Simplification innovante : découplage des degrés de liberté

Dans la simplification SJ, les gains en temps CPU ne sont pas aussi importants qu’espérés en raison de la construction du préconditionneur. Ceci est d’autant plus vrai avec, par exemple, l’utilisation d’un préconditionneur LU incomplet qui requiert la construction complète de A [35].

La nouvelle méthode de simplification proposée exploite les deux caractères mo-dale et hiérarchique de la base de polynômes Bp

κ. Elle repose sur un découplage des degrés de liberté de la solution numérique à l’intérieur d’un élément κ du maillage avec ceux des éléments voisins. Par conséquent, elle permet une réduction des coûts (encombrement mémoire et temps CPU) lors des constructions des matrices A et P, et lors des produits de A et P⁻¹ avec un vecteur dans l’inversion GMRes (cf. § 3.6 pour plus de détails sur ces coûts).

Cette simplification a été initiée en 2010 sur l’équation de la chaleur scalaire en une dimension d’espace [37], puis a été mise en œuvre avec succès sur des équa-tions d’advection-diffusion scalaires linéaires et non linéaires en deux dimensions d’espace pour les écoulements à diffusion [139] ou convection dominante [53, 138]. Très récemment, le découplage des degrés de liberté, tel qu’il est appliqué pour cette simplification, a été repris dans [15] mais uniquement sur la matrice de précondi-tionnement P, alors qu’ici il est appliqué aux deux matrices A et P.

Pour décrire cette simplification, la notion de mode est introduite (§ 3.5.3.1), puis le découplage est illustré sur un exemple simple d’un système d’équations scalaires en une dimension d’espace avant de le généraliser aux dimensions d’espace supérieures (§ 3.5.3.2), enfin la résolution du système implicite simplifié est expliquée (§ 3.5.3.3).

Chapitre 3 : Discrétisations temporelles explicites-implicites à coût réduit

3.5.3.1 Notion de mode

La décomposition modale de w_h au sein d’un élément κ a été donnée par la relation (2.8). On appelle « mode d’ordre l », la composante de wh suivant la l-ième fonction φl de la base Bp

κ avec 1 ≤ l ≤ N_p, c’est-à-dire la quantité Wl

κ(t)φl(x). Par ailleurs, soit p_s l’entier tel que 0 ≤ p_s ≤ p permettant de séparer les modes de bas ordre tels que 0 ≤ q ≤ ps des modes d’ordre élevé tels que ps< q ≤ p. Ainsi,

la relation (2.8) est reconsidérée sous la forme suivante :

w_h(x, t) = N_ps X l=1 ˜ W^l_κ(t)φ^l(x) | {z }

modes de bas ordre + Np X l=Nps+1 ˆ W^l_κ(t)φ^l(x) | {z }

modes d’ordre élevé

, ∀x ∈ κ, κ ∈ Ω_h, ∀t ∈ T ,

avec N_ps = (p_s+ 1)(p_s+ 2)/2, et où les symboles ˜ et ˆ portent respectivement, sur les N_eqN_ps degrés de liberté de bas ordre et sur les N_eq(N_p− N_ps) degrés de liberté d’ordre élevé dans κ.

3.5.3.2 Principe de la simplification

Pour plus de clarté, la méthode de simplification est d’abord introduite dans le cas du système couplé des N_eqéquations de Navier-Stokes en une dimension d’espace (la généralisation au cas des dimensions d’espace supérieures étant directe), puis elle est écrite avec les notations matricielles.

Simplification en une dimension d’espace. Soit Ω_h une discrétisation du do-maine Ω qui consiste en N segments réguliers κ et soit wi

h une composante donnée de la solution discrète, autrement dit une solution de l’équation i du système, pour 1 ≤ i ≤ N_eq. En prenant l’exemple où le couple (p, p_s) = (2, 0), la composante

wi

h est complètement déterminée par la somme des trois modes suivante sur chaque segment κ :

w_hⁱ(x₁, t) = ˜W_κ^i,1(t)φ¹(x₁)

+ ˆW_κ^i,2(t)φ²(x₁) + ˆW_κ^i,3(t)φ³(x₁), ∀x₁ ∈ κ, κ ∈ Ω_h, ∀t ∈ T , (3.20)

où

- ˜Wi,1

κ (t)φ1(x₁) représente le mode de bas ordre correspondant au mode constant avec ˜W_κ^i,1 la valeur moyenne de la solution numérique sur le segment κ ; - ˆWi,2

κ (t)φ2(x₁) et ˆWi,3

κ (t)φ3(x₁) représentent les modes d’ordre élevé correspon-dant aux modes respectivement, linéaire et quadratique.

