- La seconde comparaison concerne les courbes en fonction du temps CPU. Pour chacun des cas tests, les calculs COMP sont les plus lents, ce qui conforte le réel intérêt des stratégies explicites-implicites développées. Concernant les stratégies simplifiées, si la méthode SJ+SIMP0 est globalement la plus rapide avec un gain atteignant 2, 69, on note que les méthodes SJ et SIMP0 sont également compétitives.
Afin de mieux dégager les tendances en fonction des paramètres d’un calcul comme p, N ou RA, les deux paragraphes suivants proposent une étude plus appro-fondie des gains sur les étapes de calculs intermédiaires et sur la résolution totale.
7.4 Estimation des gains intermédiaires
Pour les trois méthodes simplifiées SJ, SIMP0 et SJ+SIMP0, ce paragraphe compare les gains théoriques établis au tableau 3.3 page 88 et les gains réellement obtenus, et ce pour certaines étapes principales de calculs intermédiaires. L’objec-tif est d’apprécier le respect des différentes tendances et d’évaluer les constantes (αi)1≤i≤3. On souligne que l’évaluation exacte de ces dernières est difficile puisque les gains théoriques concernent les opérations les plus significatives et les gains me-surés concernent toutes les opérations dans leur intégralité.
L’analyse porte sur le cas test 2 offrant une large gamme de maillages où N et RA varient, et pour 1 ≤ p ≤ 6. Elle concerne les étapes de calculs de construction : de la matrice implicite (§ 7.4.1) et de celle de préconditionnement (§ 7.4.2), de l’inversion GMRes (§ 7.4.3) et de reconstruction des modes d’ordre élevé (§ 7.4.4).
7.4.1 Gain sur la matrice implicite
Le tableau 7.3 donne les gains en temps CPU mesurés et théoriques pour la construction de la matrice A. Son analyse permet une estimation du rapport α3/α2. Evaluations de Gain SJ et de Gain SIM P 0 + SJ .
- Pour chaque maillage, plus p est grand plus les deux gains tendent vers une constante comme attendu. En effet, la dépendance en p est très faible.
- Pour chaque degré, et quel que soit le maillage, les deux gains restent du même ordre de grandeur, en particulier si p est grand. Ainsi, les deux gains sont plutôt indépendants du maillage comme attendu.
- L’estimation asymptotique retenue de la constante α3/α2 est 0, 77. Evaluation de Gain SIM P 0.
- Pour chaque maillage, plus p augmente plus Gain SIM P 0 croît. Ainsi, le gain dépend faiblement de p comme attendu.
- Pour chaque degré, et quel que soit le maillage, Gain SIM P 0 reste du même ordre de grandeur. Ainsi, le gain est indépendant du maillage comme attendu. Le classement des méthodes par rapidité décroissante est alors : SJ+SIMP0 et SJ à égalité grâce à la construction des seuls blocs diagonaux de A, puis SIMP0.
Chapitre 7 : Evaluation des performances des discrétisations temporelles
Détail des maillages du cas test 2
N 648 2 888 10 952 2 888 2 888 2 888 RA 1 1 1 20 143 600 Gain SJ Théorie p = 1 1, 05 0, 99 1, 00 0, 99 1, 05 0, 97 1, 00 2 1, 01 0, 97 1, 00 0, 98 1, 00 0, 96 1, 00 3 1, 00 1, 00 1, 00 0, 97 1, 00 1, 00 1, 00 4 1, 00 0, 97 1, 00 0, 97 1, 00 1, 00 1, 00 5 1, 00 0, 96 1, 00 0, 98 1, 00 1, 00 1, 00 6 0, 99 0, 99 1, 00 0, 98 1, 00 1, 00 1, 00
Gain SIM P 0 Théorie
p = 1 4 5 4 4 5 4 27 2 24 23 18 19 22 19 216 3 63 69 59 61 79 62 1000 4 176 210 163 180 190 191 3375 5 449 467 388 432 473 362 9261 6 1079 1068 857 969 1040 944 21952
Gain SJ + SIM P 0 Théorie
p = 1 7 5 4 4 6 12 27 2 48 21 18 21 26 24 216 3 153 69 60 73 85 63 1000 4 285 189 162 178 193 150 3375 5 688 439 385 424 471 369 9261 6 1450 1091 830 1021 1015 898 21952
Tab. 7.4 – (Matrice de préconditionnement). Gain en temps CPU, mesuré et théorique,
des méthodes SJ, SIMP0 et SJ+SIMP0. Calculs sur le cas test 2, pour six maillages représentatifs où N et RA varient et pour 1 ≤ p ≤ 6. Le gain théorique est défini au tableau 3.3 page 88.
