Description des résultats numériques

La description des résultats numériques s’intéresse à différentes validations. La première est le tracé des iso-valeurs du nombre de Mach local pour rendre compte de la cohérence des phénomènes physiques dans le canal (§ 5.1.3.1). La seconde est l’évaluation de la création d’entropie à la paroi pour observer le comportement de la dissipation numérique sur les deux types de maillages (§ 5.1.3.2). La dernière étape est l’étude de l’erreur sur l’entropie en matière de précision et d’efficacité (§ 5.1.3.3).

5.1.3.1 Iso-valeurs du nombre de Mach local

Soit M = kUk/c le nombre de Mach local, avec c = ^qγp/ρ la vitesse du son

dans le fluide. La figure 5.5 présente les iso-valeurs de M pour le maillage linéaire et curviligne h₂ et pour un degré de polynôme p = 2.

On retrouve bien la physique d’une tuyère convergente-divergente subsonique, puisque l’écoulement est accéléré dans le convergent et décéléré dans le divergent. Au col, on relève la valeur M ≈ 0, 78.

Par ailleurs, si on observe la symétrie attendue [65] par rapport à la droite d’équa-tion x₁ = 0 des iso-valeurs de M pour le maillage curviligne, ce n’est en revanche pas le cas pour le maillage linéaire.

Plus généralement, à comparaisons équivalentes (maillage et degré p fixés), cette symétrie est plus facile à obtenir sur les maillages curvilignes, laissant pressentir une meilleure précision de la solution pour ces derniers. En particulier, on montre avec la validation suivante sur la création d’entropie que l’asymétrie lorsque m = 1 est due à une plus grande dissipation numérique du schéma que lorsque m = 4.

(a) m = 1 (b) m = 4

Fig. 5.5 – (Canal). Iso-valeurs du nombre de Mach local. Comparaison entre le maillage h2 linéaire (a) et le maillage h₂ curviligne (b) pour p = 2.

Chapitre 5 : Validation de la discrétisation spatiale Galerkin Discontinue

(a) m = 1, p = 2 (b) m = 4, p = 2

(c) m = 1, h₃ (d) m = 4, h₃

Fig. 5.6 –(Canal). Création d’entropie à la paroi. Comparaison entre les maillages linéaires

(gauche) et ceux curvilignes (droite) pour le cas où p = 2 sur les maillages h₁, h₂ et h₃ (haut), puis pour le cas du maillage h₃ avec p = 0, p = 2 et p = 4 (bas).

5.1. Ecoulement dans un canal convergent-divergent

5.1.3.2 Création d’entropie à la paroi

La seconde validation vérifie dans quelle mesure la relation s = s∞ est respectée (cf. remarque 5.2). La quantité s/s_∞− 1 est alors évaluée à la paroi inférieure, car à cet endroit les phénomènes physiques sont les plus importants et les gradients de la solution sont les plus forts.

Les figures 5.6a et 5.6b donnent la valeur de s/s∞− 1 pour p = 2 fixé et pour les maillages h₁, h₂ et h₃ respectivement, linéaires ou curvilignes. Pour les deux types de maillages, on observe que la quantité s/s∞ − 1 tend vers zéro quand h diminue. Cependant, pour le même maillage (h₁ par exemple), la création d’entropie est trois fois moindre dans le cas curviligne (plateau situé vers 0, 004 pour x₁ ≈ 1, 0) que dans le cas linéaire (plateau situé vers 0, 012 pour x₁ ≈ 1, 0). Ce point indique que la convergence en maillage est respectée avec ou sans la prise en compte des géométries courbes.

Les figures 5.6c et 5.6d donnent la valeur de s/s_∞− 1 pour le maillage h₃ fixé respectivement, linéaire ou curviligne, et pour p pair tel que 0 ≤ p ≤ 4. Si pour le maillage curviligne la quantité s/s∞−1 tend vers zéro quand p augmente, ce n’est en revanche pas le cas pour le maillage linéaire lorsque x₁ > 0. Ce point indique que la

convergence en ordre est respectée seulement avec la prise en compte des géométries courbes. En effet, c’est ce qui est confirmé par la validation suivante.

5.1.3.3 Erreur globale en norme L2 sur l’entropie

La troisième validation concerne l’étude de l’erreur globale en norme L2 sur l’entropie, non seulement en matière de précision pour évaluer les convergences en maillage et en ordre du schéma numérique GD, mais aussi en matière d’efficacité pour évaluer les convergences en degrés de liberté et en temps.

Cette étude est réalisée, d’abord avec les résultats de la méthode GD retenue dans ce travail, puis avec ceux des méthodes utilisées lors de l’atelier [176, 83]. Résultats de la méthode GD retenue.

Convergence en maillage. On rappelle que la précision optimale attendue, pour la méthode GD utilisée, est en loi de puissance telle que

||s − s∞||_L2(Ω_h) ≈ hp+1,

comme prouvé théoriquement dans [142, théorème 3.1] pour un problème hyperbo-lique, linéaire, de solution suffisamment régulière en maillages structurés et non car-tésiens en deux dimensions d’espace, et comme vérifié numériquement dans [46, 114] sur un cas test similaire à celui considéré ici.

