Probl`eme stationnaire - Les diff´erentes approches

B.2 Les diff´erentes approches

B.3.2 Probl`eme stationnaire

En examinant la forme du modèle BGK, celui-ci est un modèle parfait des termes de sources de collision habituels, puisque la fdv tend vers la maxwellienne d’équilibre.

Bien sûr, le problème stationnaire des atmosphères stellaires n’a d’intérêt que si les particules sont soumises à la fois aux collisions élastiques et aux collisions inélastiques, dans le cas où le membre de gauche de l’équation cinétique est nul (pas de convection et champ de force extérieur nul). Dans notre cas, nous ne pouvons déterminer la fréquence de collision du modèle que par ressemblance mathématique de la forme FPL et la forme BGK. Une autre possibilité de trouver cette fréquence tient en la constatation suivante : le problème stationnaire n’est finalement que le problème temporel pris à partir d’un temps suffisamment long pour que la fdv évolue assez lentement dans le temps pour négliger la dérivée de la fdv par rapport au temps dans l’équation cinétique. Cette évolution lente dans le temps est difficile à quantifier, car on ne connaˆıt pas la dérivée temporelle de la fdv, mais tout ceci est équivalent au fait que la fdv soit assez proche de la fdv d’équilibre. En effet, étant donné le théorème H d’évolution irréversible dans le temps vers l’équilibre, si la fdv est proche de l’équilibre, son évolution dans le temps vers cet équilibre sera lent. On arrête alors l’évolution dans le temps à partir d’un temps τ , et le problème stationnaire permet d’écrire que la fdv, pour des temps supérieurs à τ , est la fdv d’équilibre. Dans les 2 cas, l’étude des fréquences de collision menée à la section B.4 conclut au même choix de la fréquence de collision, étude basée sur le problème temporel mais qui s’adapte ainsi au problème stationnaire.

Toute la difficulté du problème stationnaire est de déterminer ce temps τ . Notre premier critère, pour que le modèle BGK soit valable dans le problème stationnaire, va être de définir τ comme un temps de relaxation global, pour lequel f (v, t) a approché f0_{(v) à la précision ε que l’on désire, et} pour tout le domaine Ω des vitesses utilisées dans le calcul numérique. Autrement dit,

∀ v ∈ Ω, |g(v, τ)| ≤ ε . (B.87)

L’estimation de ce temps τ se fait en trois étapes : – définir la précision ε,

– d´efinir le domaine des vitesses Ω,

– définir f (v, 0) si on utilise la formule (B.97) pour déterminer la fréquence de collision ν(v), parce que g(v, t) en dépend.

La précision ε va dépendre de la précision demandée pour la détermination de la fdv. On peut estimer grosso-modo que si fBGK_{(v) est la solution approchée de f (v), alors} ¯_¯fBGK_{(v) − f(v)}¯_{¯ ≤} ε f (v). Le domaine des vitesses Ω dépend lui aussi de la précision du calcul. Analytiquement, on a des intégrales sur les vitesses de 0 à +∞ . Numériquement, la borne supérieure ne peut plus être +∞, mais v∞. Alors Ω = [0, v∞]. Pour déterminer cette borne supérieure, on peut par exemple exiger que l’erreur commise sur la valeur de l’intégrale soit inférieure à ε. Pour illustrer cela, prenons l’exemple d’une intégrale sur une fdv maxwellienne de vitesse la plus probable ¯v. Alors l’erreur commise, en unités réduites z_∞= v_∞/¯v, est E(z_∞) = 1 −erf(z∞). Nous avons calculé dans la table (Tab. B.2) quelques valeurs de cette erreur.

Nous travaillerons avec z_∞≤ 10 (le seuil inélastique pour une atmosphère à 10000 K vaut z ∼ 3.7). Alors la précision demandée sur les intégrales ne sera vraissemblablement pas une contrainte. Dans un problème stationnaire, on ne connaˆıt pas du tout l’état initial. Pour une atmosphère, déjà en équilibre, ce peut être un jet de particules qui va perturber notre milieu et le faire évoluer. Si on ne connaˆıt pas la forme de cette perturbation, on ne peut rien dire. C’est pourquoi nous avons essayé de déterminer une fréquence de collision universelle. Surpassant cette difficulté, nous nous placerons dans le cas optimiste g(v, 0) = 1.

z E(z) = 1 − erf(z)

1 0.16

2 4.7 × 10−3 5 1.5 × 10−12 10 2.1 × 10−45

Tab.B.2 – Estimation de l’erreur relative faite sur les moments d’une fdv maxwellienne, lorsque l’int´egrale porte sur un domaine num´erique fini [0, z].

