Les diff´erents types de plasmas

L’erreur commise sur ln Λ entre le choix (M ) ou (P ) est ln(1.5)/ ln Λ ∼ 3 − 10%, ce qui est typiquement la marge d’erreur qu’on se donne pour cette forme FPL.

C.2.2

Les diff´erents types de plasmas

Plusieurs grandeurs statistiques caract´erisent les plasmas : – la longueur de Landau rL,

– la distance inter-particulaire moyenne de= n−1/3e , – la longueur d’´ecrantage de Debye λD.

La figure (Fig. C.2) ci-dessous met en ´evidence la complexit´e de l’interaction coulombienne ´ecrant´ee. Nous nous int´eressons volontairement `a un plasma cin´etique classique pour lequel rL¿ de¿ λD.

III

IV

I

r

de

II

λ

particule test

R

Fig.C.2 – Repr´esentation de la d´eviation d’une particule test par une charge ´ecrant´ee, plac´ee au centre de la figure, lors d’interactions coulombiennes dans un plasma cin´etique classique.

Le processus de collision d’un ´electron test sur les autres particules du gaz se d´ecompose en plusieurs zones, selon la distance R `a tout instant entre la particule test, et la particule ´ecrant´ee : I : 0 < R < quelques rL : collisions binaires proches, terme de Boltzmann,

II : quelques rL < R < de: collisions binaires lointaines, terme de Fokker-Planck-Landau (FPL), III : de< R < λD : collisions multiples lointaines, terme de FPL,

IV : λD< R < +∞ : pas de collisions, les interactions avec la particule test sont d´ecrites par le terme de force microscopique de Vlasov.

La forme de Boltzmann est forc´ement valable dans la zone I, et aussi dans la zone II puisque l’interaction y est d´ecrite par la forme de FPL, qui est une forme de Boltzmann dont l’expres- sion int´egrale est devenue diff´erentielle en utilisant l’hypoth`ese de d´eviations faibles par collisions (d´eveloppement de Taylor de la fdv).

C.2. D ´EFINITION ET GRANDEURS D’UN PLASMA CIN ´ETIQUE CLASSIQUE 185

Par contre, la conclusion de la zone III, `a savoir qu’une collision multiple lointaine peut ˆetre d´ecrite par le terme de FPL qui, rappelons-le, s’appuie sur le terme de Boltzmann sp´ecifique des collisions binaires, m´erite une explication. Dans ce cas, on ne peut plus utiliser les formes classiques de la th´eorie cin´etique des gaz qui d´ecrivent l’´evolution de la fdv `a un corps. Les charges sont corr´el´ees, il faut donc ´etudier l’´evolution des fdv `a plusieurs corps. Des calculs ont montr´e que l’effet statistique de cet ensemble al´eatoire de petites d´eviations simultan´ees ´etait le mˆeme que celui d’une suite al´eatoire de collisions binaires d´ecrites par la forme de FPL [32, 70]. Autrement dit, les petites d´eviations multiples et les petites d´eviations binaires sont physiquement tr`es diff´erentes, mais conduisent `a la mˆeme forme math´ematique du terme de collision.

Pour la zone IV, l’interaction se fait suivant le potentiel de Debye-H¨uckel, qui d´ecroˆıt tellement vite (exponentiellement) qu’on n´eglige son influence `a partir de la longueur de Debye.

Pour les r´egions II `a IV, il est possible d’´eviter une coupure `a la longueur de Debye, en employant la forme de Balescu-Lennard [3, 32, 62], qui inclut directement un potentiel d’interaction ´ecrant´e, les int´egrales angulaires devenant finies sans coupure.

Suite `a une discussion avec Nelly Peyraud-Cuenca (Observatoire de Nice) et les r´ef´erences [32, 62], la distinction entre les 3 formes pour d´ecrire les interactions lointaines : Vlasov, Fokker- Planck-Landau et Balescu-Lennard, d´epend de la comparaison entre les temps caract´eristiques du plasma et le temps d’interaction coulombienne des ´electrons avec les autres particules charg´ees de type i, not´e tei(v). Ce temps est le temps caract´eristique de variation de la fdv des ´electrons lors de collisions ´elastiques. Nous avons d´efini avec le mod`ele BGK (Eq. 3.47) la fr´equence de collision νei(v), alors tei(v) = 1/νei(v). Si tei < tp, o`u tp est le temps de plasma, les collisions ´elastiques doivent ˆetre d´ecrites par le terme de force de Vlasov. Si tei> td, o`u td est le temps di´electrique, les collisions ´elastiques doivent ˆetre d´ecrites par la forme de Balescu-Lennard. Entre ces deux temps tp et td, les collisions ´elastiques lointaines sont d´ecrites par la forme de Fokker-Planck-Landau. Nous d´efinissons ci-dessous ces temps caract´eristiques :

