les collisions ´elastiques ´electrons particules charg´ees

La figure (Fig. C.1) ci-dessous repr´esente la collision ´elastique (i, vi) + (e, ve) → (i, v0i) + (e, v0e) dans le r´ef´erentiel du centre de masse G et pour un potentiel `a force centrale. Les variables de la section efficace diff´erentielle sont l’angle de d´eviation θ et la norme du vecteur vitesse relative, o`u g = ve− vi et g0 = ve0 − v0i. Les autres variables (p, rm, αm) sont habituelles.

αm

r_m

αm

g’

g

G

p

α

θ

r

Fig.C.1 – Repr´esentation de la collision ´elastique, dans le r´ef´erentiel du centre de masse.

La formule (C.17) d´etaille la relation entre le potentiel d’interaction ϕ(r) et les variables p, g, θ, rmet αm: αm= Z ∞ rm p dr r2³_{1 −} 2ϕ(r) µig2 − p2 r2 ´1 2 , (C.17) o`u µi= memi/(mi+ me).

A partir de la relation θ = π −2αmet de la relation classique pour d´eterminer la section efficace diff´erentielle : p dp = qie,ie(g, θ) sin θ dθ, on retrouve par exemple la formule de Rutherford (Eq. 3.13). C’est `a partir de cette formule que le terme de FPL est calcul´e. On peut d´ej`a noter qu’elle ne tient pas compte du potentiel r´ealiste de Debye-H¨uckel (une expression relativement simple a ´et´e trouv´ee grˆace `a la m´ecanique quantique, sans ´equivalent classique), ni des effets quantiques importants de sym´etrie entre particules indiscernables comme la collision entre deux ´electrons libres.

Lorsque cet effet quantique de sym´etrie est pris en compte, la section efficace diff´erentielle entre ´electrons a une forme notablement plus compliqu´ee [32] :

qee,ee(g, θ) = µ e2 8π²0µig2 ¶2½ 1 sin4(θ/2)+ 1 cos4_(θ/2) (C.18) − 1

sin2(θ/2) cos2_(θ/2)cos · _e2

4π²0~gln £

tan2(θ/2)¤ ¸¾

On voit bien que pour les faibles d´eviations θ ¿ 1, les deux derniers termes entre accolades dans (Eq. C.18) sont n´egligeables par rapport au premier terme, et on retrouve la formule de Rutherford (Eq. 3.13), dont l’utilisation est bien justifi´ee dans le terme de FPL. Par contre, l’utilisation d’un terme de Boltzmann pour les fortes d´eviations doit utiliser (Eq. C.18) au lieu de (Eq. 3.13). Les raisonnements d´evelopp´es par la suite sont valables pour ces deux sections efficaces.

Pour un potentiel coulombien agissant entre deux types de particules e et i ayant la mˆeme charge en valeur absolue, et nous n’´etudierons que ce cas dans cette note, entre en jeu un param`etre

important : le param`etre d’impact critique pei(souvent not´e p0) : pei(g) = e2 4π²0 1 µig2 , (C.19)

qui repr´esente la distance `a laquelle il faudrait placer les deux charges l’une de l’autre pour que leur ´energie potentielle soit ´egale `a deux fois l’´energie cin´etique initiale de la particule relative. C’est aussi la valeur du param`etre d’impact qui entraˆıne une d´eviation θ de π/2. On la note pei`a cause de la d´ependance en µi, bien que la diff´erence soit faible :

pe+= 1

2pee. (C.20)

Avec ces notations,

sinθ 2 = pei p p2 ei+ p2 . (C.21)

On peut alors facilement calculer l’angle θc pour lequel la distance minimale d’approche est la longueur de Debye. Cette distance serait normalement rm, mais on choisit p, parce que la diff´erence n’est pas tr`es importante et que cela permet d’obtenir l’expression simple suivante, valable pour un plasma cin´etique classique (pei¿ λD) :

θc≈ 2pei/λD. (C.22)

Dans les int´egrations menant au terme de FPL, on retrouve la quantit´e

Λ = λD/pei, (C.23)

o`u plutˆot le logarithme coulombien ln Λ. Cette quantit´e apparaˆıt lors de l’int´egration sur l’angle de d´eviation θ du terme de collisions ´elastiques. En effet, on a l’int´egrale :

