L’approche ph´enom´enologique

Les travaux r´ealis´es dans cet esprit ont conduit `a ´etendre le mod`ele BGK `a un gaz constitu´e de N types de particules, pour des fr´equences de collision constantes [6, 45, 71, 47, 42]. La forme intuitive ainsi choisie fut valid´ee par l’approche math´ematique. Ce mod`ele est caract´eris´e par plusieurs param`etres, pour lesquels il faut trouver des expressions, ou tout du moins des relations

de passage de l’un `a l’autre. Certaines relations doivent traduire la conservation des invariants collisionnels, et certaines sym´etries du terme de source de Boltzmann. Cela ne suffit pas en g´en´eral pour connaˆıtre tous les param`etres. On a donc besoin de comparer certains r´esultats aux r´esultats que l’on obtiendrait avec le terme de Boltzmann complet. Les r´esultats ainsi obtenus s’appuient sur l’interaction de Maxwell, et peuvent, dans certaines conditions, ˆetre ´etendus `a d’autres potentiels. Le terme de source local de l’esp`ece i s’´ecrit :

Σi(v) = −ni N X j=1 νij[fi(v) − fij0(v)] , (B.30) avec fij0(v) = µ mi 2πkTij ¶3/2 exp · −mi(v − uij)2 2kTij ¸ (B.31) 1 = Z fi(v) dv (B.32) ui= uii = Z vfi(v) dv (B.33) Ti= Tii =mi 3k Z (v − uii)2fi(v) dv (B.34) La d´etermination des autres param`etres s’appuie sur la conservation, lors de la collision i + j ­ i + j, de la quantit´e de mouvement totale et de l’´energie cin´etique totale. Les collisions ´etant toutes binaires, les raisonnements suivants s’appliquent `a tous les couples {i, j} possibles parmi les N types pr´esents, comme si le gaz n’avait que deux types de particules diff´erents. La conservation de la quantit´e de mouvement totale permet d’avoir une relation entre uij, uji, ui, uj, νij et νji. La conservation de l’´energie cin´etique totale permet d’obtenir une relation entre Tij, Tji, Ti, Tj, ui, uj, νij et νji. Pour aller plus loin, il faut comparer ce mod`ele `a certaines propri´et´es obtenues `a partir du terme de source de Boltzmann. On utilise alors le potentiel d’interaction de Maxwell, mais ce r´esultat peut s’´etendre `a tous les potentiels `a force centrale si on remplace, dans les int´egrales du terme de Boltzmann, les fdv par leur maxwellienne d’´equilibre. Dans certains cas, cette hypoth`ese est tout `a fait valable. Alors on compare l’expression de la relaxation des vitesses moyennes l’une vers l’autre ∂(ui− uj)/∂t avec celle donn´ee par le terme de Boltzmann. On fait de mˆeme pour la relaxation des temp´eratures l’une vers l’autre ∂(Ti− Tj)/∂t. Cela permet de pouvoir exprimer s´epar´ement tous les moments mixtes en fonction des moments pour chaque esp`ece, et des fr´equences de collision mixtes. Cela donne de plus une relation entre νij et νji. Malgr´e cela, on voit que les fr´equences de collision sont toujours des param`etres libres. Il faut essayer de les d´eterminer en tenant compte de la physique du syst`eme. On sait par exemple que la relaxation des distributions dans un gaz `a deux esp`eces dont l’une est beaucoup plus lourde que l’autre, se passe en trois phases [40] :

– l’esp`ece la plus l´eg`ere i relaxe d’abord vers une maxwellienne caract´eris´ee par (ui, Ti), – l’esp`ece la plus lourde j relaxe ensuite vers une maxwellienne caract´eris´ee par (uj, Tj), – les vitesses moyennes et les temp´eratures relaxent l’une vers l’autre.

