Historique

L’historique de la méthode GD est maintenant présenté en insistant sur les axes importants au cœur de ce travail. Le lecteur peut consulter [26, partie I] et [62, chapitre 1] pour un historique plus détaillé.

0.3.3.1 Au commencement

La méthode GD a été introduite il y a exactement 40 ans par Reed et Hill (1973) [133] pour la résolution de l’équation stationnaire de transport des neutrons. Une analyse mathématique d’équations linéaires, scalaires et d’ordre un en espace 10

0.3. Méthode de Galerkin Discontinue

a été menée, entre autres, en premier par Lesaint et Raviart (1974) [105], puis par Johnson et Pitkaränta (1986) [85], Richter (1988) [142] et plus récemment par Houston et al. (2000 et 2002) [67, 68].

En particulier en supposant que la solution est suffisamment régulière, Johnson et Pitkaränta ont démontré une convergence en norme L2 en loi de puissance de O(hp+1/2) pour une méthode GD(p) avec p le degré total maximum du polynôme d’approximation de la solution numérique et pour un partitionnement quelconque du maillage. Richter a établi un ordre de convergence optimal de O(hp+1) dans le cas de certains maillages structurés et non cartésiens, en deux dimensions d’espace. Enfin, Houston a prouvé une convergence en loi exponentielle de O(e^{−f (h)p}) pour f une fonction de h, en supposant que la solution est analytique par morceaux. 0.3.3.2 Cas des opérateurs de premier ordre en espace

La méthode GD a d’abord été développée pour les équations aux dérivées par-tielles du premier ordre en espace. La plupart des développements ont été portés par Cockburn, Shu et leurs collègues. Ils sont synthétisés dans la revue très com-plète [28] et font suite à une série de papiers des mêmes auteurs. En particulier, leur travail souligne l’état de l’art de la résolution des systèmes d’équations hyper-boliques de lois de conservation, non linéaires et dépendantes du temps en plusieurs dimensions d’espace. Il fournit des informations importantes sur la discrétisation, le choix des flux numériques, les limiteurs et le traitement des conditions aux limites aux frontières du domaine de calcul.

Dans le cas d’un opérateur hyperbolique, la plupart des flux numériques sont is-sus du développement des méthodes de volumes finis et respectent les propriétés de consistance et de conservativité du schéma. Ils sont solutions exactes ou approchées de problèmes de Riemann locaux, et décentrés puisque pour les problèmes hyperbo-liques les flux centrés sont inconditionnellement instables. Les flux numériques les plus souvent utilisés étant le flux exact de Godunov, ou ceux approchés de Eng-quist–Osher, Harten–Lax–van Leer (ou HLL et HLLC dans sa version modifiée), de Lax-Friedrichs (ou LxF et LLF dans sa version locale), Roe, de Vijayasundaram, etc. Le lecteur peut consulter le livre de Toro [162] pour plus de détails. Dans le cadre de la discrétisation du système des équations d’Euler (de type hyperbolique) avec un schéma GD en espace et explicite en temps, Cockburn et Shu [28] ainsi que Qiu et

al. [131] effectuent une comparaison de plusieurs des flux mentionnés ci-dessus. La

conclusion la plus remarquable est que selon l’expérience numérique, plus le degré

p du polynôme augmente, moins le flux numérique choisi n’a d’importance sur la

précision de la solution numérique.

0.3.3.3 Cas des opérateurs de second ordre en espace

L’extension de la méthode GD aux équations aux dérivées partielles du second ordre en espace a été étudiée séparément par deux communautés : celle des éléments finis discontinus, dès 1971 avec le travail de Nitsche, et celle GD, dès 1997 avec le travail de Bassi et Rebay. La première utilise une technique de pénalisation intérieure pour imposer faiblement aux interfaces les conditions aux limites de la solution et de ses dérivées, tandis que la seconde reconsidère l’opérateur du second ordre en espace

Introduction générale

en un système d’équations du premier ordre (on parle de formulation mixte). Ces deux formulations ont été unifiées, analysées et comparées dans le célèbre article de Arnold et al. [4]. En particulier, cet article s’intéresse aux propriétés de consistance, de conservativité, de stabilité, de précision et à la taille du stencil des différentes formulations.

