Ecoulement autour du profil d’aile SD7003

A l’image du cas test 3, celui-ci (cas test 4) concerne également l’écoulement externe, instationnaire et subsonique d’un fluide visqueux autour d’un profil d’aile de Selig et Donovan : le SD7003 [150], comme utilisé dans [166, 113].

6.4.1.1 Avant-propos

Les ailes SD sont nées en 1989 dans les souffleries de l’université de Princeton suite à des tests sur des maquettes de planeurs radio-controlées. L’objectif était d’obtenir des caractéristiques de référence d’une quantité importante d’ailes pour des nombres de Reynolds proches de ceux des vols réels des appareils de petites tailles et de faibles vitesses comme les drones ou les micro-véhicules aériens (103 ≤ Re_∞≤ 105) [150].

Le profil SD7003 appartient à la famille des profils d’aile pour les maquettes de planeurs. Outre ses performances aérodynamiques reconnues puisqu’il a permis à Joe Wurts et Daryl Perkins d’obtenir respectivement la première et seconde place au championnat du monde F3B de maquette en 1991, ce profil est souvent étudié numériquement pour la large bulle de décollement qui se forme à l’extrados du profil, et ce même à faible incidence (cf. figure 6.10 et [48, figure 5.23]).

6.4. Validation sur des cas d’applications

On rappelle que cette bulle est connue pour perturber les performances aérody-namiques des appareils (augmentation de la traînée, décrochage) et son contrôle est un vaste sujet de recherches. Par exemple, le lecteur peut consulter les études de Galbraith [48] et de Visbal et al. [173] sur le profil SD7003 pour une large gamme de nombre de Reynolds (104 ≤ Re_∞ ≤ 9 × 104) et d’angle d’attaque (2^◦ ≤ α ≤ 14◦). En particulier, on retient que dans le cas considéré ici, soit Re∞= 104 et α = 4^◦, l’écou-lement est bien instationnaire, bidimensionnel et laminaire avec de faibles variations dans la direction de l’envergure, la couche limite se décolle avec formation d’une bulle mais sans recollement, et il s’ensuit un détachement de tourbillons périodiques.

Parmi les études GD sur le profil SD7003, on cite [166, 113, 110, 176]. Dans ce travail, on se sert de récentes simulations utilisant, soit une méthode des différences finies au sixième ordre [48, 173], soit une méthode GD [166, 113] pour valider les quatre discrétisations temporelles explicites-implicites.

Finalement, ce cas test est dit d’application car d’une part, le profil d’aile cambré et le nombre de Reynolds important sont à l’origine de l’accélération à l’extrados induisant un fort décollement de la couche limite, et d’autre part, les instationnarités de sillage sont très marquées.

Fig. 6.10 –(SD7003). Illustration de la bulle de décollement à l’extrados du profil d’aile.

Calcul COMP sur le maillage N = 11 676 pour p = 2 et t = 25.

6.4.1.2 Description du cas test

Le profil d’aile est tel que son bord d’attaque est situé en (x₁; x₂) = (0; 0)^>. Ce profil est non symétrique. Soit L_c sa longueur de corde, alors son épaisseur est de 0, 085L_c, sa cambrure de 0, 0145L_c en x₁ = 0, 35L_c et son bord de fuite est arrondi avec un rayon de r = 10⁻⁴L_c. Le détail complet de la géométrie du profil peut être consulté dans [150, 176]. La condition aux limites appliquée est celle de non-glissement (paroi immobile et adiabatique). La frontière externe au domaine est située à environ 20L_c et les conditions aux limites appliquées sont celles d’entrée et de sortie subsoniques.

Un seul maillage est utilisé, lequel est décrit dans le tableau 6.5 et deux vues, une globale et une agrandie, sont données sur les figures respectivement, 6.11a et 6.11b. Il est composé de triangles d’ordre élevé tels que m = 4. Comme pour le profil NACA0012, il y a deux zones de raffinement.

Chapitre 6 : Validation des discrétisations temporelles explicites-implicites

Concernant l’initialisation, le vecteur des variables conservatives w⁽⁰⁾(x) est donné pour ρ(0) = 1, u⁽⁰⁾₁ = cos (α), u⁽⁰⁾₂ = sin (α) avec l’incidence α = 4^◦ et θ(0) = 1, et il est pris uniforme pour tous les calculs. Le nombre de Reynolds amont est basé sur la longueur de corde du profil et la vitesse amont, il est fixé à Re∞ = 10 000 et le nombre de Mach amont est M∞ = 0, 2. De plus, on s’intéresse à une simulation pour un temps physique t = 25. Le lecteur peut se référer à [166, 113] pour plus de détails sur l’initialisation de ce cas test. Enfin, les valeurs de la condition de CFL utilisées ont été données au paragraphe 6.2.1.

(a) Vue globale (b) Vue agrandie

Fig. 6.11 – (SD7003). Maillage utilisé.

