La m´ethode de r´esolution du probl`eme global

5.6

La m´ethode de r´esolution du probl`eme global

La pr´esente description est limit´ee au cas o`u la masse volumique et la temp´erature sont constantes, qui est le cas trait´e au chapitre suivant. Lorsque ρ et T sont constants, nous devons r´esoudre l’´equation de transfert, les ´equations de l’´equilibre statistique et l’´equation cin´etique des ´electrons de fa¸con it´erative. Les ´equations de l’´equilibre statistique sont compl´et´ees par la condition de neutralit´e ´electrique de l’atmosph`ere n+= neet par l’´equation de conservation de la densit´e de particules lourdes n0.

Les donn´ees sont, outre ρ et T , la profondeur g´eom´etrique Z de l’atmosph`ere, qui est choisie de telle sorte que le rayonnement p´en´etrant par la couche z = Z soit planckien de temp´erature T .

L’it´eration, repr´esent´ee par la figure (Fig. 5.1), se d´eroule de la fa¸con suivante :

1. (CI) conditions initiales. Les populations sont calcul´ees `a l’´equilibre de Boltzmann-Saha, avec les contraintes n+ = ne et Pni+ n+ = n0 (voir Eqs. C.7, C.11). La fdv des ´electrons est maxwellienne de temp´erature T .

2. D´efinition d’une ´echelle de profondeur optique pour des populations donn´ees et une fdv des ´electrons donn´ee.

3. (ET) r´esolution de l’´equation de transfert pour l’´echelle de profondeur optique d´efinie `a l’´etape 2, des populations donn´ees et une fdv des ´electrons donn´ee : relations (5.37, 5.38, 5.39) avec ξ = 0 (champ incident planckien).

4. (ES+EC) r´esolution des ´equations de l’´equilibre statistique et des contraintes traduisant la conservation de la charge et de la densit´e des particules lourdes, pour un champ radiatif et une fdv des ´electrons donn´es. Ce syst`eme d’´equations ´etant non lin´eaire en ne, on r´esout le syst`eme lin´eaire (ES) des inconnues {ni, n+} pour une densit´e nedonn´ee, puis on calcule une nouvelle valeur de nepar l’´equation de conservation de la charge (EC), et on it`ere entre (ES) et (EC) jusqu’`a convergence du syst`eme {ni, n+, ne} (voir section 5.4 pour les d´etails). 5. (ECE) r´esolution it´erative de l’´equation cin´etique des ´electrons pour un champ radiatif et

des densit´es donn´ees. La fdv des ´electrons r´esultant de ce calcul permet de d´eduire une temp´erature cin´etique diff´erente a priori de la temp´erature constante de notre mod`ele. On observe n´eanmoins que cette temp´erature s’´ecarte tr`es peu de la temp´erature impos´ee `a la fin de l’it´eration (variation relative inf´erieure `a 10−3_{), ainsi notre mod`ele conserve la} temp´erature3_.

6. Retour `a l’´etape 2 et fin de l’it´eration lorsque la variation relative de toutes les inconnues est inf´erieure `a 10−3 _{entre deux it´er´es successifs, pour toutes les valeurs possibles des variables.} On obtient ce r´esultat typiquement apr`es 20-30 it´er´es.

3_{Imposer l’invariance de la temp´erature doit ˆetre vu comme une ´etape n´ecessaire `a la r´esolution num´eriquede}

notre probl`eme, qui devient fortement instable en pr´esence d’un gradient de temp´erature. Mais nous avons conscience que forcer une telle condition est difficile `a justifier physiquement.

n = cte₀

ECE

ET

CI

EC

ES

Chapitre 6

Calculs num´eriques

6.1

Les mod`eles pr´esent´es

Les calculs num´eriques de ce chapitre portent sur une atmosph`ere d’hydrog`ene pur, de temp´e- rature T et de masse volumique ρ constantes pour tout le milieu. Ces param`etres sont ceux de la photosph`ere du soleil. Le mod`ele d’atome d’hydrog`ene ne contient que les deux premiers niveaux en ´energie compl`etement d´eg´en´er´es, ce mod`ele ´etant le plus simple pour d´ecrire les effets d’une raie de transition et de l’ionisation. Notre milieu sera ´eclair´e par un rayonnement de Planck de temp´erature T , p´en´etrant l’atmosph`ere par sa fronti`ere interne, l’autre plan-fronti`ere ´etant appel´e fronti`ere externe.

Nous pr´esenterons trois cat´egories de mod`eles : en ´equilibre thermodynamique local (ETL), hors ´equilibre thermodynamique local avec ´electrons thermalis´es (NETL), et hors ´equilibre cin´etique maxwellien des ´electrons (NECM).

6.1.1

D´etermination des param`etres

On utilise les valeurs de ρ et T de la couche h = 0 du mod`ele d’atmosph`ere solaire de Stix [112, p. 145] : ρ_¯ = 2.73 × 10−4_{kg m}−3_{, cette masse volumique ´etant donn´ee pour la composition} chimique du soleil, et T = 6420 K. L’abondance relative (en masse) de l’atmosph`ere solaire ´etant X = 0.727, la masse d’hydrog`ene par unit´e de volume est ρ = ρ_¯X = 1.99 × 10−4_{kg m}−3 _: nous choisirons cette valeur comme masse volumique de notre atmosph`ere d’hydrog`ene pur. Cette derni`ere a donc la densit´e d’hydrog`ene et la temp´erature de la surface du soleil.