tp = r_m e²0 e2_n e ≈ 1.8 × 10 −2_√1 ne (SI) , (C.30) et td= Λtp≈ 7.4 × 104 T3/2 ne (SI) , (C.31)

o`u Λ est le param`etre de plasma d´efini par (Eq. C.29). La forme de Balescu-Lennard est compliqu´ee. Elle n’a pas ´et´e ´etudi´ee dans ce m´emoire, et nous nous placerons dans l’hypoth`ese que la forme FPL est valable pour notre atmosph`ere, ou du moins est une bonne approximation.

On a alors six possibilit´es pour notre terme de collisions ´elastiques : 1. Boltzmann pour 0 < R < λD avec un potentiel coulombien,

2. Boltzmann pour 0 < R < +∞ avec un potentiel ´ecrant´e de Debye-H¨uckel, 3. Boltzmann pour 0 < R < quelques rL +FPL pour 0 < R < λD,

4. Boltzmann pour 0 < R < quelques rL + Fokker-Planck pour quelques rL< R < λD, 5. FPL pour 0 < R < λD,

6. Fokker-Planck pour quelques rL< R < λD.

La premi`ere possibilit´e vient du fait que le terme de FPL, qui est adapt´e aux interactions cou- lombiennes, est un terme de Boltzmann transform´e. Le potentiel d’interaction est compliqu´e, on sait juste qu’il a la forme de Debye-H¨uckel assez loin du centre, typiquement `a partir de la lon- gueur de Debye, et doit ˆetre coulombien tr`es pr`es du centre, typiquement en dessous de la distance inter-particulaire moyenne, voire en dessous du rayon de Landau. Entre le rayon de Landau et la longueur de Debye, des calculs ont ´et´e faits pour montrer que la diff´erence de traitement conduit `a des erreurs faibles, c’est `a dire n´egligeables compte tenu du caract`ere approch´e de notre m´ethode [32, 41].

La deuxi`eme possibilit´e semble meilleure quant `a la description physique de l’interaction que la premi`ere. On y perd par contre en simplicit´e parce que les sed pour le potentiel de Debye-H¨uckel sont compliqu´ees. Et que devient la force microscopique de Vlasov ?

La troisi`eme possibilit´e est celle qui donne les expressions math´ematiques les plus simples, bien qu’il y ait un flou sur la d´efinition de quelques rL, et qu’on surestime le terme de FPL de ∼ 10% par rapport `a la sixi`eme possibilit´e.

La quatri`eme possibilit´e garde le flou mentionn´e pr´ec´edemment, a l’avantage de ne pas compor- ter de surestimation, mais le terme de Fokker-Planck, d´efini par la m´ethode habituelle de d´erivation d’une forme de Boltzmann pour des petites d´eviations mais en ne tenant compte que des d´evia- tions faibles pour d´efinir le domaine d’int´egration sur les angles, a une expression beaucoup plus compliqu´ee que le terme de FPL.

La cinqui`eme possibilit´e est celle couramment rencontr´ee pour d´ecrire les collisions ´elastiques entre charges, et m´erite donc d’ˆetre mentionn´ee `a ce titre.

La sixi`eme possibilit´e rejoint la premi`ere. Elle repr´esente le mieux le processus physique, mais reste floue dans sa d´efinition et compliqu´ee dans sa forme.

La plupart des physiciens et astrophysiciens utilisent la cinqui`eme possibilit´e, persuad´es que le terme de FPL l’emporte de loin sur le terme de Boltzmann, et aussi pour ne garder qu’une seule forme, le traitement math´ematique et num´erique de la forme de Boltzmann ´etant tr`es diff´erent de celui de la forme de FPL.

Notons que les travaux de T. Koga concluent qu’il est n´ecessaire de garder le terme de Boltz- mann [55, 56]. Il semble avoir prouv´e que dans les atmosph`eres stellaires typiques le terme de Boltzmann est justement du mˆeme ordre de grandeur que le terme FPL, le crit`ere ´etant qu’il y ait suffisamment de charges NDdans la sph`ere de Debye, mais pas trop (∼ 100), o`u

ND= 4 3πλ 3 Dene= 2 3Λ = 1 3 λDe rL