le seul effet des collisions élastiques, elle va évoluer vers une maxwellienne de paramètres ceux de la fdv au temps t. Dans le problème temporel complet (élastique et inélastique), la maxwellienne d’équilibre du problème élastique a donc ses paramètres qui varient avec le temps. Cette caractéristique reste vraie dans le problème stationnaire. La fdv initiale est fn, la fdv résultat de l’itéré n du problème couplé. C’est elle qu’on va utiliser pour calculer la maxwellienne du modèle BGK pour l’itéré n + 1. Seulement, la fdv résultant de cet itéré ne va pas avoir la même densité et même température que celles de la maxwellienne du modèle. Si l’écart est important, cela pourrait poser un problème de convergence : elle pourrait être ralentie. Il faut alors itérer la résolution de l’équation cinétique, en changeant à chaque itéré les paramètres de la maxwellienne. Quoi qu’il en soit, on peut se demander si la convergence d’une équation qui change de forme entre deux itérés est bien établie. Avec le terme FPL ou Boltzmann, la forme reste la même. Pour le problème du transport, cela

B.3. ÉTUDE SUR LA VALIDIT É DU MOD ÈLE BGK 167

pourrait avoir une influence sur la validité du modèle BGK, si l’écart à l’ETL s’étendait sur un grand domaine de vitesses.

B.3.3 Conclusion

Nous avons vu que le modèle BGK, adapté au problème des atmosphères stellaires que nous nous posons (modélisation de la fdv des électrons tronquée dans la queue), respectait les 3 critères fixés en introduction de cette section B.3. La conservation des invariants collisionnels est typiquement inférieure à 1%, ce qui est acceptable pour les calculs de notre modèle d’atmosphère.