D’une manière générale, la somme (3.20) permet de reconstruire la solution wi h

au sein d’un élément. Elle peut donc être vue comme le couplage des degrés de li-berté au sein de cet élément. Ce couplage interne à l’élément correspond aux blocs diagonaux A_κ+κ+ dans la notation (3.17). Par ailleurs, la détermination de la solu-tion wi

h sur l’ensemble du domaine Ω_h est assurée à la fois par les flux numériques et les opérateurs de relèvement qui permettent le couplage des modes entre deux élé-ments κ⁺ et κ⁻. Ce couplage inter-éléments correspond aux blocs extra-diagonaux 80

3.5. Simplifications du schéma implicite en temps

(a) Couplage complet (b) Découplage

Fig. 3.6 – Exemple de la simplification pour d = 1, p = 2 et pour la composante i de w_h avec 1 ≤ i ≤ N_eq. En (a) : pas de simplification, où sur chaque segment κ, la solution (trait plein) est la somme des trois modes : constant (trait point), linéaire (trait point-pointillé) et quadratique (trait pointillé). La zone grisée indique le couplage des modes au point frontière x_1,e entre les segments. En (b) : simplification pour p_s= 0.

A_κ+κ− dans la notation (3.17). La figure 3.6a illustre le couplage des trois modes de l’exemple (3.20) sans simplification.

Dans le cas d’une seule équation scalaire la simplification repose sur l’hypo-thèse 3.1 suivante :

Hypothèse 3.1. (Découplage) Le couplage de tous les modes de la solution sur

le segment κ+ avec les modes de bas ordre de la solution sur le segment κ⁻ est dominant. Autrement dit, le couplage de tous les modes de la solution sur κ+ avec les modes d’ordre élevé de la solution sur κ⁻ peut être négligé.

En considérant wi

hla solution scalaire de l’équation définie par la relation (3.20) avec 1 ≤ i ≤ N_eq, l’application de cette hypothèse permet de négliger les deux couplages suivants :

- celui entre les trois modes de la solution wi

h sur κ+ et le mode linéaire sur κ⁻; - celui entre les trois modes de la solution w_hⁱ sur κ+ et le mode quadratique

sur κ⁻.

La figure 3.6b illustre cette procédure de simplification.

Dans le cas d’un système d’équations, l’hypothèse 3.1 se généralise aisément. En considérant wi

h et w^j_h deux composantes données de la solution discrète définies toutes deux par la relation (3.20) avec 1 ≤ i, j ≤ N_eq et i 6= j, l’application de cette hypothèse permet de négliger les couplages suivants :

- les deux vus précédemment pour la composante wi

h et pour la composante w^j_h; - ceux croisés entre les trois modes de la composante wi

h(respectivement w^j_h) sur

κ+ et les modes linéaire et quadratique de la composante w_h^j (respectivement

w_hⁱ) sur κ− pour j 6= i.

Enfin, dans le cas de dimensions d’espace supérieures, la généralisation est égale-ment directe. En effet, la séparation modale dans (3.20) est appliquée selon le degré total de chacun des modes.

Chapitre 3 : Discrétisations temporelles explicites-implicites à coût réduit

(a) Cas (p, ps) = (2, 0)

(b) Cas (p, ps) = (2, 1)

Fig. 3.7 –Structure simplifiée de la matrice implicite. Exemple pour le système des équa-tions de Navier-Stokes déjà considéré à la figure 3.4a.

3.5. Simplifications du schéma implicite en temps

Ecriture sous forme matricielle. Chacune des matrices du niveau 3 de construc-tion, donnée par la relation (3.18), est reconsidérée en séparant les degrés de liberté de bas ordre de ceux d’ordre élevé. Il vient la forme suivante :

A^ij_κ+κ± = ˜ A^ij_κ+κ± B^ij_κ+κ± C^ij_κ+κ± _Aˆij κ+κ± ! , ∀κ⁺∈ Ω_h, 1 ≤ i, j ≤ N_eq,

où ˜A^ij_κ+κ± est une matrice carrée de dimension N_ps × N_ps, et ˆA^ij_κ+κ± est également une matrice carrée de dimension (N_p − N_ps) × (N_p− N_ps).

