7.5 Estimation des gains sur la résolution totale
Ce paragraphe s’intéresse aux gains en temps CPU sur la résolution totale pour les trois méthodes simplifiées SJ, SIMP0 et SJ+SIMP0. L’objectif est double. Il est tout d’abord question (§ 7.5.1) d’apprécier le lien direct entre les temps de calcul demandés par les étapes intermédiaires (et étudiés au paragraphe 7.3) et les gains intermédiaires associés obtenus (et étudiés au paragraphe 7.4). Il s’agit ensuite de dégager les tendances de chaque méthode en fonction de p, N , RA (§ 7.5.2) et ps (§ 7.5.3).L’analyse porte sur l’ensemble des maillages des quatre cas tests (soit treize cas au total) et pour 1 ≤ p ≤ 6. Le tableau 7.6 récapitule toutes les mesures des gains en temps CPU obtenus sur la résolution totale. Pour une meilleure vue d’ensemble, ces résultats sont regroupés par cas test, puis par maillage et enfin par stratégie d’intégration temporelle.
7.5.1 Analyse globale de rapidité
Une première analyse consiste à identifier les méthodes en temps arborant les gains les plus faibles ou les plus forts. L’objectif est d’établir un classement de rapidité.
Pour cela, on compte le nombre de fois où une méthode apparaît dans le ta-bleau 7.6 avec les gains sur la résolution totale les plus importants et les moins importants pour chaque degré p. Le tableau 7.7 récapitule ce décompte. On relève les points suivants :
- tous les gains sont compris dans l’intervalle [1, 00; 3, 25] confirmant l’intérêt des simplifications mises en œuvre, notamment pour des applications réelles, par exemple en trois dimensions d’espace ;
- il y a une différence non négligeable entre la méthode SJ dont les gains ne sont jamais les plus importants et les méthodes SIMP0 et SJ+SIMP0 dont les gains sont alternativement les plus importants ;
- le classement de rapidité des méthodes dépend fortement de p et différencie trois cas de figures :
(1) pour p ≤ 2 : la méthode SJ+SIMP0 présente les gains les plus importants et la méthode SIMP0 les moins importants ;
(2) pour p = 3 : la méthode SJ+SIMP0 présente les gains les plus importants et la méthode SJ les moins importants ;
(3) pour p ≥ 4 : la méthode SIMP0 présente les gains les plus importants et la méthode SJ les moins importants. Toutefois, les gains des méthodes SIMP0 et SJ+SIMP0 restent très proches.
Une seconde analyse consiste à mettre le classement de rapidité en regard simul-tané avec le temps CPU requis par les étapes de calculs intermédiaires (cf. § 7.2) et avec les gains intermédiaires associés obtenus (cf. § 7.4). L’objectif et de comprendre quelles étapes (respectivement quels gains) intermédiaires donnent l’avantage à une méthode plutôt qu’à une autre.
Chapitre 7 : Evaluation des performances des discrétisations temporelles p SJ SIMP0 SJ+SIMP0 1 2 3 1 2 2 3 1 3 3 2 1 4 3 1 2 5 3 1 2 6 3 1 2
Tab. 7.7 – Classement de rapidité des méthodes SJ, SIMP0 et SJ+SIMP0 pour chaque degré 1 ≤ p ≤ 6, suite au décompte du nombre de fois où ces méthodes apparaissent avec les gains les moins importants ou les plus importants dans le tableau 7.6.
SJ SIMP0 SJ+SIMP0
Matrice implicite Temps CPU ++ ++ ++
Rapidité 2 3 1
Reste de la résolution Temps CPU ++ ++ ++
Rapidité 3 1 2
(a) p = 2
SJ SIMP0 SJ+SIMP0
Matrice implicite Temps CPU + + + + + + + + +
Rapidité 2 3 1
Reste de la résolution Temps CPU ++ + ++
Rapidité 3 1 2
(b) p = 3
SJ SIMP0 SJ+SIMP0
Matrice implicite Temps CPU + + + + + ++ + + +
Rapidité 2 3 1
Reste de la résolution Temps CPU ++ + +
Rapidité 3 1 2
(c) p = 4
Tab. 7.8 – Bilan recoupant l’analyse des temps CPU intermédiaires du paragraphe 7.2 et celle des gains intermédiaires du paragraphe 7.4 pour l’ensemble des cas tests, pour les méthodes SJ, SIMP0 et SJ+SIMP0, et pour 2 ≤ p ≤ 4. Pour « Temps CPU », la signification des symboles est :
+ : le temps CPU est peu significatif, T emps CP U < 25% ;
++ : le temps CPU est moyennement significatif, 25% ≤ T emps CP U < 50% ; + + + : le temps CPU est fortement significatif, 50% ≤ T emps CP U < 75% ; + + ++ : le temps CPU est très fortement significatif, T emps CP U ≥ 75%.