Les temps caract´eristiques de ces phases sont : 1 : r_m j mi : mj mi , (B.35)

ce qui permet d’obtenir des relations entre les quatre fr´equences de collision νij. D’autres arguments, d´evelopp´es plus loin, permettent de trouver ces fr´equences de collision. Grˆace `a cela, tous les param`etres du mod`ele BGK pour les m´elanges gazeux seront d´etermin´es.

Les m´ethodes d´ecrites jusqu’ici ne sont valables que pour des fr´equences de collision constantes. Dans ce cas, la fdv des ´electrons ´evolue dans le temps vers la distribution maxwellienne des vitesses d´efinie dans le mod`ele, dont les param`etres sont la densit´e, la vitesse moyenne et l’´energie cin´etique moyenne des ´electrons, quantit´es invariantes lors de collisions ´elastiques. Dans ces conditions, si on connaˆıt le temps de relaxation d’une fdv quelconque donn´ee vers la maxwellienne d’´equilibre, la

B.2. LES DIFF ´ERENTES APPROCHES 153

fr´equence de collision du mod`ele BGK est simplement l’inverse du temps de relaxation. Pour les interactions coulombiennes, la fr´equence de collision d´epend a priori de la vitesse. Dans un probl`eme d’´evolution dans le temps, si on veut que le mod`ele BGK conserve les invariants collisionnels, alors les param`etres de la maxwellienne d´efinie dans le mod`ele ne correspondent plus `a la densit´e, la vitesse moyenne et l’´energie cin´etique moyenne des ´electrons. Ce sont des param`etres fictifs, qu’il est n´ecessaire de recalculer `a chaque it´er´e dans le temps. Le calcul des temps de relaxation s’appuie sur la r´esolution du probl`eme d’´evolution temporelle sous le seul effet des collisions ´elastiques d´ecrites par un terme de FPL. Bien que le calcul des temps de relaxation d´ependants de la vitesse se trouve couramment dans les livres de physique des plasmas, on ne peut plus ´ecrire que la fr´equence de collision du mod`ele soit l’inverse du temps de relaxation. Il nous semble possible de trouver une expression de la fr´equence de collision en fonction du temps de relaxation, bien que ce soit nettement plus compliqu´e dans ces conditions. Cette fr´equence doit ˆetre recalcul´ee `a chaque it´er´e dans le temps, et tous les param`etres du mod`ele BGK sont alors d´etermin´es.

Seulement nous r´esolvons un probl`eme stationnaire. Dans ce cas, la maxwellienne du mod`ele BGK ne peut qu’ˆetre la maxwellienne d’´equilibre. Imaginons le premier it´er´e si ce n’est pas le cas : la fdv devient une maxwellienne fictive, qui va permettre de calculer les param`etres de la maxwellienne du mod`ele BGK pour l’it´er´e suivant. Ce calcul ne change pas la distribution, et on a d´ej`a atteint la fdv d’´equilibre au bout du premier it´er´e, ce qui montre que la maxwellienne du mod`ele BGK pour le premier it´er´e ne peut ˆetre que la maxwellienne d’´equilibre. Sachant cela, on ne peut toujours pas ´ecrire que la fr´equence de collision du mod`ele est l’inverse du temps de relaxa- tion, parce qu’il n’existe pas de temps de relaxation dans un probl`eme stationnaire. Le seul lien apparent entre le probl`eme d’´evolution temporelle et le probl`eme stationnaire est la ressemblance math´ematique des termes de collision ´elastique : le terme de Fokker-Planck est le mˆeme dans les deux probl`emes. Seulement le mod`ele BGK n’est pas le mˆeme d’un probl`eme `a l’autre puisque la maxwellienne d´efinie dans ce mod`ele n’est pas la mˆeme si on r´esout un probl`eme d’´evolution temporelle ou un probl`eme stationnaire. Il existe sans doute d’autres liens qui permettraient d’ex- primer la fr´equence de collision du mod`ele BGK dans le probl`eme stationnaire `a partir du temps de relaxation dans ce probl`eme d’´evolution temporelle. En d’autres termes, la fr´equence de collision du mod`ele BGK dans un probl`eme stationnaire se comprend plus comme une force, qui permet de comparer l’importance d’un terme de collision par rapport `a un autre, un terme de source d´ecrivant les collisions in´elastiques par exemple.