Dans le cas d’un opérateur elliptique ou parabolique, une approche directe (simi-laire aux termes de convection) des flux physiques visqueux par des flux numériques conduit à un schéma numérique inconsistant : c’est un phénomène dit de « crime variationnel » [28, 183]. Pour palier le problème d’inconsistance, deux techniques principales existent.

- La première est celle de la formulation mixte utilisée par Bassi et Rebay [9] en 1997. Elle introduit une équation supplémentaire pour le calcul des gradients qui prend en compte le saut de la solution aux interfaces. En fonction de la formulation, le schéma est compact ou non. Par ailleurs, le schéma a besoin d’être stabilisé, soit par des termes de pénalité intérieure, soit par des termes de viscosité artificielle avec, dans les deux cas, un paramètre à ajuster. Parmi les principales contributions où le schéma (donc le flux numérique) est à stencil compact, on peut citer : Bassi et Rebay avec leur second schéma dit BR2 [13, 7], Hartmann et Houston avec le schéma SIP [58], Peraire et Persson [124] avec leur schéma CDG. Pour la lecture de la suite de cette introduction, on mentionne également les deux schémas non compacts LDG de Cockburn et Shu [27] et BR1 de Bassi et Rebay [9] (cf. [4] pour une bibliographie plus complète). - La seconde technique est celle de reconstruction ou de recouvrement local de

la solution mise en œuvre par van Leer et Nomura [169, 170] en 2005. Elle consiste à fusionner localement des éléments partageant une interface, puis à calculer les flux sur ce nouvel élément en définissant localement une solution régulière de degré supérieur à celle que l’on aurait sans fusionnement. Cette technique permet alors de lisser les discontinuités aux interfaces et de s’abste-nir localement des sauts de la solution et de son gradient. Bien qu’il ne soit plus question d’introduire un terme de pénalité ou de régler des paramètres, un obstacle reste : la construction d’une base locale pour le fusionnement dont la compacité du schéma est fortement dépendante. Parmi les principales contri-bution, on cite van Leer et Nomura avec la méthode RDG, Luo et al. avec la méthode rDG, Borrel et Ryan avec la méthode EDG, etc. (cf. [16] pour une bibliographie plus complète).

0.3.3.4 Association à une discrétisation temporelle

Depuis les années 2000, l’accent porte sur la recherche de discrétisations tempo-relles efficaces associées à la méthode GD. Parmi celles-ci, les méthodes explicites et implicites sont les plus courantes [43, 175].

D’un côté, les méthodes explicites sont relativement précises, faciles à mettre en œuvre, bien adaptées à la parallélisation, et ne requièrent pas de stockage mémoire conséquent. En revanche, ces méthodes sont conditionnellement stables imposant de fortes restrictions sur le pas de temps. Ce dernier point est particulièrement vrai pour les écoulements à convection dominante étudiés, où la résolution des différentes 12

0.3. Méthode de Galerkin Discontinue

échelles de l’écoulement demande d’utiliser des éléments de maillage de tailles très différentes. En GD, les méthodes explicites de type Runge-Kutta (ou RK) et Eu-ler ont été parmi les premières étudiées, de pair avec des limiteurs de pentes ou des conditions TVD¹¹ pour stabiliser le schéma en présence des non-linéarités de l’écoulement [28] .

D’un autre côté, les méthodes implicites sont inconditionnellement stables et permettent « en théorie » de lever les restrictions sur le pas de temps. Cependant, ces méthodes sont plus lourdes à mettre en œuvre en particulier à cause de la matrice du système linéaire à inverser. Cette dernière est d’autant plus grande que l’on souhaite un schéma précis. En particulier, la possibilité d’inverser ces larges systèmes est un point critique pour rendre efficace l’utilisation des méthodes GD. Ce point est au centre des préoccupations actuelles [28, 39].

