L’objectif de ce paragraphe est de décrire les deux types de frontières du do-maine Ω (§ 1.3.1) et de donner les conditions aux limites considérées pour détermi-ner complètement le problème physique associé au système des équations de Navier-Stokes (1.1) ou d’Euler (1.10) (§ 1.3.2).
1.3.1 Types de frontières
Pour les problèmes physiques considérés dans ce travail, la frontière ∂Ω du do-maine de calcul est composée de deux types de frontières. D’un côté, la frontière Γp de l’obstacle soumis à l’écoulement, qui est une frontière matérielle et imperméable (ou paroi). D’un autre côté, la frontière Γin∪ Γout externe au domaine de calcul, qui est une frontière artificielle, perméable et fixée par l’utilisateur. Dans les notations précédentes, les indices p, in et out font référence à une paroi respectivement, à l’en-trée du domaine de calcul et à sa sortie. En conclusion, il vient ∂Ω = Γp∪(Γin∪Γout). Les figures 1.1 illustrent les deux cas possibles de décomposition de la frontière
∂Ω. Ces cas sont en fait une généralisation des configurations rencontrées dans les
applications numériques de la partie II : l’écoulement interne confiné entre des parois (figure 1.1a) et l’écoulement externe autour d’un obstacle (figure 1.1b).
Pour la suite, l’état frontière est défini par wb = (ρb, ρbUb, ρbEb)> en tout point de ∂Ω. En fonction des conditions aux limites appliquées, cet état dépend de l’état intérieur w+ = (ρ+, ρ+U+, ρ+E+)> et de l’état physique infini amont ou bien de champ lointain w∞ = (ρ∞, ρ∞U∞, ρ∞E∞)>. De plus, n est la normale unitaire sortante du domaine Ω par convention.
1.3.2 Conditions aux limites considérées
D’un point de vue général, le nombre de conditions aux limites à imposer au sys-tème des équations de Navier-Stokes (1.1) repose sur un juste accord entre la nature 30
1.3. Conditions aux limites
(a) Ecoulement interne (b) Ecoulement externe
Fig. 1.1 – Exemples de configurations des frontières Γp∪ (Γin∪ Γout) du domaine Ω. Les notations w+, wb et w∞ désignent les états respectivement : intérieur, frontière et infini amont (cas d’un écoulement interne) ou de champ lointain (cas d’un écoulement externe). Par convention, n est la normale unitaire sortante du domaine.
mathématique de ses équations (mixte hyperbolique-parabolique) et les propriétés physiques de l’écoulement (cinématique, température).
Dans le cas d’équations hyperboliques (système des équations d’Euler), le traite-ment des conditions aux limites sur la frontière du domaine de calcul est fondé sur la méthode des caractéristiques. L’extension de cette méthode au système mixte com-plet (système des équations de Navier-Stokes) est naturelle pour les zones éloignées de la paroi pouvant être assimilées à un écoulement de fluide parfait, c’est-à-dire sur Γin et Γout. En revanche, ce n’est plus le cas en zone de proche paroi où la couche limite se développe, c’est-à-dire sur Γp. Il faut alors tenir compte des phénomènes physiques mis en jeu.
1.3.2.1 Conditions sur les frontières perméables Γin∪ Γout
Ces conditions sont celles de non-réflexion. Leur détermination repose sur l’ap-plication de la méthode des caractéristiques aux systèmes des équations d’Euler et de Navier-Stokes. On rappelle que pour ce dernier système, les frontières Γin∪ Γout doivent se situer « suffisamment loin » de la paroi, ce qui en général fait suite à une étude approfondie sur la valeur de certains coefficients (par exemple : les coefficients aérodynamiques globaux).