Nous avons fait une ´etude num´erique, d´etaill´ee `a la section B.3, qui permet de r´econcilier l’approche stationnaire et l’approche d’´evolution dans le temps, avec une tr`es bonne approximation, ce qui d´etermine la fr´equence de collision.

B.2.3

Conclusion

Dans un traitement des collisions ´elastiques par un mod`ele BGK, nous avons vu que la forme usuelle du mod`ele BGK est caract´eris´ee par la maxwellienne d’´equilibre. La relaxation vers l’´equi- libre se passe en deux ´etapes qualitativement : une relaxation d’une distribution initiale anisotrope vers sa composante isotrope, et une relaxation de cette distribution isotrope vers la maxwellienne. On aimerait pouvoir affiner le mod`ele BGK en ´ecrivant pour le terme de source Σij(v), d’apr`es des notes appartenant `a J. Oxenius :

Σij(v) = −νijISO(v)[fi(v) − fi(v)] − νijM AX(v)[fi(v) − fij0(v)] , (B.36) o`u fi(v) est la partie isotrope de fi(v), νijISO est la fr´equence de collision d´ecrivant l’isotropisation de la fdv, et νM AX

ij est la fr´equence de collision d´ecrivant la maxwellisation de la fdv isotrope. On a vu les probl`emes pos´es par des fr´equences non constantes. Malgr´e cela, cette forme semble a priori valable dans les deux cas extrˆemes : celui de fr´equences de collision tr`es diff´erentes (collisions ´electrons-atomes) et celui de fr´equences de collision ´egales (collisions entre particules charg´ees). N’oublions pas que ce raisonnement est approch´e. Ce qui nous int´eresse est le bon ordre de grandeur et l’´evolution qualitative en la vitesse des grandeurs.

Nous r´esumons les conclusions des ´etudes men´ees sur ce mod`ele, et d´ecrites la plupart dans cette section B.2 :

– la premi`ere ´etude [6, 44] consistait en la comparaison de la forme de Boltzmann et de la forme BGK, pour un potentiel d’interaction particulier : l’interaction maxwellienne, qui r´esulte en

un mod`ele BGK `a fr´equence de relaxation constante. Pour cela, les auteurs ont lin´earis´e ces deux formes (Boltzmann et BGK). Les auteurs montraient alors que les deux premiers crit`eres ´etaient remplis, le mod`ele BGK ´etant valable pour le probl`eme temporel du transport si on ´etudiait l’´evolution du moment correspondant `a la valeur de la fr´equence de collision choisie (spectre de l’op´erateur de collision). La relaxation de ce moment vers l’´equilibre serait alors bien d´ecrite, mais les autres moments, qui relaxent avec une fr´equence qui leur est propre, seraient forc´es de relaxer avec la fr´equence unique choisie. Leur relaxation serait alors mal d´ecrite. Pour le probl`eme stationnaire, ce qui est important est la valeur du terme de source pour une fdv donn´ee. Le mod`ele BGK lin´earis´e est une troncature du terme de source original lin´earis´e, et aucune ´etude n’a ´et´e faite sur la validit´e de cette troncature.

– La deuxi`eme ´etude [45, 106, 38, 15, 19, 67] avait pour but d’utiliser d’autres interactions que l’interaction maxwellienne. Cela menait, pour une part, `a l’utilisation de fr´equences de collision constantes dans le mod`ele non-lin´eaire, qui ´etaient d´etermin´ee par le crit`ere de bonne relaxation de certains moments, au d´epit des autres. Les conclusions sur la validit´e du mod`ele BGK ´etaient donc les mˆemes que celles de la premi`ere ´etude : ce mod`ele est valable pour l’´etude de l’´evolution de certains moments de la fdv dans les ´equations non- lin´eaires temporelles du transport. Cette ´etude a aussi ´et´e ´etendue aux gaz `a plusieurs esp`eces (´equations coupl´ees).

