5.3.1
M´ethode de r´esolution
A partir de l’expression (Eq. 3.156), nous d´etaillons la d´ependance (entre crochets) de chacun des termes selon fe et ne, c’est `a dire selon la fdv Fe = nefe solution de l’ECE, alors que fe est solution de l’ECE conjointement `a la condition de normalisation (1.2) de fesi la densit´e ´electronique neest donn´ee. Alors :
Fe(z, v) = ne(z)fe(z, v) =
νe(v)ne(z)feM(z, v) + Σ+[nefe](z, v) νe(v) + Σ−[nefe](z, v)
. (5.49)
Dans (Eq. 5.49), nous avons regroup´e les termes de fa¸con `a ne pas cr´eer d’erreurs d’arrondi par diff´erence de termes positifs, comme il y aurait pu en avoir dans (Eq. 3.156). La d´ependance de Σ− selon Fevient du processus ff, et la d´ependance de Σ+ selon Fe provient de la plupart des termes, cette d´ependance ´etant lin´eaire except´e pour le processus de recombinaison collisionnelle. Nous avons affaire a une ´equation non-lin´eaire en Fe, qui peut difficilement ˆetre r´esolue avec les algorithmes num´eriques habituels (´equation de Volterra ou de Fredholm en lin´earisant l’´equation), car ces proc´ed´es font appel `a des d´eveloppements sur une base de fonctions la plupart du temps polynˆomiales (Legendre, Chebychev) qui ne convient pas ici `a cause de la forte variation de valeurs de la fdv (qui tend rapidement vers z´ero avec la vitesse). Nous allons donc r´esoudre cette ´equation par it´eration :
Fe(n+1)(z, v) =
νe(v)n(n)e (z)feM[T(n)(z)](z, v) + Σ+[n(n)e fe(n)](z, v) νe(v) + Σ−[n(n)e fe(n)](z, v)
, (5.50)
o`u Fe(n)(z, v) = n(n)e (z)fe(n)(z, v) est la fdv calcul´ee `a l’it´er´e n. De plus T(n) est la temp´erature cin´etique de la fdv fe(n). Apr`es avoir calcul´e l’it´er´e n + 1 par (Eq. 5.50), nous d´eduisons de Fe(n+1) une nouvelle densit´e n(n+1)e qui nous permet de calculer fe(n+1), et une nouvelle temp´erature T(n+1) qui seront inject´ees dans (Eq. 5.50) pour calculer l’it´er´e suivant, jusqu’`a convergence des quantit´es n(n)e , Te(n)et fe(n)`a une valeur relative donn´ee ε, que nous avons fix´ee `a ε = 10−3. Cette convergence est d´efinie par l’´ecart relatif d’un it´er´e `a l’autre. Nous stoppons l’it´eration `a l’it´er´e n + 1 si :
∀(z, v) , ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ Fe(n+1)(z, v) Fe(n)(z, v) − 1 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯≤ ε . (5.51)
5.3. L’ ´EQUATION CIN ´ETIQUE DES ´ELECTRONS 83
Nous avons v´erifi´e que lorsque la fdv converge d’un it´er´e `a l’autre avec un ´ecart relatif donn´e, elle est solution de l’ECE avec la mˆeme pr´ecision. Cette v´erification est importante, car notre crit`ere de convergence pourrait ne pas ˆetre significatif en cas de convergence lente de la fdv vers la solution de l’ECE. En pratique, ce crit`ere (Eq. 5.51) est atteint au bout d’un vingtaine d’it´er´es.
Dans ce processus num´erique, il est n´ecessaire de d´evelopper la fdv, qui peut ˆetre polynˆomiale apr`es transformation pour interpoler une fonction variant peu avec la vitesse. Cette fonction h(v) est d´efinie par :
fe(v) = feM(v) ehe(v). (5.52) Nous ne pouvons pas ´ecrire (Eq. 5.49) en fonction de he(v) seulement. Cette fonction est introduite ici uniquement dans le but de stabiliser et de simplifier la r´esolution num´erique. Parmi le choix possible de base de polynˆomes pour interpoler he(v), nous avons choisi apr`es essais une base qui ne pr´esentait pas d’oscillations, afin d’´eviter les amplifications dˆues au caract`ere non lin´eaire de cette ´equation. L’interpolation trap´ezo¨ıdale est trop grossi`ere, alors nous avons choisi des polynˆomes de Hermite, dont l’avantage est d’ˆetre monotones entre deux noeuds successifs de l’interpolation.
