La robustesse du spectre aux perturbations est essentielle pour (au moins) deux raisons1. La première est due à des contraintes pratiques liées à la réalisation d’une mémoire quantique. Cette mémoire sera décrite en pratique par un hamiltonien qui n’aura sans doute pas exactement la forme du hamiltonien théorique. Donc, si les propriétés désirées ne sont vraies que pour le hamiltonien théorique, il sera très difficile, voire impossible de mettre au point cette mémoire. Autrement dit, la robustesse aux perturbations quantifie l’écart qui peut être toléré entre le hamiltonien théorique et sa réalisation expérimentale. La seconde est due aux perturbations cohérentes de l’environnement.
En effet, on cherche à avoir une mémoire qui préserve l’information même en interaction avec un environnement. Par exemple, il n’est pas exclu qu’un champ magnétique vienne perturber ce hamiltonien. Il faut donc que ses propriétés soient robustes à cette perturbation.
Intuitivement, la nature topologique des degrés de liberté d’un code topologique entraîne que le spectre soit stable. Nous explorerons en détail le cas du code torique, où le gap ne se ferme pas et où la levée de dégénérescence n’est qu’exponentiellement petite. Cela constituera donc notre définition de la stabilité spectrale. Nous nous interrogerons alors sur les mécanismes d’instabilité et les propriétés à éviter dans un hamiltonien. Cela nous amènera à montrer que la condition d’ordre topologique ne suffit pas à garantir la stabilité spectrale. Nous verrons toutefois qu’une condition additionnelle, dite de cohérence locale, permet de prouver la stabilité spectrale.
Ce résultat essentiel [105] sera rappelé.
6.3.1 Robustesse spectrale du code torique
Avant de présenter un résultat général, intéressons-nous à la robustesse du code torique. Le comportement du code torique nous servira de guide pour définir la stabilité spectrale d’un code CPC topologique. Considérons donc le spectre de H +V où V = P
XvX est une somme de termes locaux dont la norme d’opérateur est bornée, i.e. kvxk ≤ J. Nous allons d’abord nous intéresser à la variation des niveaux d’énergie fondamentaux puis à celle du gap.
1. La distinction entre ces deux raisons est artificielle. Elle revient à déplacer la frontière entre la mémoire et son environnement.
Levée exponentiellement petite de la dégénérescence Intéressons-nous à la levée de la dégénérescence δ entre deux états fondamentaux orthogonaux |Ωi et |Ω⊥i. À l’ordre m en théorie des perturbations, celle-ci sera proportionnelle à l’élément de matrice hΩ|Vm|Ω⊥i ou à la différence hΩ|Vm|Ωi − hΩ⊥|Vm|Ω⊥i. Ces deux termes ne sont non-nuls que si Vm fait apparaître des boucles non-triviales d’opérateurs, de la forme N
X⊂BvX où B est une boucle non-triviale.
Or, V est local donc Vm ne fera apparaître de telles boucles que si m = αL où L est la plus petite dimension du tore. La levée de dégénérescence sera donc de la forme δ ∼ JαL qui est exponentiellement petite en L.
Robustesse du gap Notons tout d’abord que même si J 1, la perturbation V contient assez d’énergie pour fermer le gap. En effet, la norme d’opérateur de la perturbation est
kVk ≤X
i
kVik=|Λ| kVik (6.6)
et il s’agit donc d’une grandeur extensive. Par exemple, dans le cas du modèle d’Ising, un champ magnétiquehP
iσzi a une norme d’opérateur h×n qui est comparable au gap dès que h∼1/n, ce qui correspond à un champ très faible. Ainsi, on ne peut pas exclure a priori qu’une perturbation locale ferme le gap car l’énergie amenée par la perturbation est extensive. Toutefois, nous allons donner l’intuition que pour le code torique, seuls des termes locaux peuvent intervenir.
Intéressons-nous à la variation des niveaux d’énergie des états excités. Il est commode de penser à ceux-ci comme étant obtenus à partir du vide à partir de chaîne d’erreur X ou Z.
Supposons qu’on s’intéresse à des premiers états excités obtenus à partir de chaîne d’erreurs X.
La variation de leur niveau d’énergie sera alors de la forme he1|Vm|e2i où |e1i = XC1|Ω(1)i et
|e2i =XC2|Ω(2)i. Même à l’ordre 1, cette contribution peut être non-nulle si C1∪supp(V)∪ C2
forment une boucle non-triviale. Toutefois, seuls quelques termes locaux de V vont contribuer.
Ainsi, ces termes seront bornés par la norme d’opérateur des termes locaux J qu’il suffit de choisir plus petite que le gap afin qu’il ne se ferme pas.