– La troisi`eme ´etude [27] consiste en l’´etude du spectre de l’op´erateur de collision de la forme de Boltzmann lin´earis´ee, pour n’importe quel type d’interaction. On y montre qu’en g´en´eral la fr´equence de collision du mod`ele BGK d´epend de la vitesse. Si on utilise cette fr´equence de collision dans le mod`ele BGK non-lin´eaire, on a un gros probl`eme pour d´eterminer, par des arguments physiques, cette fr´equence de collision, ainsi que les param`etres de la fdv `a l’´equilibre f0_{. Sous cette forme, le mod`ele BGK n’est pas exploitable.}

Les analyses faites dans cette derni`ere ´etude, et dans le livre en g´en´eral qui traite de l’´equation de Boltzmann, sont assez profondes et m`enent `a des d´eveloppements math´ematiques tr`es pouss´es, qui, nous semble t-il, ne nous sont d’aucune utilit´e pour le probl`eme que nous nous proposons de r´esoudre. Ce probl`eme est l’´etude cin´etique stationnaire du mod`ele BGK non-lin´eaire, pour une fr´equence de collision d´ependant de la vitesse, d´etermin´ee non pas par comparaison avec la forme de Boltzmann, mais par comparaison avec la forme de FPL, qui a ´et´e faite `a la section B.2. D’apr`es les conclusions donn´ees ci-dessus de la troisi`eme ´etude, ce mod`ele BGK serait inexploitable. La difficult´e, nous le rappelons, vient du fait que les caract´eristiques de la maxwellienne d’´equilibre associ´ee au mod`ele ne sont plus exactement les invariants collisionnels de la fdv, ceci afin que les collisions ´elastiques conservent ces invariants dans un probl`eme d’´evolution temporelle, alors qu’ils doivent ˆetre ces invariants dans un probl`eme stationnaire. Nous traitons ici, et par la suite, du seul cas de la collision ´elastique de particules de la mˆeme esp`ece.

Nous pr´esentons `a la section suivante une ´etude originale de la validit´e du mod`ele BGK, aussi bien pour le probl`eme temporel que stationnaire.

B.3

Etude sur la validit´´

e du mod`ele BGK

Nous allons montrer dans cette section que le mod`ele BGK (B.2), g´en´eralis´e `a toutes les esp`eces i de notre atmosph`ere selon (B.37) :

∂ ∂tfi(v, t) = Σ BGK i (v, t) = −νi(v) £ fi(v, t) − fiM[u, T ](v) ¤ , (B.37)

satisfait les propri´et´es du terme de collisions ´elastiques de Boltzmann, ´enonc´ees en d´ebut de chapitre et rappel´ees ci-dessous.

1. La fdv fi, distribution statistique positive, reste positive en ´evoluant dans le temps.

2. La densit´e de masse de chaque esp`ece ρi (donc la densit´e totale ρ aussi), la quantit´e de mouvement totale g et l’´energie cin´etique totale e sont instantan´ement conserv´ees (leur va- riation dans le temps est nulle). On les appelle invariants collisionnels, et ils ont ´et´e definis au chapitre 1 (Eqs. 1.4, 1.5).

