Ecoulement autour d’un cylindre

Le dernier cas test (cas test 5) est l’écoulement externe, instationnaire et sub-sonique d’un fluide visqueux autour et en aval d’un cylindre comme utilisé dans le programme national pour les applications axées sur la recherche en CFD (ou « NPARC »4) [79].

6.4.2.1 Avant-propos

D’une façon générale, ce cas test est très répandu en mécanique des fluides tant pour les études expérimentales (cf. [149, chapitres II et IX]) que numériques (cf. [65, chapitres 2 et 11]). En effet, en science on peut relever deux priorités fondamentales : celle de la reproductibilité, permettant de démontrer l’existence de lois, et celle de l’étalonnage des mesures, permettant les comparaisons des mesures. A ce titre, la configuration simple du cylindre est un avantage certain.

La littérature abondante sur ce corps de référence a permis de mettre en évidence les mécanismes physiques successifs apparaissant dans l’écoulement en fonction du nombre de Reynolds. Par exemple, le lecteur peut consulter l’article de William-son [179] et ses références pour l’examen de ces mécanismes et un historique des résultats expérimentaux jusqu’en 1996. En particulier, on retient que dans le cas considéré ici, soit Re∞ = 150, l’écoulement est bien instationnaire, bidimensionnel et laminaire, la couche limite se décolle en aval du cylindre sous le poids des forces d’inertie, et il s’ensuit deux zones de recirculation qui se détachent alternativement et sont convectées dans le sillage formant ainsi une allée de Bénard-von Kàrmàn. On note que la symétrie de l’écoulement en moyenne temporelle conduit à un coefficient de portance nul en moyenne.

Parmi les études GD récentes sur le cylindre, on cite [107, 20, 110]. Dans ce travail, on utilise à la fois des résultats issus d’expérimentations [146, 163, 179] et de simulations utilisant, soit une méthode particules-grilles [120], soit une méthode des différences finies au troisième ordre [115] pour valider les quatre discrétisations temporelles explicites-implicites.

Finalement, ce cas test est dit d’application car les effets visqueux jouent un rôle prédominant dans la physique de l’écoulement à la paroi et sont à l’origine d’un manque de stabilité lors d’une discrétisation temporelle explicite. En effet, le schéma EXPL est instable pour tous les degrés de polynôme considérés (0 ≤ p ≤ 6) et toutes les valeurs de la condition de CFL non rédhibitoires en temps de calcul (ici, on a choisi CF L ≥ 10⁻²).

6.4.2.2 Description du cas test

Le cylindre est de diamètre L_c = 1, 0 et est centré en (x₁; x₂) = (0; 0)^>. La condition aux limites appliquée est celle de non-glissement (paroi immobile et adia-batique). La frontière externe au domaine est circulaire de diamètre 30L_c et les conditions aux limites appliquées sont celles d’entrée et de sortie subsoniques.

Un seul maillage est utilisé, lequel est décrit dans le tableau 6.8 et des vues, globale et agrandie, sont données sur les figures respectivement, 6.13a et 6.13b.

Chapitre 6 : Validation des discrétisations temporelles explicites-implicites

En outre, on a indiqué l’emplacement du point xSt servant à calculer le nombre de Strouhal (cf. remarque 6.3). Il est composé de triangles d’ordre élevé tels que

m = 2. A l’identique des deux précédents cas tests d’écoulement externe, ce maillage

présente deux zones de raffinement. On note également qu’en amont du cylindre, les rectangles sont coupés en chevrons par rapport à l’axe des abscisses pour respecter au mieux la symétrie de l’écoulement.

Concernant l’initialisation, le vecteur des variables conservatives w⁽⁰⁾(x) est donné pour ρ(0) = 1, u⁽⁰⁾₁ = 1, u⁽⁰⁾₂ = 0 et θ(0) = 1, et il est pris uniforme pour tous les calculs. Le nombre de Reynolds amont est basé sur le diamètre du cylindre et la vitesse amont, il est fixé à Re∞ = 150 et le nombre de Mach amont est M∞ = 0, 2. De plus, on s’intéresse à une simulation pour un temps physique t = 150. Le lecteur peut se référer à [79] pour plus de détails sur l’initialisation de ce cas test. Enfin, les valeurs de la condition de CFL utilisées ont été données au paragraphe 6.2.1. Remarque 6.3. (Nombre de Strouhal) Ce nombre caractérise l’instabilité de

Bénard-von Kàrmàn grâce à la fréquence de détachement des tourbillons f_ref (cf. relation (1.9)). Dans la pratique, cette fréquence correspond à une valeur moyenne temporelle de la période de la pression (par exemple) en un point x_St situé rière le corps solide et éloigné du centre de la ligne de fuite. En effet, si cette der-nière condition n’est pas respectée, alors la valeur de fref est doublée car la ligne de fuite est influencée par les tourbillons inférieurs et supérieurs [146]. Ici, on a pris

x_St = (1, 070; 0, 313)^> comme suggéré dans [79].