7.5. Estimation des gains sur la résolution totale
A cette fin, on se concentre sur l’étape de construction de la matrice implicite et sur celle du reste de la résolution implicite (comprenant les étapes de la construction de la matrice de préconditionnement, de l’inversion GMRes et de la reconstruction des modes d’ordre élevé) pour les trois degrés p = 2, p = 3 et p = 4 représentatifs du classement de rapidité précédemment établi. Le tableau 7.8 récapitule cette mise en regard. On relève les points suivants.
- Le classement de rapidité final indique que la méthode SIMP0 est la moins rapide pour p ≤ 2. En effet, le gain sur la construction de la matrice A influence le plus la rapidité de la résolution totale.
- Le classement de rapidité final indique que la méthode SJ est la moins rapide pour p = 3. On comprend alors que le gain sur le reste de la résolution implicite devient compétitif par rapport à celui sur la construction de la matrice A. - Le classement de rapidité final indique que la méthode SIMP0 est la plus rapide
pour p ≥ 4. De fait, le gain sur le reste de la résolution implicite influence le plus la rapidité de la résolution totale.
- Globalement, quel que soit p, les gains les plus forts observés sur la résolution complète sont en accord avec le temps CPU requis par chacune des étapes principales de calculs et les gains intermédiaires associés.
Finalement, la méthode SJ ne permet pas les gains les plus importants car elle est pénalisée par l’inversion GMRes et la reconstruction. En revanche la méthode SJ+SIMP0 présente les gains les plus importants car elle combine les avantages des deux méthodes SJ et SIMP0.
7.5.2 Analyse en ordre et en maillage
La troisième analyse concerne, à la fois la dépendance en ordre lorsque p varie (soit une analyse verticale du tableau 7.6), et à la fois la dépendance en maillage lorsque N et RA varient (soit une analyse horizontale du même tableau). L’objec-tif est de bien mettre en avant, non seulement les tendances de chaque méthode séparément, mais aussi l’importance de chaque méthode par rapport aux autres.
Pour des raisons de clarté, cette analyse est reportée en annexe F et seul le bilan des principales observations est exposé au tableau 7.9. On relève les points suivants. - Le gain de l’ensemble des méthodes explicites-implicites simplifiées dépend de
p et N , tandis que la dépendance en RA est soit inexistante (méthode SJ) soit
très faible (méthodes SIMP0 et SJ+SIMP0). Ce point est rassurant quant à la robustesse des simplifications envisagées pour diverses applications en CFD. - Les méthodes SIMP0 et SJ+SIMP0 sont les plus sensibles au degré p du
po-lynôme, comme attendu à cause du découplage des modes (cf. hypothèse 3.1 page 81). En particulier, Gain SIM P 0 croît avec p quel que soit N ; tandis que Gain SJ et Gain SJ + SIM P 0 croissent avec p lorsque le maillage est grossier (N ≤ 2 888) et décroissent sinon.
- Pour les trois méthodes, la variation du gain en fonction de p s’effectue de façon presque monotone. Notamment, Gain SJ tend vers la valeur asymptotique de 1, 64, Gain SIM P 0 vers 1, 89 et Gain SJ + SIM P 0 vers 1, 84.
Chapitre 7 : Evaluation des performances des discrétisations temporelles
SJ SIMP0 SJ+SIMP0
Dépendance en p ++ + + ++ + + +
Détail % si N petit, ∀RA % ∀N , RA % si N petit, ∀RA & sinon, ∀RA & sinon, ∀RA
Valeur asymptotique 1, 64 1, 89 1, 84
Dépendance en N + + + ++ + + ++
Détail % ∀p, RA & ∀p, RA % ∀p, RA
Dépendance en RA NON + +
Détail % ∀p, N % ∀p, N
Tab. 7.9 – Bilan de l’analyse des gains sur la résolution totale réalisée pour l’ensemble des cas tests et pour les méthodes SJ, SIMP0 et SJ+SIMP0. La signification des symboles « + » est relative entre les trois méthodes et fonction de ce qui a été observé en annexe F. Les symboles % ou & indiquent que le gain est respectivement croissant ou décroissant.