La simplification, qui repose sur l’hypothèse 3.1, revient à remplacer chaque sous-bloc extra-diagonal (A^ij_κ+κ−)_{1≤i,j≤Neq} par le nouveau sous-bloc extra-diagonal simplifié (A^?ij_κ+κ−)_{1≤i,j≤Neq} tel que :

A^?ij_κ+κ− = ˜ A^ij_κ+κ− 0 C^ij_κ+κ− 0 ! , ∀κ⁺ ∈ Ω_h, 1 ≤ i, j ≤ N_eq,

les sous-blocs diagonaux (A^ij_κ+κ+)_{1≤i,j≤Neq} étant, quant à eux, conservés.

A l’échelle de la matrice implicite complète A, la simplification revient alors à considérer la nouvelle matrice simplifiée A^? sous la forme compacte suivante (cf. fi-gure 3.7) : A^? =  A_κ+κ+|A? κ+κ⁻₁| . . . |A? κ+κ⁻_nf  κ+∈Ω_h =    ˜ A^ij_κ+κ+ B^ij_κ+κ+ C^ij_κ+κ+ _Aˆij κ+κ+ ! 1≤i,j≤Neq       ˜ A^ij κ+κ⁻₁ 0 C^ij κ+κ⁻₁ 0   1≤i,j≤Neq     . . .        ˜ A^ij κ+κ⁻_nf 0 C^ij κ+κ⁻_nf 0    1≤i,j≤Neq     κ+∈Ω_h . (3.21)

Finalement, la simplification affecte uniquement la structure des blocs extra-diagonaux A_κ+κ−.

3.5.3.3 Résolution du problème implicite simplifié

La résolution du problème linéaire implicite (3.15), où la matrice A est remplacée par la matrice simplifiée A? donnée en (3.21), se fait en deux étapes pour chaque pas de temps. L’idée est de séparer le calcul des degrés de liberté de bas ordre, au nombre de N N_eqN_ps, du calcul des degrés de liberté d’ordre élevé, au nombre de N N_eq(N_p − N_ps). Les premiers sont déterminés en résolvant un système linéaire implicite et les seconds au moyen d’une étape de reconstruction explicite.

Avant de présenter les deux étapes, les notations suivantes sont adoptées et per-mettent de réécrire la matrice A? avec quatre sous-matrices. Soit les matrices carrées

˜

A et ˆA appartenant respectivement àRN NeqNps×N NeqNps etRN Neq(Np−N_ps)×N Neq(Np−N_ps), et soit les matrices B et C appartenant respectivement à RN NeqN_ps×N Neq(Np−N_ps) et

Chapitre 3 : Discrétisations temporelles explicites-implicites à coût réduit RN Neq(Np−N_ps)×N NeqN_ps, telles que : ˜ A = ^A^˜ij_κ+κ+  1≤i,j≤Neq |  ˜ A^ij κ+κ⁻₁  1≤i,j≤Neq | . . . |  ˜ A^ij κ+κ⁻_nf  1≤i,j≤Neq ! κ+∈Ω_h , (3.22a) ˆ A = ^A^ˆij_κ+κ+  1≤i,j≤Neq |  ˆ A^ij κ+κ⁻₁  1≤i,j≤Neq | . . . |  ˆ A^ij κ+κ⁻_nf  1≤i,j≤Neq ! κ+∈Ω_h , (3.22b) B =   B^ij_κ+κ+  1≤i,j≤Neq |0| . . . |0  κ+∈Ω_h , (3.22c) C = _ C^ij_κ+κ+  1≤i,j≤Neq |0| . . . |0  κ+∈Ωh . (3.22d)

Première étape. Cette étape ne considère que l’avancement en temps des N N_eqN_ps

degrés de liberté de bas ordre au temps t(n+1). Ces derniers sont obtenus en résolvant le schéma linéaire implicite de Crank-Nicolson suivant avec la méthode GMRes :

˜ A∆ ˜W⁽ⁿ⁺¹⁾= −˜L_v(W⁽ⁿ⁺ 1 2) c ) − B∆ ˆW⁽ⁿ⁾, (3.23) où : - ∆ ˜W(n+1)= ˜W(n+1) v − ˜W(n+1/2)

c appartient à RN NeqN_ps, il correspond à l’incré-ment en temps sur les degrés de liberté de bas ordre (Wi,l,(n+1)

κ )^>_κ∈Ω

h,1≤i≤Neq,1≤l≤Nps; - ∆ ˆW(n) = ˆW(n)

v − ˆW(n−1/2)

c appartient à RN Neq(Np−N_ps), il correspond à l’in-crément sur les degrés de liberté d’ordre élevé (Wi,l,(n)

κ )^>_κ∈Ω

h,1≤i≤Neq,Nps+1≤l≤Np connus au temps t(n);

- ˜L_v(W(n+1/2)

c ) appartient àRN NeqNps, il désigne le vecteur de résidu des termes de diffusion associé aux degrés de liberté de bas ordre.