(a) Vue globale (b) Vue agrandie

Fig. 6.13 –(Cylindre). Maillage utilisé et point x_St servant à calculer le nombre St.

N Nb. points sur Γ_p RA (m = 2)

7 384 185 630

Tab. 6.8 –(Cylindre). Description du maillage utilisé. Abréviation : Nombre (Nb.).

6.4. Validation sur des cas d’applications

6.4.2.3 Description des résultats numériques

La description des résultats numériques est similaire à celle des précédents cas tests.

Iso-valeurs du nombre de Mach local. La figure 6.14 présente les iso-valeurs de M . Plus précisément, la figure 6.14a reproduit la simulation avec la méthode des différences finies d’ordre trois de référence de Nichols et Heikkinen [115, figure⁵ 13]. Quant à elles, les figures 6.14b à 6.14f illustrent les simulations GD de discrétisations temporelles COMP, SJ, SIMP0 et SJ+SIMP0, réalisées telles que p = 2 et t = 150. Sur ces figures, on observe la très bonne capture de l’allée de Bénard-von Kàrmàn pour chacun des quatre calculs explicites-implicites en comparaison avec la réfé-rence [115, chapitre 13]. Sur la vue agrandie figure 6.14f, on note également une su-perposition forte des iso-valeurs pour les discrétisations COMP et SJ d’une part, et les discrétisations SIMP0 et SJ+SIMP0 d’autre part, laissant supposer peu d’écarts de précision entre elles. On remarque que ce dernier point vient appuyer les résultats de précision sur l’erreur en pourcentage observés avec les deux cas tests 3 et 4. Valeurs du coefficient de traînée et du nombre de Strouhal. L’étude des valeurs du coefficient aérodynamique C_D et du nombre de Strouhal est organisée en deux temps à l’image des précédents cas tests sur les profils d’aile.

Comparaison : résultats COMP et références. Elle est reportée au ta-bleau 6.9, lequel indique les valeurs de C_D et St d’études expérimentales [146, 163, 179] et de simulations numériques [120, 115] extraites de la littérature et des simu-lations COMP pour 1 ≤ p ≤ 3.

D’une façon générale, l’ensemble des valeurs obtenues avec les calculs COMP est en accord avec celles de référence, et plus particulièrement dès p = 2.

Remarque 6.4. Concernant les expérimentations de référence, on se restreint aux

auteurs les plus mentionnés [146], Tritton [163] et Williamson [179]. On précise que l’on a reproduit en annexe E, les copies des courbes où ont été lues les différentes valeurs reportées dans le tableau 6.9. Concernant les calculs COMP, la valeur indi-quée des deux grandeurs correspond à une moyenne temporelle sur les 20 dernières périodes avant t = 150.

Comparaison : résultats SJ, SIMP0, SJ+SIMP0 et COMP. Elle est reportée au tableau 6.10 donnant l’erreur en pourcentage (6.2) faite sur les grandeurs

C_D et St entre chaque discrétisation explicite-implicite simplifiée et son équivalent explicite-implicite COMP, et ce faute de pouvoir obtenir une discrétisation EXPL équivalente comme indiquée dans l’introduction de ce cas test (cf. § 6.4.2.1). Ici, on s’intéresse à un seul calcul où p = 2 et t = 150.

On observe que pour chacune des grandeurs, les valeurs du tableau indiquent une erreur très petite et similaire pour toutes les discrétisations, soit environ 10⁻²% pour C_D et 10⁻³% pour St.

Chapitre 6 : Validation des discrétisations temporelles explicites-implicites

(a) Référence (b) COMP

(c) SJ (d) SIMP0

(e) SJ+SIMP0 (f) Vue agrandie

Fig. 6.14 – (Cylindre). Iso-valeurs du nombre de Mach local. Comparaison entre la

si-mulation de référence à un instant t non précisé [115, figure 13] (a) et les sisi-mulations explicites-implicites telles que p = 2 à t = 150 (b), (c), (d) et (e). La figure (f) montre une vue agrandie.

6.4. Validation sur des cas d’applications

Expérience ou Simulation Détail C_D St

Roshko [146] − 0, 182

Tritton [163] ≈ 1, 3 −

Williamson [179] − ≈ 0, 184

Ould Salihi et al. [120] PG − 0, 183

Nichols et Heikkinen [115] DF, Ordre 3 1, 34 [0, 179; 0, 182]

N = 7 384 p = 1 GD, COMP 1, 308 0, 171

7 384 2 GD, COMP 1, 351 0, 184

7 384 3 GD, COMP 1, 349 0, 184

Tab. 6.9 – (Cylindre). Valeur du coefficient de traînée et du nombre de Strouhal.