Nous pouvons maintenant essayer de donner une valeur à ce temps τ . Comme notre fréquence décroˆıt rapidement avec la vitesse (ν(z) ∝ 1/z3_{), nous sommes sˆ}_{urs que si τ ≥ 1/ν}

ε(z∞), alors le critère (Eq. B.87) sera respecté. Alors τ = tε(1) z_∞3 . Pour la précision ε = 10−2, nous avions trouvé tε(1) ∼ 10−6s, et en choisissant z∞ = 10, on obtient τ ∼ 10−3s. Ce temps τ est négligeable par rapport à tout temps d’évolution macroscopique dans une atmosphère stellaire, alors on pourra toujours traiter le problème stationnaire dans une atmosphère stellaire.

On remarquera qu’il sera possible de substantiellement améliorer la détermination de l’erreur maximale commise sur la conservation des invariants car, en ce temps τ , ∀v ∈ Ω, exp[−ν(v)τ] ≤ ε, expression à utiliser dans (B.53) pour avoir une nouvelle erreur A0

n = ε An, d’apr`es la d´efinition (B.56).

Nous avons calculé le temps τ à l’aide de considérations uniquement basées sur les collisions élastiques. Le problème cinétique qu’on se pose inclut des effets inélastiques, ce qui a pour consé- quences que :

– le temps τ doit être calculé en tenant compte de toutes les termes de l’équation cinétique. Ce qui a été fait pour les collisions élastiques pourrait être généralisé aux collisions inélastiques, i.e. construire un modèle BGK pour chaque terme. Même si cela était possible, les études manquent à ce sujet pour pouvoir chiffrer leur contribution. En pratique, nous sommes inca- pables de déterminer quantitativement un temps de stationnarité cinétique pour le problème inélastique que traité. Les études qui ont été faites portent sur la résolution des équations de transport temporelles pour un ensemble de moments de la fdv. On peut en déduire des temps de relaxation. Ces temps sont très souvent négligeable par rapport aux temps macroscopiques caractéristiques, validant l’approche stationnaire comme étant toujours valable, qu’elle soit hydrodynamique ou cinétique.

– Même si τ pouvait être déterminé, et qu’il soit possible de traiter le problème cinétique stationnaire, on sait, et c’est ce qu’on cherche, que les termes inélastiques vont induire de forts écarts à l’ETL. Alors, pour certains domaines de vitesses de Ω , la condition (B.87) de validité du modèle BGK pour le terme de collisions élastiques, ne sera pas réalisée, et on ne peut plus rien dire sur l’écart numérique entre le terme de source FPL et le terme de source BGK. Comme le problème posé est non-linéaire, la conséquence pourrait être grave sur la détermination de la fdv : la fdv issue du modèle BGK pourrait être très différente de celle correspondant au problème physique posé, issu de termes de source de FPL ou de Boltzmann. – Un autre problème vient de la détermination des paramètres du modèle BGK. Comme on ne connaˆıt pas la fdv initiale (à temps nul), on ne connaˆıt pas les paramètres de la maxwellienne du modèle. Avec les collisions inélastiques, la densité et la température de la fdv vont changer, mais les paramètres de la maxwellienne vont-ils changer ? Pour répondre à cela, il suffit de regarder l’équation cinétique FPL à un temps quelconque t. En laissant évoluer la fdv dans le temps sous le seul effet des collisions élastiques, elle va évoluer vers une maxwellienne de paramètres ceux de la fdv au temps t. Dans le problème temporel complet (élastique et inélastique), la maxwellienne d’équilibre du problème élastique a donc ses paramètres qui varient avec le temps. Cette caractéristique reste vraie dans le problème stationnaire. La fdv initiale est fn, la fdv résultat de l’itéré n du problème couplé. C’est elle qu’on va utiliser pour calculer la maxwellienne du modèle BGK pour l’itéré n + 1. Seulement, la fdv résultant de cet itéré ne va pas avoir la même densité et même température que celles de la maxwellienne du modèle. Si l’écart est important, cela pourrait poser un problème de convergence : elle pourrait être ralentie. Il faut alors itérer la résolution de l’équation cinétique, en changeant à chaque itéré les paramètres de la maxwellienne. Quoi qu’il en soit, on peut se demander si la convergence d’une équation qui change de forme entre deux itérés est bien établie. Avec le terme FPL ou Boltzmann, la forme reste la même. Pour le problème du transport, cela

B.3. ÉTUDE SUR LA VALIDIT É DU MOD ÈLE BGK 167

pourrait avoir une influence sur la validité du modèle BGK, si l’écart à l’ETL s’étendait sur un grand domaine de vitesses.

B.3.3 Conclusion

Nous avons vu que le modèle BGK, adapté au problème des atmosphères stellaires que nous nous posons (modélisation de la fdv des électrons tronquée dans la queue), respectait les 3 critères fixés en introduction de cette section B.3. La conservation des invariants collisionnels est typiquement inférieure à 1%, ce qui est acceptable pour les calculs de notre modèle d’atmosphère.

