2.2) Construction de familles d’ondelettes interpolantes

Un des points délicats dans l’expression de l’hamiltonien est le calcul du terme V

xc

, qui se

fait à partir des valeurs aux points de la densité. Face à ce problème d’interpolation, une

solu-tion envisageable est d’utiliser des foncsolu-tions d’échelle interpolantes de Deslauriers et Dubuc.

Les références sur les familles interpolantes sont diverses : Beylkin et Saïto [27,130, 23]

étudient les convolutions de fonctions d’échelle orthogonales et leur application aux opérateurs

différentiels ; Bertoluzza et Naldi [20,19, 22] les exploitent dans des schémas de collocation

pour résoudre différentes équations.

Après avoir défini le problème d’interpolation, et l’approximation recherchée, nous

présen-tons la construction d’une AMR interpolante à partir d’une AMR quelconque, puis un schéma

de lifting, introduit par Sweldens, qui permet d’obtenir une AMR duale dans L

²

(_R).

Définition III.2.1 Une fonction d’échelleθ∈L

²

(_R)T

C

⁰

est interpolante si elle vérifie :

θ(k) =δ

0,k

, ∀k∈_Z. (III.23)

Proposition III.2.2 Si θest continue, à support compact et dans L

¹

(_R), alors on a

l’équiva-lence :

θest interpolante⇔ ∑

n∈_Z

ˆ

θ(ω+2nπ) =1, ∀ω∈_R.

Nous allons voir ici deux manières de construire une fonction d’échelle interpolante, à

par-tir d’une AMR{V

_j

}de L

²

(_R)engendrée parφ.

Construction 1

Supposons que l’on ait une séquence de réels{y

_k

}

_k

de l

²

(_Z), et que l’on dispose d’une AMR

{V

_j

}de L

²

(_R)telle que la fonction d’échelleφvérifie, pour a,b>0

0< a <

∑

n∈_Z

ˆ

φ(ω+2nπ)

< b<+∞.

Alors il existe une et une seule fonction θ vérifiant (III.23) qui soit dans V

₀

. Cette fonction

s’écrit dans le domaine de Fourier :

ˆ

θ(ω) = ^φ(ω)ˆ

∑

n∈_Z

φ(ωˆ +2nπ)^.

Cette formulation du problème d’interpolation cardinale se trouve dans l’article de Bertoluzza

et Naldi [20]. Dans le domaine réel, l’égalité précédente s’écrit :

∀l ∈_Z, ∑

k∈Z

III.2. DES ONDELETTES ORTHOGONALES AUX ONDELETTES INTERPOLANTES

Soient C la matrice de collocation définie par :

∀l, k∈_Z,C

_l,k

=φ(k−l),

et les deux vecteurs infinisΘ={θ(x−k), k∈_Z}etΦ={φ(x−k), k∈_Z}, alors on calcule

pour tout x∈_Rle vecteurΘselon la formule

Θ=C

⁻¹

Φ. (III.24)

Les éléments deΘforment une base de Riesz de V

₀

. On trouve ainsi une fonction F∈V

₀

telle

que F(x) = ∑

k∈_Z

y

_k

θ(x−k)interpole les points{y

_k

}

_k

. De plus, siφest à support compact, alors

un simple calcul sur les coefficients de Fourier de la fonction∑

n∈Z

φˆ(ω+2nπ)montre queθ

est à décroissance rapide.

Le théorème suivant caractérise l’approximation d’une fonction de H

^L

dans une base

inter-polante [21] :

Théorème III.2.3 Soit une AMR{V

^t2

j

}d’ordre m engendrée par une fonction d’échelle

inter-polanteθde régularité C

^r

, r6m. On introduit l’opérateur d’interpolation I

^]_j

: H

¹

(_R)→V

^t2

j

par :

I

^]_j

(f) = ∑

k∈Z

f(2

^−j

k)θ(2

^j

x−k).

Alors pour toute fonction f de H

^L

(_R), tel que 16L6m+1, on a :

∀06s6r, ||f−I

^]_j

f||

_Hs

6C2

^−j(L−s)

||f||

_HL

.

On projette une fonction régulière dans un espace V

^t2

j

qui l’est moins ; l’ondelette associée ne

voit pas les polynômes de degré plus élevé que la régularité deθ, ce qui permet d’estimer la

norme Sobolev de l’erreur d’approximation de f par I

^]_j

f : elle dépend logarithmiquement de

la différence entre la régularité de f et celle de l’AMR.

Par la suite, la fonction interpolante à la résolution j sera notéeθ

]

j,k

=θ(2

^j

.−k). Cette fonction

n’est plus normalisée à 1 dans L

²

(_R).

Remarque III.2.4 Une fonction f ∈V

^t2

j

s’exprime directement à l’aide de ses valeurs aux

points, en définissantθ

] j,k

=θ(2

^j

.−k):

f =∑

k

2

^−j/2

f(x

_k

)θ

j,k

=∑

k

f(x

_k

)θ(2

^j

.−k) =∑

k

f(x

_k

)θ

] j,k

.

C’est dans la base θ

]

j

qu’est recherchée la solution d’une équation aux dérivées partielles

dans une méthode de collocation. Nous donnons un exemple de cette méthode dans le prochain

chapitre, pour résoudre l’équation de Poisson.