Seconde étape. Cette étape permet de déterminer les N N_eq(N_p− N_ps) degrés de liberté d’ordre élevé au temps t(n+1). Ces derniers sont obtenus par une reconstruc-tion explicite à partir des degrés de liberté de bas ordre déterminés à l’étape 1. En considérant la décomposition suivante pour la matrice carrée ˆA définie en (3.22b) :

ˆ

A = ˆL + ˆD + ˆU , avec ˆL sa partie strictement inférieure, ˆD sa diagonale et ˆU sa partie strictement supérieure, la reconstruction se réduit à la résolution du système triangulaire suivant : ( ˆL + ˆD)∆ ˆW⁽ⁿ⁺¹⁾ = −ˆL_v(W⁽ⁿ⁺ 1 2) c ) − C∆ ˜W⁽ⁿ⁺¹⁾− ˆU ∆ ˆW⁽ⁿ⁾, (3.24) où :

- ∆ ˆW⁽ⁿ⁺¹⁾= ˆW⁽ⁿ⁺¹⁾_v − ˆW_c^(n+1/2) appartient à RN Neq(Np−N_ps), il correspond aux degrés de liberté d’ordre élevé (Wi,l,(n+1)

κ )^>_κ∈Ω

h,1≤i≤Neq,N_ps+1≤l≤Np à déterminer ; - ∆ ˆW(n)= ˆW(n)

v − ˆW(n−1/2)

c appartient àRN Neq(Np−N_ps), il correspond aux degrés de liberté d’ordre élevé (Wi,k,(n+1)

κ )>

κ∈Ωh,1≤i≤Neq,l≤k≤Np qui ne sont pas encore connus au temps t(n+1) et qui sont alors explicités ;

- ˆL_v(W(n+1/2)

c ) appartient à RN Neq(Np−N_ps), il désigne le vecteur de résidu des termes de diffusion associé aux degrés de liberté d’ordre élevé.

3.5. Simplifications du schéma implicite en temps

Conclusion. Les deux étapes (3.23) et (3.24) peuvent se résumer à la résolution du système linéaire global suivant :

A∆W⁽ⁿ⁺¹⁾ = −L_v(W⁽ⁿ⁺ 1 2)

c ) − B∆W⁽ⁿ⁾, (3.25)

où les matrices A et B appartiennent à RNddl×N_ddl, elles sont telles que :

A = ^{A˜ 0} C L + ˆ^ˆ D ! , B = ^{0 B} 0 ˆU ! ,

et où les vecteurs ∆W et L_v appartiennent à RN_ddl, ils sont tels que : ∆W = ^{∆ ˜W} ∆ ˆW ! , L_v = ^L˜v ˆ L_v ! .

On précise que la matrice de préconditionnement n’est nécessaire qu’à l’étape 1 pour obtenir les modes de bas ordre. Par ailleurs, le problème implicite simpli-fié (3.25) est bien équivalent au problème implicite complet de départ (3.15) à ré-soudre puisque A + B = A. Ceci assure la consistance en temps de la méthode simplifiée utilisée.

Remarque 3.9. Dans la pratique, la valeur de l’entier p_s est choisie de façon à autoriser le gain en temps CPU le plus important. Pour les applications numériques de la partie II, il s’agit de la valeur p_s = 0. Toutefois, une analyse de sensibilité du

gain est réalisée au paragraphe 7.5.3 page 181.

Définition 3.6. Dans la suite de ce travail, la résolution du système des équations de

Navier-Stokes avec une discrétisation spatiale GD (relations (2.14), (2.20) et (2.29)) et une discrétisation temporelle explicite-implicite simplifiée (relations (3.13), (3.25) et (3.14)) est désignée par l’appellation « SIMPp_s».

3.5.4 Double simplification : méthode sans jacobienne et

Dans le document Méthode de Galerkin Discontinue et intégrations explicites-implicites en temps basées sur un découplage des degrés de liberté. Applications au système des équations de Navier-Stokes. (Page 98-104)