Afin de décrire comment les conditions de non-réflexion sont imposées, le pa-ragraphe suivant fait un bref rappel sur la méthode des caractéristiques et plus particulièrement sur les relations caractéristiques qu’elle permet de définir pour le système (1.10). Pour une présentation complète de la méthode, le lecteur est renvoyé à l’ouvrage [56, chapitre IV] pour le cadre mathématique théorique, ou [65, chapitre 11] pour une approche plus physique, et [118] pour une application concrète aux systèmes des équations d’Euler et de Navier-Stokes.
Les quatre relations caractéristiques (ou relations de compatibilité) discrétisées, notées (RCi)1≤i≤4, sont déduites de la matrice jacobienne de dérivation des flux convectifs suivant la normale n (soit n1∂fc,1/∂w + n2∂fc,2/∂w). Elles sont associées
Chapitre 1 : Modélisation du problème physique considéré
aux quatre valeurs propres λi et s’expriment comme suit :
λ1 = U · n − c ; pb− (ρc)+Ub· n = p+− (ρc)+U+· n (RC1), λ2 = U · n ; Ub· t = U+· t (RC2), λ3 = U · n ; ρpγ b =ρpγ + (RC3), λ4 = U · n + c ; pb + (ρc)+Ub· n = p++ (ρc)+U+· n (RC4),
où t est le vecteur tangent à la frontière ∂Ω. Les valeurs propres (λi)1≤i≤4 donnent la vitesse de propagation de l’information au sein du domaine. En particulier, si
λi > 0 (respectivement λi < 0), l’information se propage de l’intérieur vers l’extérieur
(respectivement de l’extérieur vers l’intérieur) du domaine Ω et la caractéristique est dite sortante (respectivement entrante).
L’imposition des conditions aux limites de non-réflexion se fait alors comme suit. Lorsque λi > 0, la relation caractéristique sortante correspondante est imposée.
Tandis que lorsque λi < 0, la caractéristique entrante correspondante est remplacée
par une condition au limite dite physique. Concrètement, cela signifie que les va-riables intérieures sont remplacées par les vava-riables infinies amont dans les relations caractéristiques, exceptée la quantité (ρc)+ qui reste calculée avec l’état intérieur par cohérence avec l’évaluation des valeurs propres au cours des itérations de calcul. L’utilisation des conditions infinies amont est en accord avec le fait que la rela-tion caractéristique est entrante et donc que l’informarela-tion vient de l’extérieur du domaine.
Pour Γin, frontière d’entrée subsonique, il vient λ1,2,3 < 0 et λ4 > 0. L’état
frontière wb est donné par la résolution du problème de quatre équations à quatre inconnues : (RC1), (RC2), (RC3) modifiées et (RC4) conservée.
Pour Γout, frontière de sortie subsonique, il vient (en général) λ1 < 0 et λ2,3,4 > 0.
L’état frontière wb est donné par la résolution du problème de quatre équations à quatre inconnues : (RC1) modifiée et (RC2), (RC3), (RC4) conservées.
1.3.2.2 Conditions sur les frontières imperméables Γp
Ces conditions dépendent de la nature du fluide et prennent donc en compte les effets visqueux portant sur la vitesse du fluide à la paroi (condition cinématique) et les échanges thermiques (condition thermique). On précise ici, que pour les applica-tions numériques de la partie II, la paroi est considérée immobile et adiabatique.
Pour le système des équations d’Euler, seule la condition cinématique est néces-saire. Il s’agit de la condition de glissement (condition de Dirichlet) :
Ub · n = 0, ∀(x, t) ∈ Γp× T .
Pour le système des équations de Navier-Stokes, la condition cinématique est celle de non-glissement ou d’adhérence à la paroi (condition de Dirichlet) en accord avec les phénomènes physiques qui apparaissent dans la couche limite :
Ub = 0, ∀(x, t) ∈ Γp× T .
A cette condition s’ajoute la condition physique sur les échanges thermiques (condi-tion de Neumann) :
∇θ|b· n = 0, ∀(x, t) ∈ Γp× T . 32