6.3.2 Définition de la stabilité spectrale
Par analogie avec le code torique, on dira qu’un hamiltonien gappéH a un spectre stable si pour toute perturbation locale V dont la norme d’opérateur est assez petite
1. le gap ∆de H+V est une constante, indépendante de la taille du système
2. la levée de dégénérescence δ est exponentiellement petite dans la taille du système.
6.3.2.1 Mécanismes d’instabilité
Afin de mieux cerner les propriétés qui rendent un hamiltonien instable spectralement, nous allons nous présenter deux exemples simples : l’un où la dégénérescence des états fondamentaux est levée, l’autre où le gap est fermé par une perturbation.
Levée de dégénérescence L’exemple-type de la levée de dégénérescence est le modèle d’Ising en présence d’un champ magnétique externe.
H =−X
hi,ji
σiz⊗σjz V =−hX
i
σiz (6.7)
Alors que le hamiltonien non-perturbé présente un fondamental dégénéré généré par |↑i⊗n et | ↓i⊗n, l’état fondamental de H +V est | ↑i⊗n et son premier état excité est | ↓i⊗n d’énergie E0+hn. Ainsi, il suffit d’un champ d’une intensité h∼1/n pour lever la dégénérescence. Notons que ce champ vient se coupler avec le paramètre d’ordreσiz. A priori, ce mécanisme d’instabilité est donc éliminé pour des hamiltoniens topologiques.
Fermeture du gap La fermeture du gap est plus subtile. Elle contient les ingrédients qui permettront de montrer que l’ordre topologique seul ne suffit pas à garantir la stabilité spectrale.
Considérons le modèle d’Ising avec un défaut magnétique sur le sitei∗ donné par l’éq. (6.8) H =−X
hi,ji
σiz⊗σjz−σiz∗ V =hX
i
σiz (6.8)
Le hamiltonien non perturbé H possède un unique état fondamental|↑i⊗n alors que |↓i⊗n est un état excité d’énergie E0+ 1. Or, ce gap en faveur de|↑i⊗n peut être fermé par un faible champ magnétique externe qui favorise |↓i⊗n. Ainsi, le gap du hamiltonien perturbé H+V se ferme pour h∼1/n.
Ce mécanisme d’instabilité n’est pas tant du à un paramètre d’ordre local, qu’à la présence d’une région particulière, le sitei∗. L’interaction d’Ising entre premier voisin, bien que locale, va étendre l’influence du défaut à tous les sites. Nous allons voir que ce mécanisme d’instabilité n’est pas éliminé par l’ordre topologique.
6.3.3 TQO ne garantit pas la stabilité du spectre
6.3.3.1 Insuffisance de la condition TQO
En s’inspirant du résultat pour le code torique, on pourrait penser que la condition TQO suffit pour garantir la stabilité du spectre. Or, ce n’est pas le cas, comme le montre le contre-exemple suivant, tiré de [105].
Considérons le hamiltonien suivant, qui donne une interaction de type Ising entre les opérateurs plaquette du code torique avec une plaquette-défaut p∗
HIC =−X
hp,p0i
Bp⊗Bp0−Bp∗−X
s
As (6.9)
L’espace fondamental de HIC est celui des états pour lesquels ∀p Bp = +1 et ∀s As = +1. Il s’agit donc exactement du fondamental du code torique, qui respecte la condition TQO. On en déduit que HIC respecte aussi la condition TQO. Par contre, il est possible de fermer le gap de ce hamiltonien, à l’aide d’un « champ magnétique de plaquette »
V = 1
|Λ| X
p
Bp (6.10)
Le hamiltonien HIC +V contient maintenant le secteur As = +1, Bp = −1 qui étaient les premiers états excités de HIC.
6.3.3.2 Condition additionnelle : cohérence locale
Ainsi, il faut ajouter une deuxième condition afin d’obtenir la robustesse spectrale. Il s’agit de la condition de cohérence locale. Elle demande que le projecteur global sur le codePC =Q
X PX soit une extension de tous les projecteurs élémentaires locaux. Formellement, pour toute région A
Fi g u r e 6.2 Support du projecteurPA qui regroupe tous les projecteurs dont le support intersecte la régionA (en rouge).
topologiquement triviale, on définit une version locale du projecteur sur le code par PA= Y
X∩A6=∅
PX (6.11)
tel que représenté sur la Fig. 6.2. On veut comparer PA au projecteur global PC. Pour ce faire, on pense à PC =P
i|Ω(i)ihΩ(i)| comme étant un étant quantique, plus précisément le mélange statistique équiprobable de tous les états du code, et on considère sa matrice densité réduite (non-normalisée) sur la région A
ρA=TrA¯[P] (6.12)
On définit de même une matrice densité réduite de la version locale du projecteur sur le code
ρlocA =TrA¯[PA]. (6.13)
Par construction, on sait que
kerρlocA ⊂kerρA (6.14)
(où ker désigne le noyau) puisquePC contient plus de contraintes que PA. On dira que ces deux états sont compatibles s’ils ont le même noyau, i.e.,
kerρA = kerρlocA (6.15) Définition 6 (Cohérence locale ou LC). Le code respecte la condition de cohérence locale si kerρA = kerρlocA pour toute région topologiquement triviale A.