Ainsi, pour apprécier la précision obtenue, on trace l’erreur globale en norme

L² sur l’entropie (5.1) en fonction de 1/√

N , avec N le nombre total de degrés de liberté par équation (cf. remarque 5.3). Le choix de la grandeur d’abscisse 1/√

N est proposée par l’atelier [176, 83] et permet une comparaison de toutes les méthodes présentées. Ici, on a N = N Np.

Chapitre 5 : Validation de la discrétisation spatiale Galerkin Discontinue

(a) m = 1 (b) m = 4

Fig. 5.7 – (Canal). Erreur globale en norme L² sur l’entropie en fonction de 1/p N Np

(échelles logarithmiques). Comparaison entre les maillages linéaires (a) et ceux curvilignes (b) pour 0 ≤ p ≤ 5. Les chiffres donnent la valeur des pentes des segments associés.

p 0 1 2 3 4 5

a (m = 1) 1, 12 1, 37 1, 41 1, 47 1, 58 1, 65

a (m = 4) 1, 20 2, 22 3, 33 3, 90 4, 95 5, 05

Tab. 5.2 – (Canal). Ordres de précision a en espace pour les maillages linéaires (m = 1)

et curvilignes (m = 4) tels que l’erreur globale en norme L² sur l’entropie soit de l’ordre de (1/p

N Np)^a pour chaque degré p de polynôme. La moyenne est réalisée sur les cinq maillages les plus raffinés.

Fig. 5.8 – (Canal). Erreur globale en norme L² sur l’entropie en fonction du degré de polynôme (échelle logarithmique en ordonnée). Comparaison entre les maillages linéaires (symboles pleins) et ceux curvilignes (symboles creux) pour les deux maillages h₂ (trait plein) et h₄ (trait pointillé).

5.1. Ecoulement dans un canal convergent-divergent

Ce premier résultat de précision est donné sur la figure 5.7 pour les deux types de maillages et pour 0 ≤ p ≤ 5. De plus, le tableau 5.2 récapitule les ordres de conver-gence a tels que l’erreur regardée ||s − s∞||_L2(Ωh) soit de l’ordre de (1/^qN N_p)^a pour chaque valeur de p. On renvoie à l’annexe C pour les valeurs des erreurs mesurées et le calcul des ordres intermédiaires pour chaque p.

Remarque 5.3. Soit ||s−s∞||_L2(Ωh) ≈ hp+1alors pour h ≈ 1/√

N cette précision est équivalente à ||s−s∞||_L2(Ωh) ≈ (1/^√N )p+1, ou encore à ||s−s∞||_L2(Ωh) ≈ (1/^√N )p+1

à la constante Np près.

La comparaison des figures 5.7a pour les maillages linéaires et 5.7b pour ceux curvilignes exhibe une convergence en maillage différente. En effet, à p fixé, plus le maillage est raffiné (soit plus 1/^qN N_p est petit) plus l’erreur sur l’entropie diminue. Cependant, pour p = 3 par exemple, l’erreur sur l’entropie diminue de quatre ordres de grandeur quand le raffinement du maillage augmente pour m = 4, tandis qu’elle reste au même ordre de grandeur (10⁻⁴) pour m = 1.

Ce résultat est confirmé au tableau 5.2. En effet, seules les valeurs pour les maillages curvilignes donnent une convergence en loi de puissance comme attendu, c’est-à-dire que l’ordre de précision de la méthode numérique est en p + 1 pour 0 ≤ p ≤ 4.

Toutefois pour p = 5, on note que l’ordre obtenu est cinq contrairement à la valeur six attendue. Effectivement, la représentation est ici sous-paramétrique (m < p) et l’ordre de la méthode GD est limité par l’ordre d’approximation des éléments d’ordre élevé, à savoir cinq pour m = 4.

Convergence en ordre. On rappelle que la précision attendue pour la mé-thode GD utilisée est en loi exponentielle, soit telle que :

||s − s∞||_L2(Ωh) ≈ e^{−f (h)p},

avec f une fonction de h comme prouvé théoriquement dans [68, théorème 5.2] pour un problème linéaire, scalaire et de solution suffisamment régulière, et comme montré numériquement dans [107, 178] sur un cas test similaire à celui considéré ici.

Ainsi, pour apprécier la précision obtenue, on trace l’erreur globale en norme L2

sur l’entropie (5.1) en fonction de p. Ce second résultat de précision est donné sur la figure 5.8 pour les deux types de maillages h₂ et h₄ et pour 0 ≤ p ≤ 5.

La comparaison entre les maillages linéaires et curvilignes exhibe une convergence en ordre différente, comme constaté précédemment. En effet, à maillage fixé, plus p augmente plus l’erreur sur l’entropie diminue de façon exponentielle comme attendu. Cependant, pour le maillage h₄ par exemple, l’erreur sur l’entropie diminue de six ordres de grandeur quand p augmente pour m = 4, tandis qu’elle reste au même ordre de grandeur (10⁻⁴) pour m = 1.