3. Chaque fdv fi ´evolue irr´eversiblement dans le temps de la fdv vers une maxwellienne de vitesse moyenne u et temp´erature T unique (les quantit´es conserv´ees). Ce r´esultat provient

B.3. ´ETUDE SUR LA VALIDIT ´E DU MOD `ELE BGK 155

du th´eor`eme H de Boltzmann, qui prend la forme : X i ni Z ln fi(v) X j Σij(v) dv ≤ 0 , (B.38)

o`u Σij(v) est le terme de collisions ´elastiques i + j ­ i + j de l’´equation cin´etique de l’esp`ece i, et la somme sur i et j porte sur toutes les types pr´esents. L’in´egalit´e (B.38) devient une ´egalit´e si et seulement si chaque fdv atteint l’´equilibre fi(v) = fiM[u, T ](v), o`u u et T sont la vitesse massique moyenne du gaz et la temp´erature moyenne du gaz respectivement (Eq. 1.5). Dans ce cas, non seulement le terme de collisions ´elastiques de chaque ´equation cin´etique est nul : ∀i, PjΣij(v) = 0, mais chaque terme de collision est nul :∀(i, j), Σij(v) = 0.

L’approche originale que nous allons pr´esenter consiste `a se rendre compte que dans la mesure ou les invariants existent, ils d´efinissent une maxwellienne pour une partie non n´egligeable de l’espace des phases (le bulk ). Cette partie ´etant conserv´ee (en supposant que les collisions in´elastiques ne la perturbent pas trop), elle participe en majorit´e `a la valeur des invariants, et mˆeme si la queue par exemple n’est pas maxwellienne, mˆeme largement, elle n’influence que tr`es peu les invariants. Ce dernier point d´epend bien entendu de la forme de la fr´equence de collision, mais nous verrons plus loin qu’elle est plutˆot favorable.

La cons´equence est que les param`etres de la maxwellienne du mod`ele ne sont plus fictifs : ce sont ceux de la fdv initiale, et la fr´equence de collision est bien calculable `a partir de l’inverse du temps de relaxation. Mais les invariants collisionnels ne sont plus strictement conserv´es.

Avec cette forme (B.37), qui est une ´equation diff´erentielle du premier ordre lin´eaire en la fdv, nous pouvons prouver les propri´et´es 1 et 3. Pour nous y aider, nous d´efinissons la fonction gi(v, t) :

gi(v, t) =

fi(v, t) − fiM[u, T ](v) fM

i [u, T ](v)

, (B.39)

qui d´ecrit l’´ecart relatif de la fdv `a la maxwellienne d’´equilibre. Alors l’´equation (B.37) peut ˆetre mise sous la forme :

∂

∂tgi(v, t) = −νi(v)gi(v, t) , (B.40) dont la solution unique est, `a partir d’une condition initiale t = 0 :

gi(v, t) = gi(v, 0)e−νi(v)t. (B.41) Comme la fdv initiale fi(v, 0) et la maxwellienne d’´equilibre fiM[u, T ](v) ont la mˆeme norma- lisation `a 1, il existe au moins une vitesse v1 pour laquelle gi(v1, 0) < 0. Pour cette vitesse, si la fr´equence de collision νi(v1) est n´egative, alors l’´equation (B.41) montre gi(v1, t → +∞) → −∞. Ceci implique que fi(v1, t) va devenir n´egatif `a un moment donn´e, ce qui est interdit par la pro- pri´et´e 1. Donc la fr´equence de collision νi(v) est positive (ou nulle) pour toutes les vitesses, ce qui montre que la propri´et´e 2 est v´erifi´ee par le mod`ele BGK. En effet l’irr´eversibilit´e de l’´evolution de la fdv vers la fdv d’´equilibre peut ˆetre mise sous la forme math´ematique, locale en la vitesse :

∂

∂t|gi(v, t)| ≤ 0 . (B.42)

Alors la solution de (B.37) est :

fi(v, t) =£fi(v, 0) − fiM[u, t](v) ¤

e−νi(v)t_{+ f}M

i [u, t](v) . (B.43) La premi`ere et troisi`eme propri´et´e ´etant d´emontr´ees, il nous reste `a v´erifier la deuxi`eme pro- pri´et´e : v´erifier si ce mod`ele BGK conserve bien les invariants collisionnels.