Au premier it´er´e au point z, il est n´ecessaire de fournir la valeur de la temp´erature T (z) et la densit´e des ´electrons ne(z). La fdv initiale est une maxwellienne `a cette temp´erature. En principe, l’ECE est cens´ee fournir les inconnues neet T , qui sont des moments de la fdv Fe. En pratique, nous observons que le terme de collisions ´elastiques domine la variation de ces param`etres, qui varient ainsi tr`es peu d’un it´er´e `a l’autre. Ainsi, l’ECE est capable de nous fournir la temp´erature T . Par contre, l’ECE ne doit pas fournir la densit´e des ´electrons ne, car cette grandeur est donn´ee par l’EC ne= n+. Afin de rendre ces 2 ´equations compatibles, nous pourrions inclure l’EC dans l’ECE afin d’´eliminer ne de l’ECE (remplac´ee par n+ dans le processus de recombinaison collisionnelle), et l’ECE fournirait feau lieu de Fe. Comme l’ECE et l’EC ne sont pas forc´ement compatibles au point de founir une solution math´ematique commune, et que l’ECE est non lin´eaire en ne, nous pr´ef´erons r´esoudre l’ECE pour Fe, puis renormaliser la fdv afin que sa densit´e soit la densit´e initiale. Afin de faire converger l’ECE vers sa solution, nous laissons n(n)e et T(n)´evoluer (lentement) d’un it´er´e `a l’autre, puis nous renormalisons la fdv fe `a l’arrˆet des it´er´es. Si l’it´eration est stopp´ee `a l’it´er´e N , alors la renormalisation est :
fe(v) = feM[T ](v)ehe(v)= 1 n(N )e Fe(N )(v) = feM[T(N )](v)eh (N ) e (v), (5.53) impliquant T = T(N ) et h
e(v) = h(N )e (v). Nous v´erifierons lors des calculs que la temp´erature varie peu au cours de l’it´eration, de fa¸con `a ce que ce calcul de la fdv soit coh´erent avec le mod`ele d’atmosph`ere `a temp´erature donn´ee que nous avons choisi de r´esoudre.
5.3.2
L’´equation de l’´equilibre radiatif (ER)
La temp´erature de l’atmosph`ere stellaire est usuellement d´etermin´ee en r´esolvant l’´equation de l’´equilibre radiatif Z +∞ 0 κ(z, ν)J(z, ν) dν = Z +∞ 0 E(z, ν) dν , (5.54)
qui exprime l’´egalit´e des ´energies absorb´ees et ´emises par chaque unit´e de volume de mati`ere. Cette ´equation traduit la conservation de l’´energie quand on se place du point de vue du champ de rayonnement, suppos´e ˆetre le seul `a transporter de l’´energie (conduction et convection n´egligeables) [69].
Nous rappelons le lien entre cette ´equation (Eq. 5.54) et les ´equations cin´etiques. L’´equation d’´energie pour chaque type p de particule mat´erielle a la forme
Z +∞ 0 Σp(z, v) 1 2mpv 24πv2dv = 0 , (5.55)
o`u Σp(z, v) d´esigne le terme de source de l’´equation cin´etique du type p (dont le membre de gauche est suppos´e nul). Ces deux fa¸cons de traduire la conservation de l’´energie sont ´equivalentes, car la somme des ´equations (5.54) et (5.55) (pour p = atomes, protons et ´electrons) donne 0 = 0 [78]. L’´equation (5.55) montre que les termes de collision ´elastiques des ´equations cin´etiques ont une contribution nulle `a l’ER.
Nous ´etudions dans ce m´emoire un mod`ele d’atmosph`ere `a temp´erature donn´ee et constante, alors nous ne tiendrons pas compte de cette ´equation.
5.3.3
Couplage avec l’´equation de transfert
Le champ radiatif apparaˆıt dans les termes Σbf b et Σf f, sous la forme de l’intensit´e moyenne J.