La densit´e de particules lourdes n0, d´efinie par la relation (Eq. 1.6), vaut alors 1.19 × 1023m−3 (mH= 1.67 × 10−27kg).

Enfin, l’´epaisseur g´eom´etrique Z de l’atmosph`ere est choisie de telle sorte que l’´epaisseur optique τ0(ν) soit sup´erieure `a 100 pour toutes les fr´equences de la grille utilis´ee, un crit`ere qui nous a ´et´e sugg´er´e par E. Simonneau pour garantir un milieu optiquement ´epais `a toutes les fr´equences (Z = 2.0 × 1010_m).

Le tableau (Tab. 6.1) ci-dessous contient les valeurs des populations et du degr´e d’ionisation `a l’ETL.

n0 n n1 n2 ne= n+ χ = n+/(n0− n+) α = n+/n0 1.2 × 1023 _{1.2 × 10}23 _{1.2 × 10}23 _{4.8 × 10}15 _{5.7 × 10}19 _{4.7 × 10}−4 _{4.7 × 10}−4

Tab.6.1 – Populations (en m−3_{) et degr´e d’ionisation `a l’ETL.}

6.1.2

V´erification de la condition de plasma cin´etique classique

Nous allons v´erifier que le mod`ele d´ecrit dans cette partie est bien un plasma cin´etique classique, hypoth`ese n´ecessaire au traitement que nous avons fait des collisions ´elastiques des ´electrons avec

les autres particules charg´ees (voir la note C.2 sur les interactions coulombiennes). Nous rappelons qu’un plasma peut-ˆetre class´e comme cin´etique classique lorsque [32] :

rL¿ de¿ λD, (6.1)

o`u rL est la longueur de Landau, de est la distance interparticulaire moyenne des ´electrons, et λD est la longueur d’´ecran de Debye (pour les ´electrons ici λD = λDe). La condition rL ¿ de montre que les corr´elations sont peu importantes : l’´energie de liaison de plasma est faible devant son ´energie d’agitation thermique, le plasma se rapproche d’un gaz parfait. La condition de¿ λD indique qu’il y a suffisamment d’´electrons dans la sph`ere de Debye pour que l’effet d’´ecrantage ait lieu, et que la description des interactions coulombiennes par un terme de collisions de Boltzmann est plus appropri´e que par un champ de force de Vlasov.

En utilisant les valeurs d´efinies `a la section 6.1.1, et en remarquant d`es `a pr´esent que la densit´e des ´electrons, variant dans l’atmosph`ere, est `a toute profondeur inf´erieure `a la valeur ETL (voir section 6.3.2), nous obtenons :

rL= e2 4π²0 1 kT ∼ 2.6×10 −9_{m, d} e= n−1/3e .2.6×10−7m, λD= r ²0kT e2_n e &_2.6×10−6m. (6.2) La condition (Eq. 6.1) est assez bien v´erifi´ee. Nous repr´esentons graphiquement ce r´esultat sur la figure (Fig. 6.1), sur laquelle apparaissent les diff´erentes r´egions de classification d’un plasma.

0 5 10 15 20 25 30 35

log n

(en m

)

log

T

(en K)

Fig. 6.1 – Diagramme de classification des plasmas (SI)[32]. Nous avons d´elimit´e les r´egions par des droites (x = log ne, y = log T ), la limite rL = de : y − x/3 + 4.78 = 0, la limite de = λD : y − x/3 + 3.68 = 0, la limite de d´eg´en´erescence quantique kT = εF, o`u εF = ~

2

2me(3π

2_n

e)2/3 est l’´energie de Fermi d’un gaz d’´electrons d´eg´en´er´e : y − 2x/3 + 14.37 = 0, et la limite kT = mec2du domaine d’application de la m´ecanique classique non relativiste : y = 9.78. Notre mod`ele, repr´esent´e par le symbole ⊕, correspond `a x ≤ 19.76 et y = 3.81.

Nous allons aussi tester la validit´e de la forme FPL pour le terme de collisions ´elastiques, par rapport aux termes de Vlasov ou de Balescu-Lennard (voir note C.2). Avec les donn´ees neet T de ce mod`ele, nous avons les temps caract´eristiques :

tp∼ 2.4 × 10−12s , td∼ 1.3 × 10−9s , Λ ∼ 560 . (6.3) Le temps caract´eristique de collision ´elastique peut ˆetre ´ecrit (Eq. 3.47) :

tei(v) = 1 νei(v) = τee v ¯ ve R(1) R(v/¯vi) , τee= tee(¯ve) ' 5.4 × 105T 3/2 ne 1 ln Λ ∼ 7.6 × 10 −10_{s . (6.4)}

Nous voyons que les collisions entre ´electrons les plus nombreux (vitesse ¯ve) est correctement d´ecrite par le terme FPL, mais nous sommes tr`es pr`es de la validit´e de la forme de Balescu-Lennard. Pour les collisions entre ´electrons et protons, te+(¯ve) ∼ 6.0 × 10−7s, et la forme de FPL n’est plus strictement valable. Comme le temps tei(v) croˆıt avec le cube de la vitesse, les ´electrons rapides devraient aussi ˆetre d´ecrits par la forme de Balescu-Lennard. Cette forme est compliqu´ee, et nous supposons que la forme habituelle de FPL est une bonne approximation pour la description de ces interactions.