7.4. Estimation des gains intermédiaires
7.4.2 Gain sur la matrice de préconditionnement
Le tableau 7.4 donne les gains en temps CPU mesurés et théoriques pour la construction de la matrice P.
Evaluation de Gain SJ .
- Pour chaque maillage et pour chaque degré p, Gain SJ est globalement égal à la constante 1, 00 comme attendu.
Evaluations de Gain SIM P 0 et de Gain SJ + SIM P 0.
- Pour chaque maillage, plus p augmente plus les deux gains croissent. Ainsi, les gains dépendent très fortement de p. Cette dépendance est très éloignée de celle attendue en N3
p pour ps = 0 fixé. Toutefois, on rappelle que le coût asymptotique en 2N3/3 pour la décomposition LU d’une matrice de taille N
est valable pour N tendant vers l’infini, et sans changement de pivot partiel. - Pour chaque degré, les deux gains dépendent du maillage. Cependant, si les
gains semblent globalement plus faibles lorsque N est grand et quel que soit
p, aucune tendance ne ressort en fonction de RA. Cette dépendance en N est
forte et non prédite en théorie. Elle est directement liée à la taille réduite du système linéaire (3.23) à résoudre en N NeqNps équations. Par ailleurs, elle est sensiblement plus forte pour la méthode SJ+SIMP0.
Le classement des méthodes par rapidité décroissante est : SJ+SIMP0, SIMP0 et SJ. Ainsi, les méthodes SIMP0 et SJ+SIMP0 sont bien les moins sensibles au préconditionneur de Jacobi par blocs en comparaison à la méthode SJ.
7.4.3 Gain sur l’inversion GMRes
Le tableau 7.5 donne les gains en temps CPU mesurés et théoriques pour l’in-version GMRes.
Evaluations de Gain SJ et de Gain SIM P 0 + SJ .
- Pour la majorité des maillages, Gain SJ est non monotone avec p, tandis que Gain SJ + SIM P 0 croît avec p. Ainsi, les deux gains dépendent bien faiblement de p.
- Pour chaque degré, les deux gains dépendent du maillage. Par ailleurs, si le gain semble globalement plus fort lorsque N est grand, et quel que soit p pour la méthode SJ ou pour p ≤ 3 pour la méthode SJ+SIMP0, aucune tendance ne ressort en fonction de RA. Cette dépendance en N est faible et non prédite en théorie. Elle est directement liée à l’approximation du produit Az par une différence finie d’ordre un, qui requiert la construction d’un second résidu discret. Par ailleurs, elle est plus forte pour la méthode SJ+SIMP0 qui bénéficie en plus d’une réduction de la taille du système linéaire (3.23) à résoudre.
Chapitre 7 : Evaluation des performances des discrétisations temporelles
Détail des maillages du cas test 2
N 648 2 888 10 952 2 888 2 888 2 888 RA 1 1 1 20 143 600 Gain SJ Théorie p = 1 0, 90 1, 70 2, 54 1, 72 1, 79 1, 63 1, 15 2 1, 16 1, 61 2, 35 1, 62 1, 67 1, 53 1, 43 3 1, 37 1, 65 2, 20 1, 62 1, 63 1, 63 1, 67 4 1, 63 1, 74 2, 20 1, 77 1, 82 1, 82 1, 87 5 1, 83 1, 85 2, 34 1, 91 1, 96 2, 66 2, 06 6 2, 14 2, 17 2, 46 2, 16 2, 23 2, 24 2, 22
Gain SIM P 0 Théorie
p = 1 2, 02 1, 14 1, 05 1, 12 1, 15 1, 11 9, 00 2 5, 07 1, 62 1, 17 1, 59 1, 63 1, 66 36, 00 3 11, 10 2, 59 1, 89 2, 55 2, 99 3, 40 100, 00 4 25, 41 4, 70 2, 66 5, 47 7, 13 7, 07 225, 00 5 49, 07 8, 22 3, 08 11, 99 12, 45 12, 73 441, 00 6 87, 53 15, 08 6, 30 21, 76 20, 65 22, 56 784, 00
Gain SJ + SIM P 0 Théorie
p = 1 1, 48 1, 87 2, 61 1, 91 1, 96 1, 95 1, 45 2 1, 67 1, 91 2, 55 1, 94 2, 00 2, 01 1, 98 3 2, 03 2, 04 3, 38 2, 09 2, 40 2, 53 2, 48 4 2, 46 2, 37 3, 65 2, 71 3, 61 3, 34 2, 99 5 2, 84 2, 65 3, 09 4, 06 4, 12 3, 84 3, 49 6 3, 33 3, 16 4, 54 4, 21 4, 37 4, 42 3, 99
Tab. 7.5 – (Inversion GMRes). Gain en temps CPU, mesuré et théorique, des méthodes
SJ, SIMP0 et SJ+SIMP0. Calculs sur le cas test 2, pour six maillages représentatifs où N et RA varient et pour 1 ≤ p ≤ 6. Le gain théorique est défini au tableau 3.3 page 88 et est évalué sur les trois plus grandes valeurs de p, pour nf = 3 et Ng= p + 1.