En GD, la résolution du système linéaire implicite par une méthode directe n’est pas envisageable pour des applications réelles à cause des trop gros coûts en stockage mémoire et en temps de calcul. Les caractéristiques de la matrice implicite, dont sa structure par blocs, conduisent naturellement au choix de méthodes itératives. Le développement de ces dernières inclut la recherche de compatibilité avec une archi-tecture parallèle, de techniques d’accélération de convergence (par exemple multi-grilles) et de simplifications des calculs du schéma, de schémas d’adaptation etc. A cette fin, plusieurs auteurs ont appliqué une méthode itérative de type Newton-Krylov ou de Runge-Kutta implicite avec succès sur le système des équations d’Eu-ler ou de Navier-Stokes laminaires ou turbulentes (approche RANS) pour les fluides compressibles [132, 12, 7, 57, 40].

De pair avec les méthodes itératives, différents préconditionnements ont été in-troduits, soit ils exploitent la structure de la matrice implicite et/ou ré-ordonnent les degrés de liberté [132, 46, 89, 127, 39, 15, 126], soit ils utilisent une méthode de condensation statique [59, 154]. Par ailleurs, concernant les techniques d’accé-lération de convergence, des méthodes multi-grilles en h ou p ont été envisagées dans [46, 114, 39]. Concernant, les simplifications possibles du schéma, on cite par exemple Yasue et al. [181] qui utilisent un schéma dit localement implicite car seuls les termes de l’élément courant sont implicités (« pointwise relaxation algorithm »), schéma qui est associé à une construction simplifiée de la matrice implicite pour les systèmes des équations de d’Euler et de Navier-Stokes en trois dimensions d’es-pace. Dolejší et al. [40] proposent, quant à eux, une méthode semi-implicite, où les termes linéaires du schéma discret sont traités implicitement et ceux non linéaires sont traités explicitement par extrapolation.

En outre, si la plupart des approches de la méthode GD consistent à discrétiser en espace, puis en temps, par une méthode des lignes, en considérant séparément les variables spatiales et la variable temporelle, une autre approche existe : la mé-thode GD espace-temps. Dans cette dernière, les variables sont couplées en espace et en temps, ce qui permet, entre autres, d’utiliser des maillages en mouvement et déformants. Elle a été introduite en 2002 par van der Vegt et van der Ven [167] et a été appliquée au système des équations de Navier-Stokes compressibles en 2006 par Klaij et al. [89].

Introduction générale

0.3.3.5 Applications à la CFD

La méthode GD connait depuis plusieurs années un fort développement tant pour la résolution des problèmes hyperboliques que pour celle des problèmes elliptiques. Ce développement est bien illustré par la figure 3. En particulier, le premier atelier de travail international organisé à Newport (Etats-unis) en 1999 [26] sur ce sujet, ainsi que celui plus récent à Banff (Canada) en 2007 [29] donnent un large panorama des résultats théoriques, numériques et d’applications obtenus avec cette méthode. Un nombre important de résultats sur le cadre théorique est également disponible avec les récents ouvrages de Hesthaven et Warburton [62], Kanschat [86], Rivière [143] et Di Pietro et Ern [38].

Dans ce travail, on s’est particulièrement intéressé aux applications de la mé-thode GD pour les systèmes des équations d’Euler [10, 109, 174, 128, 8] et de Navier-Stokes [9, 11, 7, 46, 58, 89, 90, 127, 39, 40, 16, 110, 50, 61, 15] (les citations mentionnées sont ici restreintes à celles utilisées dans la suite de ce mémoire).

Fig. 3 – Nombre d’entrées de la base documentaire MathSciNet contenant l’expression anglaise « Discontinuons Galerkin » en fonction des années. Figure extraite de [38, figure 1].