Bien que nos atmosphères stellaires soient stationnaires, nous avons mené une étude détaillée du problème temporel, c’est à dire l’évolution dans le temps de la fdv avec collisions élastiques seulement, en comparant les résultats obtenus avec un terme de source FPL [68, 88], avec ceux donnés par le modèle BGK. On ne connaˆıt pas réellement comment f (v, t) évolue vers l’équilibre en utilisant l’équation de Boltzmann ou de FPL. Il est difficile de faire une comparaison avec le modèle BGK, pour lequel f (v, t) est connue analytiquement à tout temps. On sait qu’à t = 0 et t = +∞, les fdv provenant des deux termes de source sont égales. Nous avons construit la fréquence de collision du modèle BGK afin de retrouver cette ressemblance des fdv pour un temps t = tε(v). Entre ces valeurs du temps, le modèle BGK implique que f (v, t) tend vers l’équilibre exponentiellement avec le temps. On peut penser que la décroissance exponentielle est une loi suffisamment générale, pour que FPL ou Boltzmann se comportent ainsi, mais ce n’est pas convaincant. De plus, on sait qu’à partir de tε(v), la fdv est dans une région bien définie autour de la maxwellienne d’équilibre, que ce soit celle du modèle ou celle de FPL, et c’est un argument fort en faveur de la validité du modèle. Par contre, on ne sait pas si FPL garde la mémoire de l’état initial après un temps assez long, alors que BGK la garde. Le modèle BGK semble mal décrire f (v, t) aux temps courts, mais bien circonscrire sa valeur pour des temps suffisamment longs. Nous ne nous sommes pas persuadés de fa¸con vraiment convaincante que la fréquence de collision était universelle, au sens où elle ne dépend pas de l’état initial. Le fait est qu’elle en dépend, mais la validité du modèle aussi. Nous pouvons alors dire que ce modèle, avec la fréquence que l’on a choisie, sera valable pour certains états initiaux seulement. Il n’ y a pas, ou presque pas de critères généraux qui permettent de classer les bonnes fdv initiales d’une part, et les mauvaises d’autre part. Ce genre de modèle n’a d’intérêt que si l’on veut traiter un problème temporel qui inclut d’autres effets que les effets élastiques purs, parce qu’on sait très bien traiter numériquement le cas élastique pur à partir des équations FPL ou Boltzmann. La bonne démarche pour vérifier la validité du modèle BGK est de se poser un problème cinétique temporel complexe, inélastique, et de choisir une fdv initiale. On résout alors le problème élastique avec FPL ou Boltzmann, pour cet état initial, à une précision ε donnée, on en déduit νε(v), qui sera utilisée pour connaˆıtre ν(v). Il faudra alors vérifier le critère de conservation des invariants. Si ce critère est satisfait, il faudra encore vérifier que la fdv se trouve dans la région proche à la précision ε de la maxwellienne d’équilibre pour des temps supérieurs à tε(v). Ce point dépend de la formule qu’on a utilisé pour exprimer ν(v) à partir de ν²(v) . Si on utilise la formule (B.97), il faut vérifier l’influence de l’état initial sur le critère (B.99). Si on utilise la formule (B.96), on sait que le modèle BGK sera valable pour cet état initial à partir du temps tε(v). On pourra alors traiter le problème initial en utilisant le modèle BGK à la place du terme de collisions élastiques. Comme les termes de collision inélastiques vont modifier la densité et la température de la fdv, il faudra les recalculer entre deux itérations successives dans le temps, pour injecter leur valeur dans la maxwellienne. Moyennant quoi, si la solution finale de ce problème reste proche de la maxwellienne, à la précision initiale ε, on pourra garantir que cette solution est proche de celle qu’on aurait trouvée avec FPL ou Boltzmann. Si l’écart à la maxwellienne devient important, on ne peut plus rien dire. La solution finale peut être une mauvaise comme une bonne solution. Pour statuer sur la validité du modèle BGK dans le problème temporel, il faudrait comparer les formes mathématiques de FPL et BGK par l’étude du spectre de l’opérateur de collision. On peut déjà voir que la relaxation de tel ou tel moment va dépendre de l’intégrale de la fréquence de collision pondérée par ce moment, sur les vitesses. Chaque moment va donc avoir une fréquence de relaxation différente, par comparaison avec le modèle BGK à fréquence de collision constante qui décrivait parfaitement bien la relaxation d’un moment particulier, mais qui décrivait mal tous les autres. Dans notre cas, la relaxation de chaque moment sera à peu près mal décrite, la nuance tenant dans le à peu près. Sans étude de spectre, on ne peut aller plus loin, mais le modèle BGK pourrait se révéler un bon modèle pour ce type de problèmes.

de collision. Cette difficulté est levée par les arguments de la section B.3.2, et nous calculons dans la section B.4 suivante ces fréquences de collision, valables pour le problème temporel comme pour le problème stationnaire.

B.4 Choix des fr´equences de collision

Le but de cette section est d’apporter un regard sur la fa¸con dont, en général, une fdv initiale quelconque approche sa maxwellienne d’équilibre sous l’effet des collisions élastiques. Le but pratique étant de déterminer des fréquences de relaxation pour le modèle BGK.

L’étude de ces temps se sépare en deux classes différentes :

– les collisions fortes de particules légères avec des particules lourdes : ce sera pour nous les collisions des électrons avec les atomes, éventuellement des électrons avec les ions si on ne s’occupe que des chocs proches,

– les collisions faibles entre particules chargées, déterminées par la forme FPL.

B.4.1 Les collisions des ´electrons avec les atomes

En utilisant le modèle imparfait du gaz de Lorentz [32], on peut déterminer des temps de relaxation pour les différentes anisotropies, et un temps de relaxation de la distribution isotrope vers une maxwellienne de température égale à celle des atomes. Ce dernier point marque la différence entre ce modèle imparfait et le modèle parfait du gaz de Lorentz décrit plus haut, pour lequel il n’y avait aucun échange d’énergie entre les électrons et les atomes, impliquant que la partie isotrope de la fdv des électrons n’évoluait pas vers une maxwellienne d’équilibre. La fréquence de relaxation des anisotropies d’ordre l s’écrit :