7.4. Estimation des gains intermédiaires
- L’estimation asymptotique retenue de la constante α1 est 40, 06. Elle est à relativiser avec la dépendance en maillage observée d’un côté, et avec les valeurs de nf et Ng choisies dans les relations théoriques d’un autre côté.
- On remarque que les valeurs moyennes de Gain SJ augmentent comme le rapport Np/(Ng+0, 20Np), et celles de Gain SJ +SIM P 0 augmentent comme le rapport Np/Ng.
Evaluation de Gain SIM P 0.
- Pour chaque maillage, plus p augmente plus Gain SIM P 0 croît. Ainsi, le gain dépend de p. Cette dépendance est très éloignée de celle attendue en
Np2 pour ps = 0 fixé. Cet écart à la théorie peut s’expliquer comme suit. Premièrement, le coût réel de l’inversion dépend à la fois de la précision requise sur le résidu pour stopper la convergence et de la fréquence s des redémarrages de la méthode GMRes(s) (cf. remarque 3.5 page 71 pour un rappel de cette méthode). Deuxièmement, le temps CPU mesuré ici, considère l’inversion dans sa globalité et pas uniquement les deux multiplications matrice-vecteur Az et P−1z pour un vecteur z quelconque.
- Pour chaque degré, Gain SIM P 0 dépend du maillage. Cependant, si le gain semble globalement plus faible lorsque N est grand et quel que soit p, aucune tendance ne ressort en fonction de RA. Cette dépendance en N est non prédite en théorie. Elle est directement liée à la taille réduite du système linéaire (3.23) à résoudre.
Le classement des méthodes par rapidité décroissante est alors : SIMP0, SJ+SIMP0 et SJ.
7.4.4 Gain sur la reconstruction des modes d’ordre élevé
La reconstruction des modes d’ordre élevé est une étape de calculs non détermi-nante pour les méthodes COMP, SJ, et peu détermidétermi-nante pour les méthodes SIMP0 et SJ+SIMP0 (cf. § 7.2).Une analyse succincte révèle que la méthode SIMP0 est plus rapide que la mé-thode SJ+SIMP0. Pour ces deux mémé-thodes, les performances dépendent faiblement de p et du maillage. La dépendance en maillage étant due au produit matrice-vecteur
ˆ
U ∆ ˆW(n) et à la résolution du système triangulaire ( ˆL + ˆD)−1∆ ˆW(n+1).
Finalement, conformément aux relations théoriques, la dépendance en p est glo-balement toujours bien observée. De plus, une dépendance en maillage est également observée. Elle est principalement due à la réduction du système linéaire implicite de Crank-Nicolson à résoudre lors de l’approche SIMPps, ou à la construction des rési-dus supplémentaires lors de l’approche SJ.
Pour compléter l’évaluation des performances de ce chapitre, la dernière analyse porte sur les gains de la résolution totale.