Construction 2

On peut construire une fonction d’échelle interpolante à support compact à partir de deux

fonc-tions d’échelle biorthogonales de L

²

(_R)à supports compacts en effectuant leur corrélation :

Définition III.2.5 (Fonction de corrélation) Soient deux AMR biorthogonales de L

²

(_R),

en-gendrées par φ et eφ, et telles que les supports de ces deux fonctions soient compacts. La

corrélation de ces deux fonctions est définie par :

∀x∈_R, θ(x) =

Z

R

φ(y)eφ(y−x)dy.

Par le théorème de Fubini,θest dans L

¹

, et elle vérifie la condition d’interpolation (III.23) :

∀k∈_Z, θ(k) =

Z

R

φ(y)eφ(y−k)dy=<φ,eφ

k

>=δ

0,k

.

Si les deux AMR sont d’ordres m et ˜m, alorsθpermet également de reconstruire localement

des polynômes, dont le degré maximal sera donné par m+m :˜

Proposition III.2.6 Si φ eteφsont dans L

²

(_R), à support compact, et engendrent deux AMR

d’ordres m et ˜m, alorsθvérifie la condition de Strang-Fix d’ordre m+m.˜

Les fonctionsφet ˜φsont d’ordre m, leurs symboles ˆh et ˆ˜h s’écrivent sous la forme :

ˆh(ω) = 1+e⁻iω 2 m p(ω), ˆ˜h(ω) = 1+e⁻ⁱω 2 m˜ q(ω). Or, ˆθ=φ^ˆφˆ˜, donc le symbole ˆt s’écrit :

ˆt(ω) =

1+e⁻iω

2

m+m˜

eⁱωm˜p(ω)q(ω).

Mettre le symbole ˆt sous cette forme est équivalent au fait queθvérifie la condition de Strang-Fix d’ordre m+m (˜ III.18) : on peut donc reconstruire localement des polynômes jusqu’à l’ordre

m+m˜−1.

De plus, siφ(resp.eφ) est de régularité C

^p

(resp. C

^p˜

), alors leur corrélation est de régularité

C

^p+p˜

. Cette propriété permet de générer des fonctions d’échelle avec une régularité choisie

à partir d’une fonction d’échelle peu régulière que l’on convole n fois. Les fonctions splines

sont construites selon ce principe, comme convolutions de la fonction indicatrice (voir exemple

III.2.7).

Exemple III.2.7 (Ondelettes biorthogonales splines) La B-splineφ

N

est définie comme une

corrélation de N fonctions caractéristiques :

φ

0

= χ

_[0,1]

,

φ

N

= φ

0

∗φ

N−1

= (∗)

^N+1

χ[

0,1]

.

On peut déduire une base de fonctions d’échelle orthogonale d’ordre N à partir de cette

fonc-tion, mais qui n’est plus à support compact pour N >1. Cohen et al [45] ont alors construit

dans un formalisme biorthogonal des fonctions duales, vérifiant une relation à deux échelles,

et à support compact.

III.2. DES ONDELETTES ORTHOGONALES AUX ONDELETTES INTERPOLANTES

Proposition III.2.8 Si l’on génèreθcomme autocorrélation deφ∈L

²

(_R)à support compact

de longueur s, et d’ordre m, alorsθest paire, à support compact, et d’ordre 2m. Soit t le filtre

associé à la fonction d’échelleθ. Son support est de 2s−1, et il s’écrit comme

l’autocorréla-tion du filtre h associé àφ:

t

_k

= √¹

2∑

l

h

_l

h

_l−k

.

La condition d’interpolation (III.23) donne de plus θ(k) =√

2∑

l∈Z

t

_l

θ(2k−l) =√

2 t

_2k

=δ

0,k

.

La fonction interpolanteθs’écrit :

∀x∈_R, θ(x) =

Z

R

φ(y)φ(y−x)dy.

En effectuant le changement de variable Y=y+x, on obtient queθ(−x) =θ(x)pour tout x réel : la fonctionθest paire. En terme de symboles, on peut écrire ˆθen fonction du symbole ˆh associé au filtre h deφ, dont les coefficients sont compris entre 1 et s :

ˆ θ(ω) =ˆh(ω)ˆh(ω) =¹ 2 s

∑

l=1 h_leⁱωl

∑

^s k=1 h_keⁱωk=¹ 2 s

∑

l,k0=1 h_lh_l−k0 eⁱωk⁰=√¹ 2 s

∑

k0=1 t_k0 eⁱωk⁰.

On obtient alors t_kcomme la convolution discrète du filtre h_k: t_k=√¹

2∑s

l=1h_lh_l−k. Les indices k tels que t_kest non nul sont compris entre 1−s et s−1, la taille de ce filtre est donc égale à 2 s−1.

Nous allons voir dans le paragraphe suivant que l’on peut relier la fonction d’interpolation

issue de cette autocorrélation à un schéma d’interpolation : le schéma itératif d’interpolation

lagrangienne, initialement introduit par Dubuc [62], puis par Deslauriers et Dubuc [59].

Dans le document Les ondelettes comme fonctions de base dans le calcul de structures électroniques (Page 67-70)