νl(v) = 2πnHv Z π

0 [1 − P

l(cos θ)]qHe(v, θ) sin θ dθ , (B.88) où Pl _{est le polynôme de Legendre d’ordre l. Soit on se limite aux premières anisotropies pour} avoir une valeur universelle de la fréquence de relaxation, soit on suppose que la section efficace différentielle est isotrope, et les fréquences de relaxation ne dépendent plus du degré d’anisotropie : ∀l , νl(v) = nHvqHe(v) . (B.89) Bien sûr la sed n’est pas isotrope (voir la section A.5.4). Pour la gamme d’énergie, qui nous intéresse, des électrons 1−10 eV, la sed fait un creux. Le rôle des extrémités est atténué par le terme sin θ dans (B.88), alors si ce creux a la même valeur pour toutes les vitesses dans cette gamme, l’approximation de la sed isotrope n’est pas trop mauvaise. Ce n’est pas le cas, la valeur du creux dépend de la vitesse. Cette dépendance est prise en compte pour le calcul de la sed intégrée (sei). Le calcul de la section efficace totale de transfert de quantité de mvt a été faite. Elle correspond à la fréquence de collision de première anisotropie (l = 1), et elle rejoint la sei autour de 5 eV, alors qu’on ne sait rien sur elle en dessous, et elle se stabilise a une valeur à peu près deux fois moindre que la sed intégrée pour les grandes vitesses, suivant à peu près la même décroissance que la sed intégrée. Il risque d’en être de même pour les autres anisotropies. En conséquence, on ne va pas pouvoir trouver de fréquence de collision universelle pour toutes les anisotropies. Nous prendrons comme modèle les fréquences de collision de toutes les anisotropies égales à la première (ce qui revient à supposer que la sed est isotrope), qui sera elle-même égale à la sei ν0(v).

Pour tenter de justifier cette hypothèse, examinons la formule (B.88). On remarque que la caractéristique de l’anisotropie vient du Pl(cos θ), et que le 1 correspond à la sed intégrée. Comme on intègre sur 0 ≤ θ ≤ π, on a −1 ≤ cos θ ≤ 1. En utilisant la relation de récurrence connue sur les polynômes de Legendre, l’expression connue des deux premiers polynômes (d’ordre 0 et 1), et la relation d’orthogonalité qui stipule que l’intégrale de tout polynôme d’ordre l > 0 sur [−1, 1] est nulle, on peut en déduire les deux résultats suivants :

– tout polynˆome est born´e aux valeurs [−1, 1] sur l’intervalle [−1, 1],

– tout polynôme d’ordre l > 0 change de signe au moins une fois sur ce même intervalle. Le premier résultat permet de voir que toute fréquence de collision d’anisotropie l, à chaque vitesse, est bornée entre 0 et au plus deux fois la valeur équivalente à la sei. Le deuxième résultat

B.4. CHOIX DES FR ´EQUENCES DE COLLISION 169

permet de voir que cet écart à la sei est moindre qu’en considérant les bornes possibles, puisque le fait que le polynôme change de signe sur le domaine d’intégration atténue les effets de l’anisotropie. Mettons en pratique ce raisonnement pour la première anisotropie pour laquelle P1(cos θ) = cos θ. Nous faisons référence à la figure (Fig. A.1).

Pour des énergies cinétiques inférieures typiquement à 5 eV, la sed fait un creux au milieu et les extrémités ont à peu près la même valeur. La valeur pour π est légèrement plus faible que pour 0, et le tout est à peu près symétrique par rapport à π/2. Alors la contribution de l’anisotropie va devenir petite par rapport à 1, et légèrement inférieure, ce qu’on observe bien pour 5 eV, et nous en déduisons que ce comportement va rester le même pour des énergies inférieures.