Chapitre 7 : Evaluation des performances des discrétisations temporelles
N = 648, RA = 1 N = 2 888, RA = 1 N = 10 952, RA = 1
p SJ SIMP0 SJ+SIMP0 SJ SIMP0 SJ+SIMP0 SJ SIMP0 SJ+SIMP0
1 1 , 09 1, 29 1, 18 1, 43 1 , 11 1, 50 2, 09 1 , 03 2, 15 2 1 , 29 1, 55 1, 44 1, 38 1 , 37 1, 50 1, 78 1 , 19 1, 89 3 1 , 41 1, 65 1, 54 1 , 45 1, 58 1, 60 1, 62 1 , 44 1, 79 4 1 , 50 1, 72 1, 67 1 , 53 1, 70 1, 69 1 , 62 1, 73 1, 90 5 1 , 55 1, 76 1, 72 1 , 56 1, 76 1, 73 1 , 61 1, 74 1, 94 6 1 , 60 1, 77 1, 76 1 , 64 1, 84 1, 81 1 , 64 1, 90 1, 86 N = 2 888, RA = 4 N = 43 808, RA = 1
p SJ SIMP0 SJ+SIMP0 SJ SIMP0 SJ+SIMP0
1 1, 45 1 , 10 1, 49 2, 63 1 , 00 2, 68 2 1, 38 1 , 37 1, 50 2, 44 1 , 36 3, 25 3 1 , 46 1, 58 1, 61 2, 15 1 , 46 2, 79 4 1 , 53 1, 70 1, 69 1, 95 1 , 61 2, 42 5 1 , 57 1, 76 1, 74 6 1 , 62 1, 84 1, 81 N = 2 888, RA = 20 N = 2 888, RA = 143 N = 2 888, RA = 600
p SJ SIMP0 SJ+SIMP0 SJ SIMP0 SJ+SIMP0 SJ SIMP0 SJ+SIMP0
1 1, 44 1 , 11 1, 52 1, 39 1 , 11 1, 46 1, 45 1 , 10 1, 51 2 1, 38 1 , 37 1, 50 1, 37 1 , 35 1, 47 1, 40 1 , 31 1, 45 3 1 , 46 1, 59 1, 61 1 , 46 2, 01 1, 67 1 , 45 1, 67 1, 67 4 1 , 53 1, 70 1, 69 1 , 53 1, 70 1, 69 1 , 52 1, 80 1, 79 5 1 , 58 1, 75 1, 76 1 , 58 1, 73 1, 72 1 , 62 1, 83 1, 82 6 1 , 62 1, 79 1, 80 1 , 63 1, 87 1, 79 1 , 60 1, 86 1, 84
(a) Interaction tourbillons-paroi
N = 1 683, RA = 444 N = 4 298, RA = 2 125 N = 7 368, RA = 1 685
p SJ SIMP0 SJ+SIMP0 SJ SIMP0 SJ+SIMP0 SJ SIMP0 SJ+SIMP0
1 1, 23 1 , 17 1, 32 1, 77 1 , 25 2, 11 2, 06 1 , 23 2, 46 2 1 , 28 1, 58 1, 53 1 , 5 5 1, 61 2, 02 1, 77 1 , 54 2, 34 3 1 , 39 1, 74 1, 64 1 , 57 1, 79 1, 98 1 , 67 1, 69 2, 15 4 1 , 50 1, 80 1, 73 1 , 58 1, 94 1, 93 1 , 58 1, 84 1, 93 5 1 , 55 1, 79 1, 73 1 , 56 1, 90 1, 86 1 , 64 2, 03 1, 71 6 1 , 58 1, 81 1, 72 1 , 60 1, 89 1, 88 1 , 76 2, 13 1, 87
(b) Profil d’aile NACA0012 N = 11 676, RA = 5 191 p SJ SIMP0 SJ+SIMP0 1 2, 33 1 , 27 3, 06 2 2, 03 1 , 40 2, 69 3 1, 82 1 , 75 2, 54 4 1 , 72 1, 90 2, 34 5 1 , 74 2, 02 2, 13 6 1 , 79 2, 11 2, 14 (c) Profil d’aile SD7003 N = 7 384, RA = 630 p SJ SIMP0 SJ+SIMP0 1 2, 16 1 , 05 2, 47 2 1, 91 1 , 55 2, 62 3 1 , 73 1, 78 2, 34 (d) Cylindre
Tab. 7.6 – Gain en temps CPU sur la résolution totale. Pour chaque maillage et chaque degré p, les nombres en italique indiquent la méthode ayant le gain le moins important et ceux en gras indiquent la méthode ayant le gain le plus important.