Z θM

θm

d(sin(θ/2))

sin(θ/2) = ln[sin(θM/2)] − ln[sin(θm/2)] . (C.24) Les bornes d’int´egration sont θm et θM. Pour la forme de Landau, on ne doit prendre en compte que les faibles d´eviations, c’est `a dire qu’en terme de param`etre d’impact, quelques rL < p < ∞. Pour un plasma cin´etique classique, la borne inf´erieure du param`etre d’impact pourrait ˆetre de. On voit qu’on ne peut pas prendre une valeur infinie pour la borne sup´erieure du param`etre d’impact, parce que l’int´egrale (C.24) diverge alors. On fait une coupure du param`etre d’impact `a la longueur de Debye λD, qui est grande dans un plasma cin´etique classique par rapport `a deet rL. Cela permet de n´egliger le premier terme dans (C.24) qui d´efinit ln Λ avec la formule (C.23). Lorsque le plasma n’est plus aussi classique, c’est `a dire que λDn’est plus aussi grande par rapport aux autres valeurs du plasma, la simplification dans (C.24) n’est plus valable. On pose alors θM = π (param`etre d’impact nul). Les int´egrations jusqu’`a π permettent d’obtenir une forme ´el´egante qui a le m´erite de passer outre la difficult´e pos´ee par la s´eparation entre un choc proche (fort) et une d´eviation faible. N´eanmoins, l’erreur ainsi commise par rapport au terme de source r´e´el calcul´e en ne tenant compte que des d´eviations faibles, est typiquement de l’ordre de 1/ ln Λ ∼ 10% [40, 41], ce qui n’est pas ´enorme. Bien sˆur, l’erreur typique avanc´ee ici d´epend fortement du type de plasma que l’on ´etudie, et les plasmas peu chauds et peu denses peuvent induire des erreurs de l’ordre de 30%.

Une premi`ere remarque consiste `a voir que (Eq. C.23) n’est pas valable pour toutes les particules entrant en interaction, puisque p0est inversement proportionnel au carr´e de la vitesse relative, qui varie de 0 `a l’infini en principe. Pour des vitesses relatives proches de z´ero, (Eq. C.23) doit ˆetre s´erieusement remise en question.

La deuxi`eme remarque consiste en le fait que les int´egrales sur v0

e dans le terme de Landau poss`edent une d´ependance en ln Λ, quantit´e qui varie peu avec g mais qui est tr`es compliqu´ee `a int´egrer, au point qu’une forme analytique du terme de Landau ne serait pas concevable. L’id´eal serait d’extraire cette d´ependance logarithmique de l’int´egrale, en prenant une valeur moyenne par exemple. Ce raisonnement est approch´e, alors quelle valeur prendre ?

On peut d´efinir trois grandeurs moyennes faisant intervenir la vitesse, l’´energie et la temp´erature cin´etique T :

C.2. D ´EFINITION ET GRANDEURS D’UN PLASMA CIN ´ETIQUE CLASSIQUE 183

– la vitesse moyenne h|v|i =p8kT /πm, – la vitesse la plus probable ¯v =p2kT /m.

La premi`ere d´efinit la temp´erature cin´etique de fa¸con g´en´erale. Les deux autres ne sont d´efinies que pour une distribution maxwellienne des vitesses `a la temp´erature T . La vitesse la plus probable correspond `a la vitesse pour laquelle la densit´e de probabilit´e ρ(v) = v2_fM_{(v, t) est maximale.}

Nous avons not´e dans la litt´erature des choix diff´erents des grandeurs li´ees `a la vitesse d´efinies plus haut, que nous pouvons s´eparer grosso modo en deux cat´egories : l’utilisation de l’´energie cin´etique moyenne (M ), ou l’utilisation de la vitesse la plus probable (P ). Dans tous les cas, le probl`eme est ´enorm´ement simplifi´e car toutes les esp`eces du milieu sont suppos´ees avoir la mˆeme temp´erature cin´etique T , les ´electrons sont bien plus rapides que les esp`eces lourdes, et seul le param`etre d’impact critique moyen pour l’interaction entre ´electrons et esp`eces lourdes est consid´er´e, de fa¸con `a remplacer g par |ve|, parce que les grandeurs moyennes d´ecrites plus haut ne s’appliquent bien sˆur qu’`a une seule esp`ece. Rien ne permet a priori de s´electionner un choix plutˆot qu’un autre, et noux n’avons trouv´e aucune explication dans la litt´erature.