Com-paraison entre les expériences ou simulations de référence (haut) et la simulation COMP pour 1 ≤ p ≤ 3 (bas). Les valeurs données pour les expériences ont été lues graphiquement (cf. annexe E). Abréviations : particules-grilles (PG), différences finies (DF), Galerkin discontinue (GD).

SJ SIMP0 SJ+SIMP0

Erreur C_D (%) 0, 01 0, 01 0, 02 Erreur St (%) ≈ 10⁻³ ≈ 10⁻³ ≈ 10⁻³

Tab. 6.10 – (Cylindre). Erreur en pourcentage sur le coefficient de traînée et le nombre

Chapitre 6 : Validation des discrétisations temporelles explicites-implicites

Fig. 6.15 –Schéma récapitulant l’étape 2 de validation du code de calcul développé.

6.5. Conclusion partielle

6.5 Conclusion partielle

La figure 6.15 et les points suivants constituent le bilan de ce chapitre.

- La validation des quatre discrétisations temporelles explicites-implicites (COMP, SJ, SIMP0 et SJ+SIMP0) associées à la discrétisation spatiale GD a été établie au moyen des validations :

- de la bonne capture des phénomènes physiques en comparaison à des ré-férences (cas tests 2, 3, 4 et 5), dont la création des petites structures tourbillonnaires à la paroi (cas test 2) ou l’apparition de la bulle de dé-collement et des instabilités de sillage (cas tests 3, 4 et 5) ;

- des ordres de convergence en loi de puissance p + 1 pour un degré p de polynôme (cas test 2), autrement dit la précision spatiale n’est altérée par aucune des discrétisations temporelles explicites-implicites ;

- de l’exactitude des valeurs des coefficients aérodynamiques (cas tests 3, 4 et 5) ou du nombre de Strouhal (cas test 5) ;

- sur un grand nombre de cas tests représentatifs des écoulements insta-tionnaires à convection dominante, dont des cas d’applications réalistes où la couche limite est fortement décollée (cas tests 4 et 5).

- Certains points clés des méthodes explicites-implicites ont été mis en avant. A savoir :

- l’évolution des valeurs de la condition de CFL suit la loi imposée par les termes de convection en 1/(2p + 1) démontrant que la restriction de stabilité imposée par les termes de diffusion est bien levée par la stratégie explicite-implicite par rapport à celle explicite ;

- la robustesse de l’ensemble des méthodes explicites-implicites simplifiées qui préservent les propriétés de stabilité de la méthode complète ;

- la nécessité d’utiliser une intégration temporelle implicite sur les termes de diffusion pour les écoulements où les effets visqueux sont prédominants aux parois (cas test 5).

A présent, il s’agit de mettre en œuvre la dernière étape de validation du code de calcul. C’est l’objet du prochain chapitre.

Chapitre 7

Evaluation des performances des

discrétisations temporelles

Ce chapitre se concentre sur l’étape 3 d’évaluation des performances des méthodes explicites-implicites en temps, COMP, SJ, SIMP0 et SJ+SIMP0, précédemment validées au chapitre 6.

Les gains en temps CPU sur les étapes de calculs intermédiaires et sur la résolution globale sont alors étudiés pour les trois méthodes en temps simplifiées SJ, SIMP0 et SJ+SIMP0 en comparaison avec la méthode com-plète COMP. Cette étude porte sur une analyse paramétrique en fonction du degré du polynôme p, du nombre d’éléments N , du rapport d’aspect des maillages RA et de l’entier de couplage ps entre les modes lors de l’étape de reconstruction. L’étude concerne les cas tests 2, 3, 4 et 5.

Ce chapitre est organisé comme suit. Le paragraphe 7.1 détaille certains pré-requis sur la notion de mesure d’un temps d’exécution servant à l’évaluation des performances. Puis les deux paragraphes 7.2 et 7.3 donnent les premières tendances du comportement des quatre méthodes : COMP, SJ, SIMP0 et SJ+SIMP0, en fonc-tion du temps CPU sur les étapes de calculs intermédiaires et sur la résolufonc-tion globale. Enfin les deux paragraphes suivants 7.4 et 7.5 sont associés aux évaluations des gains en temps CPU respectivement sur les étapes de calculs intermédiaires et sur la résolution globale en fonction de p, N , RA et p_s pour les trois méthodes explicites-implicites simplifiées : SJ, SIMP0 et SJ+SIMP0.

7.1 Prérequis pour l’évaluation des performances

Ce paragraphe revient tout d’abord sur la notion de mesure d’un temps d’exécu-tion comme le temps CPU (§ 7.1.1), puis il donne les caractéristiques du calculateur utilisé pour réaliser les mesures (§ 7.1.2), et enfin il définit la quantité Gain servant à estimer les performances des discrétisations explicites-implicites simplifiées (§ 7.1.3).

Chapitre 7 : Evaluation des performances des discrétisations temporelles