Pour des énergies cinétiques supérieures à 5 eV, la sed décroˆıt très vite jusqu’à π/2, puis reste à peu près constante jusqu’à π, avec une valeur comprise entre un et deux ordres de grandeur par rapport à la valeur en 0. On comprend que la contribution de cos θ va atténuer l’intégration de 0 à π/2, alors qu’il va augmenter, légèrement toutefois, de π/2 à π. Cela donne globalement une atténuation d’un facteur à peu près deux par rapport à la sei, ce qu’on trouve aussi.

Sur cet exemple, on voit que non seulement la fréquence de collision d’anisotropie d’ordre 1 ne dépasse pas la sed intégrée, mais encore qu’elle ne chute pas de fa¸con dramatique : on a au plus un facteur 2.

Pour les autres anisotropies, étant donné que Pl(1) = 1, on peut s’attendre au même comportement. Il pourrait y avoir dépassement, mais pas de chute spectaculaire malgré tout. C’est pour cela qu’il nous semble commettre au pire une erreur de ±100% sur toutes les fréquences de collision des anisotropies en supposant dans (B.88) que la sed est isotrope. Dans l’état actuel de notre travail, et sachant que finalement c’est le comportement selon la vitesse qui est important, cela nous semble satisfaisant.

Pour la relaxation de la partie isotrope, les études assez complexes faites sur le spectre de l’opé- rateur de collision associé à ce phénomène, de type Fokker-Planck, montrent que la fréquence de relaxation de la partie isotrope a le même comportement que (me/mH)ν1(v), c’est à dire (me/mH)ν0(v) dans notre approximation.

B.4.2 Les collisions entre particules charg´ees

Tout le problème de déterminer la fréquence de collision du modèle BGK vient de savoir quels critères on retient : ce modèle doit-il être le plus fidèle possible aux équations originelles (Boltzmann, Fokker-Planck-Landau, équations linéarisées), utiliser une définition faisant appel au sens physique, ou reprendre les résultats de calcul numérique sur l’approche à l’équilibre d’une fdv initiale vers la maxwellienne attendue ?

La fa¸con dont on essaye de deviner cette fréquence va nous permettre d’obtenir des expressions qui seront différentes, bien que comportant des éléments communs. Cela va nous mener à trois approches différentes :

– l’approche num´erique, – l’approche intuitive, – l’approche math´ematique.

Ce n’est qu’après avoir détaillé toutes ces approches, et en ayant cerné leur domaine de validité, que l’on pourra essayer de décider quelle expression on peut utiliser pour la fréquence de collision. B.4.2.1 L’approche numérique

Nous nous basons sur les travaux de Rosenbluth et al. [68, 88], qui ont résolu numériquement l’équation temporelle de Fokker-Planck-Landau non-linéaire pour des électrons collisionnant avec eux-mêmes par le biais de l’interaction coulombienne. Pour la région des faibles vitesses (le départ de la fdv v ¿ ¯ve) et moyennes vitesses (la bosse de la fdv v ≈ ¯ve), les auteurs ont choisi une fdv initiale gaussienne (Dirac élargi) centrée sur la vitesse la plus probable ¯ve de température Te (¯ve= p 2kTe/me) : f (v, 0) = 1 π3/2 1 ¯ v3 e exp µ −_¯_v12 e (v − ¯ve)2 ¶ . (B.90)

Pour la région des hautes vitesses (la queue de la fdv v À ¯ve), leur modélisation de la distribution initiale en onde de diffusion correspond à f (v, 0) = 0. Les calculs permettent de suivre l’évolution

de la fdv en fixant le temps d’atteinte de l’équilibre maxwellien lorsque l’écart est de quelques % (ils ont bien définis cette maxwellienne grâce à la densité et la température de la gaussienne initiale). Il faut remarquer que les équations utilisées sont à une dimension, et ne traitent que la relaxation de la partie isotrope de la fdv des électrons. Les équations pour la partie non isotrope sont très compliquées. Cette étude va nous permettre de trouver une expression simple du temps

Dans le document La thermalisation des électrons dans une atmosphère stellaire (Page 167-174)