N Nb. points sur Γ_p RA (m = 4)

11 676 633 5 191

Tab. 6.5 –(SD7003). Description du maillage utilisé. Abréviation : Nombre (Nb.).

6.4.1.3 Description des résultats numériques

La description des résultats numériques est similaire à celle des cas tests 2 et 3. Iso-valeurs de la vorticité. La figure 6.12 présente les iso-valeurs de ω. Plus précisément, la figure 6.12a reproduit la simulation GD de référence de Uranga et

al. [166, figure3 7], réalisée en trois dimensions d’espace telle que p = 3 et t = 25. Quant à elles, les figures 6.12b à 6.12f illustrent les simulations GD de discrétisations temporelles COMP, SJ, SIMP0 et SJ+SIMP0, réalisées telles que p = 2 et t = 25.

Sur ces figures, on observe la très bonne capture des instabilités de sillage pour chacun des calculs explicites-implicites en comparaison avec la référence [166] (ou [113, figure 2.b]). Cette observation est confirmée sur la vue agrandie figure 6.12f, en particulier avec la capture des tourbillons dans le sillage sans trop de dissipation.

3. Les couleurs de l’image ont été converties en échelle de gris.

6.4. Validation sur des cas d’applications

(a) Référence (b) COMP

(c) SJ (d) SIMP0

(e) SJ+SIMP0 (f) Vue agrandie

Fig. 6.12 –(SD7003). Iso-valeurs de la vorticité. Comparaison à t = 25 entre la simulation

GD de référence telle que p = 3 [166, figure 7] (a) et les simulations GD explicites-implicites telles que p = 2 (b), (c), (d), et (e). La figure (f) montre une vue agrandie. Il y a 20 niveaux représentés sur l’intervalle [−40, 40], en trait pointillé pour les valeurs négatives ou en trait plein pour les valeurs positives.

Chapitre 6 : Validation des discrétisations temporelles explicites-implicites

Valeurs des coefficients de traînée et de portance. L’étude des valeurs des coefficients aérodynamiques C_D et C_L est organisée en deux temps à l’image du cas test 2 sur le profil NACA0012.

Comparaison : résultats COMP et références. Elle est reportée au ta-bleau 6.6, lequel indique les valeurs de C_D et C_L de plusieurs simulations extraites de la littérature [48, 166] et des simulations COMP pour 1 ≤ p ≤ 4.

Remarque 6.2. Concernant les calculs COMP, la valeur indiquée des coefficients

correspond à une moyenne temporelle sur 10 périodes à partir de t = 20.

D’une façon générale, l’ensemble des valeurs des coefficients C_D et C_L obtenues avec les calculs COMP est en accord avec celles de référence, notamment dès p = 2. De plus, comme le profil NACA0012, on observe des valeurs du coefficient C_D plus rapprochées que celles du coefficient C_L.

Simulation Détail CD (10⁻²) CL (10⁻¹) Galbraith [48] 3D, DF, Ordre 6 4, 7 3, 6 Uranga et al. [166] 3D, GD, p = 3 4, 978 3, 755 N = 11 676 p = 1 2D, GD, COMP 5, 015 4, 042 11 676 2 2D, GD, COMP 4, 934 3, 692 11 676 3 2D, GD, COMP 4, 928 3, 697 11 676 4 2D, GD, COMP 4, 956 3, 701

Tab. 6.6 – (SD7003). Valeur des coefficients de traînée et de portance. Comparaison

entre les simulations de référence (haut) et la simulation COMP pour 1 ≤ p ≤ 4 (bas). Abréviations : deux ou trois dimensions d’espace (2D ou 3D), différences finies (DF), Galerkin discontinue (GD).

Comparaison : résultats COMP, SJ, SIMP0, SJ+SIMP0 et EXPL. Elle est reportée au tableau 6.7 donnant l’erreur en pourcentage (6.2) faite sur les coefficients C_D et C_Lentre chaque discrétisation explicite-implicite et son équivalent explicite. Ici, on s’intéresse à un seul calcul où p = 2 et t = 25.

Pour chacun des coefficients, les valeurs du tableau indiquent une erreur très pe-tite et similaire pour toutes les discrétisations explicites-implicites, soit inférieure à 0, 1%. De plus, comme le profil NACA0012, on observe, cette fois-ci avec les deux co-efficients, que les calculs COMP et SJ d’une part, et les calculs SIMP0 et SJ+SIMP0 d’autre part, présentent une erreur quasi-identique.

COMP SJ SIMP0 SJ+SIMP0

Erreur C_D (%) 0, 04 0, 05 0, 02 0, 02 Erreur C_L (%) 0, 02 0, 04 −0, 09 −0, 09

Tab. 6.7 – (SD7003). Erreur en pourcentage sur les coefficients de traînée et de portance

pour les méthodes COMP, SJ, SIMP0 et SJ+SIMP0. Calculs pour p = 2 et t = 25.

6.4. Validation sur des cas d’applications