2.3) Schéma d’interpolation de Deslauriers et Dubuc

La fonction interpolanteθs’écrit :

∀x∈_R, θ(x) =

Z

R

φ(y)φ(y−x)dy.

En effectuant le changement de variable Y=y+x, on obtient queθ(−x) =θ(x)pour tout x réel : la fonctionθest paire. En terme de symboles, on peut écrire ˆθen fonction du symbole ˆh associé au filtre h deφ, dont les coefficients sont compris entre 1 et s :

ˆ θ(ω) =ˆh(ω)ˆh(ω) =¹ 2 s

∑

l=1 h_leⁱωl

∑

^s k=1 h_keⁱωk=¹ 2 s

∑

l,k0=1 h_lh_l−k0 eⁱωk⁰=√¹ 2 s

∑

k0=1 t_k0 eⁱωk⁰.

On obtient alors t_kcomme la convolution discrète du filtre h_k: t_k=√¹

2∑s

l=1h_lh_l−k. Les indices k tels que t_kest non nul sont compris entre 1−s et s−1, la taille de ce filtre est donc égale à 2 s−1.

Nous allons voir dans le paragraphe suivant que l’on peut relier la fonction d’interpolation

issue de cette autocorrélation à un schéma d’interpolation : le schéma itératif d’interpolation

lagrangienne, initialement introduit par Dubuc [62], puis par Deslauriers et Dubuc [59].

III.2.3) Schéma d’interpolation de Deslauriers et Dubuc

On considère un maillageω

j

={2

^−j

k, k∈_Z}, sur lequel on connaît les valeurs aux points

c

_j,k

= f(x

_j,k

), x

_j,k

=2

^−j

k d’une fonction f . Pour interpoler f sur le maillage plus fin ω

j+1

,

on utilise une formule similaire à une étape de recomposition en base de fonctions d’échelle

donnée par la formule (III.14). On n’utilise pas de coefficients en ondelettes d

_j,k

dans le schéma

d’interpolation, mais uniquement les valeurs aux points c

_j,k

. Les coefficients d’indice pair du

maillage fin c

_j+1,2k

seront exactement les valeurs aux points du maillage grossier c

_j,k

, et l’on

effectue une moyenne pondérée des c

_j,k

pour calculer les c

_j+1,2k+1

. On définit alors le filtre t

^I

tel que :

c

_j+1,2k

= ∑

n

t

_2k^I _−2n

c

j,n

=c

_j,k

,

c

_j+1,2k+1

= ∑

n

t

_2k^I _+1−2n

c

_j,n

.

Les poids t

_k^I

vérifient la condition d’interpolation t

_2k^I

=δ

0,k

, et l’on impose de plus que ce

schéma permette de construire exactement les polynômes jusqu’au degré 2m−1. On associe

alors les t

_k^I

à une fonction d’échelle interpolante d’ordre 2m, qui vérifie deux relations à deux

échelles :

θ(x) =∑

k

θ(k/2)θ(2x−k) =∑

k

t

_k^I

θ(2x−k) =√

2 ∑

k

t

_k

θ(2x−k).

On obtient donc pour tout k, t

_k

= √¹

2 ^t

I

k

. Les valeurs de θ aux points demi-entiers sont

déterminés en utilisant les polynômes de Lagrange :

t

_2k^I ₊₁

=θ(k+1/2) =







m+k

∏

l=−m+k+1 l6=0

x−l

−l







x=k+1/2

, k=−m+1, . . . ,m−1.

Ces polynômes sont nuls aux points entiers, et chaque produit est centré sur un demi-entier,

et avec un nombre de facteurs égal à 2m−1. On peut vérifier, par de simples changements

d’indices, que le filtre est symétrique, et on obtient la valeur des coefficients :

t

_2k^I ₊₁

=t

₋^I_2k−1

=

m−1

∏

l=−m l6=k

2l+1

2l−2k^{, k=0,m}−1.

Par exemple dans le cas d’une interpolation d’ordre 4, nous avons le filtre t

^I

suivant :

− ¹

16 ^{, 0,}

9

16 ^{, 1,}

9

16 ^{, 0,} − ¹

16

.

Nous avons donc un schéma permettant de passer d’un maillage ω

j

àω

j+1

, en reconstituant

F

IG

. III.5 – à gauche : fonctions d’échelle interpolante - ordre 4,6,8,10 -. L’amplitude des

oscillations augmente avec l’ordre, ce qui correspond dans le domaine de Fourier à une

meilleure localisation (à droite).