Intuitivement, un état |ψi dans kerρA\kerρlocA est un état sur la région A qui ne peut pas
être étendu à un état |Ψiglobal dans C. Autrement dit, il s’agit d’un état local qui est en dehors du code, mais que les projecteurs locaux qui intersectent A, ne peuvent pas éliminer. Typiquement, cette situation apparaît lorsque le hamiltonien contient un terme qui privilégie une région du réseau, par exemple la plaquette défectueuse du hamiltonien (6.9). Ainsi, les projecteurs locaux ne tiennent pas compte de l’influence du défaut alors que celui-ci modifie la structure du hamiltonien.
Pour des codes stabilisateurs, on peut montrer que la condition de cohérence locale demande que tout stabilisateur dont le support géométrique est strictement contenu dans la région A est le produit de générateur dont le support intersecte A. Ainsi, le modèle d’Ising avec défaut au site i∗ est un code stabilisateur qui ne respecte pas la condition de cohérence locale. En effet, considérons un sitek loin du défauti∗.Zk est un stabilisateur qui s’écritZk =Zk⊗Zk+1× · · · ×Zi∗+1,i∗×Zi∗
qui fait apparaître une chaîne de générateurs. Notons que la condition de cohérence locale dépend du choix des générateurs. En effet, du point de vue stabilisateur, une autre famille génératrice est tout simplement {Zi}i∈V qui n’est pas topologiquement ordonné par contre. Il n’est pas clair s’il est toujours possible de définir une nouvelle famille de projecteurs afin qu’un hamiltonien respectant la condition TQO respecte la condition de cohérence locale.
6.3.4 Résultat sur la stabilité spectrale
Bravyi, Hastings et Michalakis ont montré en 2010 que tout hamiltonien CPC qui respecte les conditions TQO et LC ont un spectre stable [105]. Elle est valable en dimension D quelconque.
Ils considèrent une perturbation qui est une somme de termes centrés sur chaque site du réseau et qui ont une décroissance exponentielle. Formellement, elle est de la forme V = P
i∈ΛVi où chaque termeVi, centré sur le sitei, a une forceJ et une décroissance exponentielleµ
Vi =X
r≥0
Vi(r) (6.16)
où Vi(r) agit non-trivialement que sur les sites situés à une distance inférieure à r de i et kVi(r)k ≤J e−µr.
Notons que même si la force J est très petite, la norme d’opérateur de la perturbation est extensive et donc que pour J petit mais constant, il serait a priori possible que le gap se ferme.
Toutefois, ce n’est pas le cas.
En effet, le résultat sur la stabilité du spectre montre que les niveaux d’énergie Ek(J) de
Fi g u r e 6.3 Bornes de la variation des niveaux d’énergie avec la force de la perturbation. L’effet de flou correspond au terme d’origine topologique qui est exponentiellement petit alors que la pente des droites reflète la variation des niveaux d’énergie qui est proportionnelle à la force J des termes locaux. Les niveaux d’énergie deH+V se trouvent à l’intérieur de la région délimités par les droites.
H +V vont s’élargir avec J croissant , mais rester à l’intérieur d’un intervalle Ik = JEk(1− c1J)−;Ek(1 +c1J) +K oùc1 est une constante ne dépendant que de µet D,Ek est l’énergie non-perturbée et est un terme exponentiellement petit. Plus précisément, il s’écrit
=poly(L)e−c2L3/8 (6.17)
avecc2 une constante qui ne dépend que du facteur de décroissance µet de la dimension D. Ce résultat est illustré sur la Fig.6.3. En particulier, la levée de dégénérescence est δ≤2 qui est bien exponentiellement petite et le gap du hamiltonien perturbé est borné par∆(J)≤∆(1−c1J)−2.
Ainsi, ce résultat fondamental oriente la recherche de mémoires auto-correctrices vers ces modèles qui respectent les conditions TQO et LC. Malheureusement, nous avons montré, mon directeur et moi, que la condition de cohérence locale entraîne forcément l’apparition d’une instabilité thermique, permettant à l’environnement de corrompre l’état de la mémoire. Ce résultat est celui démontré dans l’article présenté dans le prochain chapitre, à la section 7.3. Afin de formuler ce résultat, il faut se doter d’une définition de la stabilité thermique, ce que nous allons maintenant présenter.