Nous allons tout d’abord expliciter les diff´erences entre ces deux approches (M et P ), puis tenter de les justifier.

Dans les deux cas, le param`etre d’impact critique pei est d´efini par le rayon de Landau : rL= e

2

4π²0kTe , (C.25)

o`u Te est la temp´erature cin´etique des ´electrons. Pour (P ), pee → rL/2 et pour (M ), pee→ rL/3. Ensuite se pose la question du choix de la bonne longueur de Debye. Il en existe deux pour notre probl`eme : λDeet λD+. Chacune est pr´ecis´ement d´efinie comme la longueur typique de corr´elation, typique car on a vu que le potentiel ´ecrant´e de Debye-H¨uckel n’atteint jamais la valeur nulle, ce qui fait que deux charges situ´ees `a une distance infinie l’une de l’autre, ou tout du moins plus grande que la longueur de Debye d´efinie par ce potentiel, se voient toujours. Ces deux charges interagissent donc toujours. Si on suit la d´efinition, elles ne seront en fait corr´el´ees que si cette interaction change leur mouvement. Le calcul approch´e de ces deux longueurs de Debye est fait depuis longtemps. La premi`ere suppose que le plasma est ´electriquement neutre, et que seuls les ´electrons participent `a l’effet d’´ecran sur une charge quelconque. La deuxi`eme inclut l’effet des protons pour l’´ecrantage. λD+= λDe/ √ 2, et λDe= r ²0kT e2_n e . (C.26)

L’utilisation de telle longueur de Debye ou telle autre est d´etermin´ee par la comparaison des dur´ees typiques des processus physiques que l’on d´ecrit (´equilibre statistique, collisions, propagation d’ondes ´electro-magn´etiques, etc) et des temps caract´eristiques li´es `a ces longueurs [31]. Chaque temps est d´efini comme l’inverse de la fr´equence de plasma fpi consid´er´ee, dont le calcul se trouve facilement dans la litt´erature. Ces fr´equences de plasma sont les fr´equences d’oscillation de plasma engendr´ees par des perturbations de densit´e de charge : fp+= (me/m+)1/2fpe o`u

fpe= 1 2π s e2_n e ²0me . (C.27)

Pour l’´etude des propri´et´es statistiques `a l’´equilibre, le temps caract´eristique du processus ob- serv´e est tr`es grand, infini en th´eorie, et on doit utiliser λD+, mais pour les collisions, le temps caract´eristique est le temps typique que met une particule test pour traverser la sph`ere de Debye entourant la charge avec laquelle elle interagit. Ce temps devrait ˆetre, en prenant une valeur maxi- male, le temps d’interaction tint= λDe/g. On utilise souvent une grandeur moyenne en utilisant la vitesse la plus probable : tint= λDe

p

me/2kTe. On d´efinit alors la fr´equence d’interaction comme l’inverse du temps d’interaction. On voit que

fint= √

2

2πfpeÀ fp+. (C.28)

Pour les collisions, c’est `a dire dans les ´equations cin´etiques, la longueur de Debye `a utiliser est λD= λDe. On notera une fois de plus que le vrai temps d´efini par tintest inversement proportionnel `a la vitesse, donc la longueur de Debye pour les ´electrons lents, dont la fr´equence d’interaction est

petite, devrait ˆetre λD+. Consid´erant une fois de plus le caract`ere approximatif de la forme de Landau, nous garderons λD = λDe pour tous les particules `a toutes les vitesses, sachant que la forme la plus juste, et malheureusement la plus compliqu´ee, est celle de Boltzmann.

Dans la litt´erature, on trouve la mˆeme formule pour Λ, `a un facteur multiplicatif pr`es : Λ/πneλ3D peut prendre les valeurs 4, 8 et 24. Pour notre part, nous choisirons la valeur 8, qui correspond `a l’approche (P ) (pei= pe+= rL/2 n´egligeant le facteur 2 entre les collisions e − e et e − +dans le logarithme) et `a λD= λDe. Grˆace `a la relation : 4πnerLλ2De= 1, on obtient le r´esultat suivant :

Λ = 8πneλ3De∝ Te3/2 n1/2e