Pour la densit´e de masse, nous devons satisfaire la relation : Z Σi(v) dv = Z νi(v)£fi(v, t) − fiM[u, T ](v) ¤ dv = 0 . (B.44)

Le r´esultat (B.44) est strictement v´erifi´e si la fr´equence de collision νi(v) ne d´epend pas de la vitesse. Dans le cas contraire, qui nous int´eresse ici, nous d´emontrons `a la section B.3.1, que si cet

invariant n’est pas strictement conserv´e, il l’est avec une tr`es grande pr´ecision suffisante pour nos calculs d’atmosph`ere stellaire. Par contre, nous ne d´emontrons ceci que dans notre cadre de travail ui= u = 0 et Ti= T (esp`ece i de vitesse moyenne nulle et de mˆeme temp´erature).

Pour la quantit´e de mouvement totale, nous devons satisfaire la relation : X i Z mivΣi(v) dv = X i Z mivνi(v)£fi(v, t) − fiM[u, T ](v) ¤ dv = 0 . (B.45) Si la fr´equence de collision νi(v) ne d´epend pas de la vitesse, La relation (B.45) peut ˆetre

simplifi´ee : _X

i

miνi(ui− u) = 0 , (B.46)

ce qui est vrai si νi ne d´epend pas de i, ce qui est peu probable puisque νi d´epend de toutes les densit´es, ou si la vitesse moyenne de chaque esp`ece i est identique (pas forc´ement nulle). Dans le cas qui nous int´eresse les fdv fi sont isotropes en la vitesse, et ont une vitesse moyenne nulle, donc la fr´equence de collision ne d´epend que de la norme de la vitesse νi(v), et la relation (B.45) est strictement v´erifi´ee car les int´egrales sont toutes nulles.

Pour l’energie cin´etique totale, nous devons satisfaire la relation : X i Z miv2Σi(v) dv = X i Z miv2νi(v)£fi(v, t) − fiM[u, T ](v) ¤ dv = 0 . (B.47) Si la fr´equence de collision νi(v) ne d´epend pas de la vitesse, La relation (B.47) peut ˆetre

simplifi´ee : _X

i

νi(Ti− T ) = 0 , (B.48)

ce qui est vrai si νi ne d´epend pas de i, ce qui est peu probable puisque νi d´epend de toutes les densit´es, ou si la temp´erature chaque esp`ece i est identique. Dans le cas qui nous int´eresse nous d´emontrons `a la section B.3.1, que si cet invariant n’est pas strictement conserv´e, il l’est avec une tr`es grande pr´ecision, suffisante pour nos calculs d’atmosph`ere stellaire. Par contre, nous ne d´emontrons ceci que dans notre cadre de travail ui= u = 0 et Ti= T (esp`ece i de vitesse moyenne nulle et de mˆeme temp´erature).

Pour r´esumer, nous avons d´emontr´e les propri´et´es 1 et 3, et la propri´et´e 2 de conservation des invariants est satisfaite avec une grande pr´ecision, dans notre cadre de travail de fdv isotropes en la vitesse, de vitesse moyenne nulle, et de temp´erature identique. Dans ce cas bien pr´ecis, les remarques ´ecrites `a la fin de l’´enonc´e de la propri´et´e 3 permettent d’´ecrire, pour la fdv des ´electrons dans notre cas, que le terme de collisions ´elastiques des ´electrons avec d’autres particules fait tendre la fdv des ´electrons de temp´erature T vers une maxwellienne de temp´erature T . Comme ceci est le comportement du mod`ele BGK d´ecrit ici, nous pourrons alors associer un mod`ele BGK `a chacun de ces termes de collision, au lieu d’en associer un `a leur somme. Ceci nous permettra de calculer la fr´equence de collision. Nous pouvons ´ecrire :

Σei(v) ≈ ΣBGKei (v) = −νei(v)£fe(v) − feM[T ](v) ¤ , (B.49) et Σe(v) = X i Σei(v) ≈ ΣBGKe (v) = −νe(v) £ fe(v) − feM[T ](v) ¤ , (B.50) o`u νe(v) = X i νei(v) . (B.51)