Matrice implicite Résolution implicite Total
p ps SIMPps SJ+SIMPps SIMPps SJ+SIMPps SIMPps SJ+SIMPps
2 0 1, 42 1, 67 1, 63 1, 70 1, 37 1, 50 2 1 1, 26 1, 72 1, 40 1, 64 1, 23 1, 51 3 0 1, 54 1, 70 2, 62 1, 81 1, 58 1, 60 3 1 1, 35 1, 69 2, 02 1, 74 1, 37 1, 58 3 2 1, 18 1, 69 1, 42 1, 55 1, 15 1, 53 4 0 1, 62 1, 71 5, 04 2, 45 1, 70 1, 69 4 1 1, 48 1, 71 3, 83 2, 37 1, 52 1, 67 4 2 1, 31 1, 71 2, 60 2, 20 1, 31 1, 64 4 3 1, 14 1, 71 1, 68 1, 88 1, 07 1, 58 5 0 1, 66 1, 71 7, 95 2, 82 1, 76 1, 73 5 1 1, 57 1, 72 6, 14 2, 78 1, 65 1, 74 5 2 1, 43 1, 71 4, 16 2, 63 1, 47 1, 72 5 3 1, 29 1, 71 2, 65 2, 37 1, 28 1, 69 5 4 1, 14 1, 71 1, 61 1, 89 1, 07 1, 62 6 0 1, 73 1, 76 13, 93 3, 53 1, 84 1, 81 6 1 1, 65 1, 73 10, 77 3, 62 1, 74 1, 85 6 2 1, 53 1, 73 7, 57 3, 50 1, 60 1, 84 6 3 1, 40 1, 73 5, 04 3, 26 1, 44 1, 83 6 4 1, 26 1, 72 3, 01 2, 80 1, 25 1, 81 6 5 1, 13 1, 73 1, 67 2, 14 1, 06 1, 74
Tab. 7.10 – Gain en temps CPU sur les étapes de construction de la matrice implicite (gauche) et du reste de la résolution implicite (milieu), puis sur la résolution totale (droite) en faisant varier ps. Calculs pour le cas test 2 sur le maillage uniforme tel que N = 2 888, pour 2 ≤ p ≤ 6 et ps< p. Les nombres en gras indiquent la méthode
ayant le gain le plus important pour chaque couple de degrés (p, ps).
7.5. Estimation des gains sur la résolution totale
- Les méthodes SJ et SJ+SIMP0 sont les plus sensibles au maillage, surtout au nombre N d’éléments du maillage, comme attendu à cause de la construction des différents résidus discrets supplémentaires caractéristiques de l’approche sans jacobienne. En particulier, Gain SJ et Gain SJ + SIM P 0 augmentent avec N quel que soit p ; tandis que Gain SIM P 0 à tendance à diminuer avec
N quel que soit p.
- Pour les méthodes SJ et SJ+SIMP0, la variation du gain en fonction de N s’effectue de façon presque monotone tandis que pour la méthode SIMP0 cette variation est erratique.
- Le comportement et la dépendance des gains de la méthode SJ+SIMP0 sont influencés par les deux méthodes SJ et SIMP0.
- Les méthodes SJ et SJ+SIMP0 présentent les gains optimaux pour N grand et p petit, et la méthode SIMP0 pour N petit et p grand.
7.5.3 Aparté sur les simplifications utilisant le découplage
On s’intéresse ici aux méthodes de simplification SIMPps et SJ+SIMPps, et plus particulièrement aux gains en fonction de la valeur de l’entier de couplage ps entre les modes de bas ordre et les modes d’ordre élevé.Le tableau 7.10 illustre les gains sur les étapes de calculs suivantes : construction de la matrice implicite, reste de la résolution implicite et résolution totale, pour les méthodes SIMPps et SJ+SIMPps et pour différents couples de degrés (p, ps) sur le maillage uniforme du cas test 2 tel que N = 2 888.
Le comportement du gain sur la résolution totale est différent pour les méthodes SIMPps et SJ+SIMPps. En effet, le gain de la méthode SIMPps diminue quand ps tend vers p, tandis que celui de la méthode SJ+SIMPps ne varie que très peu et semble donc indépendant de la valeur de l’entier ps. L’explication se trouve dans l’étude suivante concernant les deux gains principaux sur la construction de la ma-trice implicite et sur le reste de la résolution totale.
Pour le gain sur la construction de la matrice implicite, plus ps augmente plus la méthode SIMPps requiert le calcul de termes supplémentaires dans les blocs extra-diagonaux et il en résulte un gain décroissant avec ps; tandis que la méthode SJ+SIMPps ne requiert aucun calcul supplémentaire.
Pour le gain sur le reste de la résolution implicite, plus ps augmente et moins il y a de modes d’ordre élevé à reconstruire pour les deux méthodes, mais cela ne suffit pas à compenser le coût de plus en plus grand de l’inversion GMRes. En particulier le produit matrice-vecteur Az devient alors pénalisant pour la méthode SIMPps.
Au final, si l’avantage était à la méthode SIMPps pour p ≥ 4 et ps = 0 (cf. tableau 7.7), ce n’est plus le cas pour p ≥ 4 et ps > 0 à cause d’un trop faible
gain sur la construction de la matrice implicite. En outre, la méthode SJ+SIMPps se présente comme plus robuste permettant une réduction significative des coûts en temps CPU.