III.2. DES ONDELETTES ORTHOGONALES AUX ONDELETTES INTERPOLANTES

La figureIII.5montre des fonctions d’échelleθde différents ordres, ainsi que leurs

trans-formées de Fourier. On observe en particulier que pour des ordres de plus en plus grands, un

plateau se forme autour de la fréquence nulle : cela est associé au fait que la fonction d’échelle

interpolante possède 2m−1 moments nuls, comme les coiflets.

Remarque III.2.9 La fonction d’échelle θ d’ordre 2m générée par ce schéma est

l’autocor-rélation d’une fonction d’échelle de Daubechies d’ordre m. On peut également établir la

correspondance entre d’autres schémas d’interpolation, et d’autres convolutions de fonctions

d’échelle à support compact [27,130,25,53].

Remarque III.2.10 Pour un ordre donné m, Daubechies a créé une infinité de familles

d’on-delettes. Nous utilisons les deux familles ayant un support minimal (section III.2) : celle de

Daubechies, et celle des Symmlets [53]. L’autocorrélation de deux fonctions d’échelle de

Dau-bechies d’ordre m est égale à l’autocorrélation de deux Symmlets d’ordre m, et le filtre associé

àθ, t, est rationnel, à la constante

√¹

2

près [23].

Construction des ondelettes associées

Il reste, à partir de la fonction interpolante θ d’ordre 2m et du filtre associé t, à construire

l’ondelette, ou une fonction d’échelle biorthogonale. La construction d’ondelettes peut se faire

dans le cadre d’une AMR semi-orthogonale (remarque III.2.12ci-dessous), ou à partir d’une

fonction d’échelle duale particulière, comme la distribution de Dirac,δ.

En fait, la fonction de Diracδengendre une AMR dégénérée, et la relation à deux échelles

δ(x) =√

2δ(2x)est définie au sens des distributions. Cette AMR est biorthogonale à l’AMR

interpolante, la relation de biorthogonalité entre fonctions (III.3) étant vérifiée au sens des

distributions. Pour l’instant, nous gardons le formalisme d’une AMR interpolante normalisée,

c’est-à-dire en considérantθ

j,k

et non pasθ

]

j,k

. La fonction d’échelle duale est alors définie par

˜

θ

j,k

=√

2

^j

δ(2

^j

.−k).

Remarque III.2.11 Dans l’AMR non normalisée correspondante,eθ

]

j,k

=2

^j

eθ(2

^j

.−k), et les

coefficients d’échelle s’écrivent< f |θ^˜

j,k

>= f(2

^−j

k), ∀k∈_Z. Nous donnons les deux

nota-tions, car dans le chapitreVet en annexeAsont présentés des opérateurs de changements de

base : nous considérons deux AMR de type t

₁

et t

₂

, et voulons projeter une fonction f tantôt

l’espace des fonctions d’échelle de type t

₁

, tantôt dans celui de t

₂

. Afin de ne pas perdre en

généralité, les AMR t

1

et t

2

ont des fonctions de base normalisées en norme L

²

.

En utilisant la relation entre les filtres dans une AMR biorthogonale (III.6), on obtient les

filtres z

⁰

et ˜z

⁰

associées aux ondelettes primale et duale :

z

⁰_k

= √¹

2 ⁽−1)

^k+1

δ

₀,−(k−1)

= √¹

2 ⁽−1)

^k+1

δ

1,k

,

˜z

⁰_k

= (−1)

^k+1

t

_−(k−1)

= (−1)

^k+1

t

_k−1

.

En particulier, l’ondelette primaleζ

0

a pour expression :

ζ

0

(x) =√

2∑

k

et d’après la propositionIII.2.6, commeθest d’ordre 2m, alors ˜ζ

0

a 2m moments nuls, et c’est

une somme de Dirac pondérée par les coefficients du filtre t.

L’AMR duale n’est pas dans L

²

(_R), et ˜θ ne vérifie aucun critère C

^s

, s>0. De plus,

l’onde-lette primale ne possède pas de moments nuls ; le théorèmeIII.2.3n’est donc pas applicable,

pas plus que toutes les estimations de la partie III.1.4). Nous allons voir dans la partie

sui-vante comment garder les propriétés intéressantes de cette famille, et améliorer les propriétés

concernant ˜θetζ

0

.

Remarque III.2.12 Si l’on construit l’ondeletteζ

0

de la même manière que la fonction

d’éch-elle θ

]

, c’est-à-dire comme la convolution des ondelettes de Daubechies associées, alors on

obtient une ondelette interpolante, et le couple(θ

]

, ζ

0

)constitue un système semi-orthogonal

[1,2,4] :θ

]

etζ

0

sont des fonctions orthogonales entre elles, mais elles n’engendrent pas des

bases orthogonales.

Dans le document Les ondelettes comme fonctions de base dans le calcul de structures électroniques (Page 70-73)