Bien que nos atmosphères stellaires soient stationnaires, nous avons mené une étude détaillée du problème temporel, c’est à dire l’évolution dans le temps de la fdv avec collisions élastiques seulement, en comparant les résultats obtenus avec un terme de source FPL [68, 88], avec ceux donnés par le modèle BGK. On ne connaˆıt pas réellement comment f (v, t) évolue vers l’équilibre en utilisant l’équation de Boltzmann ou de FPL. Il est difficile de faire une comparaison avec le modèle BGK, pour lequel f (v, t) est connue analytiquement à tout temps. On sait qu’à t = 0 et t = +∞, les fdv provenant des deux termes de source sont égales. Nous avons construit la fréquence de collision du modèle BGK afin de retrouver cette ressemblance des fdv pour un temps t = tε(v). Entre ces valeurs du temps, le modèle BGK implique que f (v, t) tend vers l’équilibre exponentiellement avec le temps. On peut penser que la décroissance exponentielle est une loi suffisamment générale, pour que FPL ou Boltzmann se comportent ainsi, mais ce n’est pas convaincant. De plus, on sait qu’à partir de tε(v), la fdv est dans une région bien définie autour de la maxwellienne d’équilibre, que ce soit celle du modèle ou celle de FPL, et c’est un argument fort en faveur de la validité du modèle. Par contre, on ne sait pas si FPL garde la mémoire de l’état initial après un temps assez long, alors que BGK la garde. Le modèle BGK semble mal décrire f (v, t) aux temps courts, mais bien circonscrire sa valeur pour des temps suffisamment longs. Nous ne nous sommes pas persuadés de fa¸con vraiment convaincante que la fréquence de collision était universelle, au sens où elle ne dépend pas de l’état initial. Le fait est qu’elle en dépend, mais la validité du modèle aussi. Nous pouvons alors dire que ce modèle, avec la fréquence que l’on a choisie, sera valable pour certains états initiaux seulement. Il n’ y a pas, ou presque pas de critères généraux qui permettent de classer les bonnes fdv initiales d’une part, et les mauvaises d’autre part. Ce genre de modèle n’a d’intérêt que si l’on veut traiter un problème temporel qui inclut d’autres effets que les effets élastiques purs, parce qu’on sait très bien traiter numériquement le cas élastique pur à partir des équations FPL ou Boltzmann. La bonne démarche pour vérifier la validité du modèle BGK est de se poser un problème cinétique temporel complexe, inélastique, et de choisir une fdv initiale. On résout alors le problème élastique avec FPL ou Boltzmann, pour cet état initial, à une précision ε donnée, on en déduit νε(v), qui sera utilisée pour connaˆıtre ν(v). Il faudra alors vérifier le critère de conservation des invariants. Si ce critère est satisfait, il faudra encore vérifier que la fdv se trouve dans la région proche à la précision ε de la maxwellienne d’équilibre pour des temps supérieurs à tε(v). Ce point dépend de la formule qu’on a utilisé pour exprimer ν(v) à partir de ν²(v) . Si on utilise la formule (B.97), il faut vérifier l’influence de l’état initial sur le critère (B.99). Si on utilise la formule (B.96), on sait que le modèle BGK sera valable pour cet état initial à partir du temps tε(v). On pourra alors traiter le problème initial en utilisant le modèle BGK à la place du terme de collisions élastiques. Comme les termes de collision inélastiques vont modifier la densité et la température de la fdv, il faudra les recalculer entre deux itérations successives dans le temps, pour injecter leur valeur dans la maxwellienne. Moyennant quoi, si la solution finale de ce problème reste proche de la maxwellienne, à la précision initiale ε, on pourra garantir que cette solution est proche de celle qu’on aurait trouvée avec FPL ou Boltzmann. Si l’écart à la maxwellienne devient important, on ne peut plus rien dire. La solution finale peut être une mauvaise comme une bonne solution. Pour statuer sur la validité du modèle BGK dans le problème temporel, il faudrait comparer les formes mathématiques de FPL et BGK par l’étude du spectre de l’opérateur de collision. On peut déjà voir que la relaxation de tel ou tel moment va dépendre de l’intégrale de la fréquence de collision pondérée par ce moment, sur les vitesses. Chaque moment va donc avoir une fréquence de relaxation différente, par comparaison avec le modèle BGK à fréquence de collision constante qui décrivait parfaitement bien la relaxation d’un moment particulier, mais qui décrivait mal tous les autres. Dans notre cas, la relaxation de chaque moment sera à peu près mal décrite, la nuance tenant dans le à peu près. Sans étude de spectre, on ne peut aller plus loin, mais le modèle BGK pourrait se révéler un bon modèle pour ce type de problèmes.

de collision. Cette difficulté est levée par les arguments de la section B.3.2, et nous calculons dans la section B.4 suivante ces fréquences de collision, valables pour le problème temporel comme pour le problème stationnaire.

Dans le document La thermalisation des électrons dans une atmosphère stellaire (Page 166-169)