Par ailleurs, on note que pour les maillages curvilignes, le taux de convergence augmente significativement lorsque le raffinement augmente.

Chapitre 5 : Validation de la discrétisation spatiale Galerkin Discontinue

Efficacité. Ce résultat est donné sur les figures 5.9a et 5.9b montrant l’erreur globale en norme L2sur l’entropie (5.1), en fonction respectivement, du nombre total de degrés de liberté N_ddl et du temps CPU, pour les maillages curvilignes et pour 0 ≤ p ≤ 5.

On constate que pour atteindre un niveau de précision requis, par exemple 10⁻⁶, plus le degré du polynôme est élevé moins le nombre total de degrés de liberté est élevé. Il s’ensuit que le temps CPU requis pour atteindre ce niveau de précision est d’autant plus faible. Ces résultats illustrent bien un intérêt majeur de l’utilisation des méthodes d’ordre élevé, en comparaison par exemple, aux méthodes usuelles de volumes finis d’ordre deux.

(a) (b)

Fig. 5.9 –(Canal). Erreur globale en norme L² sur l’entropie en fonction du nombre total de degrés de liberté (a) ou du temps CPU (b) (échelles logarithmiques). Calculs sur les maillages curvilignes pour 0 ≤ p ≤ 5.

Résultats des méthodes utilisées lors de l’atelier.

Le cas test du canal de type convergent-divergent est référencé comme le cas test C1.1 de l’atelier « méthode d’ordre élevé » [176, 83] et onze groupes y ont participé sous la direction de Rémi Abgrall.

Le tableau 5.3 récapitule les points importants des méthodes numériques de chaque groupe. A savoir : la méthode en espace avec le type de flux lorsqu’il existe, la méthode en temps, le type de maillage et la valeur de m lorsque c’est possible, et enfin, un article de référence de la méthode en question (en complément de [83]). On note que sept groupes ont proposé une méthode GD lors de l’atelier, ce qui reflète bien l’intérêt grandissant de la communauté scientifique pour cette méthode.

La figure 5.10 donne, quant à elle, l’erreur sur l’entropie (5.1) en fonction de 1/√

N pour chaque degré p et pour tous les groupes. Une méthode classique de volumes finis d’ordre deux implicite en temps [99, 100], issue du code « Tau » [75] et utilisant les maillages de l’atelier [176, 83], sert de référence. Par ailleurs, on précise que le groupe « Y » utilise des maillages spécifiques raffinés en fonction de Nddl, ce

5.1. Ecoulement dans un canal convergent-divergent

Symbole du groupe Auteurs

« A » R. Abgrall, M. Ricchiuto, D. de Santis « F » K. Fidkowski, S. Khosravi

« G » M.C. Galbraith, P.D. Orkwis, J.A. Benek «2 » S. Gérald, F. Renac

« H » H.T. Huynh

« L » Y. Li, Z.J. Wang « O » C. Ollivier-Gooch « T » P. Trontin

« V » E. van der Weide, M. Svärd

« W » L. Wang, W.K. Anderson, J.T. Erwin « Y » M. Yano, D. Darmofal

(a) Noms des participants.

Groupe Méthode Type de Méthode Type de m Référence de

en espace flux en temps maillage la méthode

« A » DR LxF I Tri. (?) 4 [1] « F » GD Roe I Tri. 5 [47] « G » GD Roe I Quad. 4 [49] «2 » GD LLF E Tri. (?) 4 [53] « H » GD Roe E Tri. (?) 4 [70, 50] « L » GD Roe I Tri. (?) 4 [70, 177] « O » VF Roe I Tri. (?) 3 [117, 112] « T » EF (iso-géométrique) - I Quad. - [164] « V » DF - I Quad. - [116] « W » EF (Petrov-Galerkin) - I Tri. p [174] GD HLLC I Tri. p « Y » GD Roe I Tri. 5 [180]

(b) Méthodes utilisées. Abréviations : distribution du résidu (DR), Galerkin discontinue (GD), volumes finis (VF), éléments finis (EF), différences finies (DF) ; Lax Friedrichs (LxF), local Lax Friedrichs (LLF), Harten-Lax-van Leer modifié (HLLC) ; implicite (I), explicite (E) ; triangle (Tri.), quadrangles (Quad.). Le symbole (?) indique que les maillages utilisés sont ceux de l’atelier.

Tab. 5.3 – (Canal). Description succincte des groupes et des méthodes utilisées lors de

Chapitre 5 : Validation de la discrétisation spatiale Galerkin Discontinue

(a) p = 0 (b) p = 1

(c) p = 2 (d) p = 3

(e) p = 4 (f) p = 5

Fig. 5.10 – (Canal). Erreur globale en norme L2 sur l’entropie en fonction de 1/√ N (échelles logarithmiques). Comparaison entre les calculs des participants à l’atelier « mé-thode d’ordre élevé » [176, 83] pour 0 ≤ p ≤ 5 et le calcul de référence du code TAU [75] (trait pointillé). Les chiffres donnent la valeur des pentes des droites associées.