I.B.1.1/APPROCHE QUANTIQUE
Les noyaux des atomes sont constitués de nucléons que sont les protons et les neutrons. A l’échelle subnucléonique, ces derniers sont constitués de particules élémentaires: les quarks. Il existe d’autres particules élémentaires les leptons comme l’électron, le neutrino électron, le muon, le neutrino muon, le tau et le neutrino tau. On dénombre six quarks dont les saveurs sont connues: u « up », d « down », c « charm», s « strange », t « top » et b « bottom ». Les quarks ont des charges fractionnaires de la charge élémentaire. Les quarks u, c et t présentent une charge valant + 2/3 et les quarks d, s et b une charge valant -1/3 et un nombre quantique de spin nucléaire J valant ½ d’où leur appartenance dans la catégorie des fermions. Les quarks sont regroupés en générations : les quarks « up » et « down » forme la première génération, les quarks « charm » et « strange » la seconde et les quarks « top » et « bottom » la troisième (Fig. I-20). Ils ne peuvent s’associer que par trois pour donner un baryon ou par deux pour donner un méson. La première génération de quarks constitue la « matière ordinaire ». Les neutrons sont formés de deux quarks « down » et d'un quark « up » et les protons sont formés de deux quarks « up » et d'un quark « down » (Fig. I-20). Ces quarks de valence sont liés entre eux par l’interaction forte transmise par les gluons. Les neutrons et les protons sont donc des baryons de charge nulle et unitaire respectivement. Les quarks de deuxième et troisième générations sont plus lourds et forment des particules toutes instables qui se désintègrent en quarks de première génération.
Fig. I-20: Classification des quarks et leptons connus et composition en quarks de valence des
Chapitre 1: Contexte clinique et scientifique
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54 Les protons tournent sur eux même car ils sont constitués de quarks ayant des charges contraires et possèdent un nombre quantique de spin valant ½ lui conférant un moment cinétiqueሬሬԦ. Le fait qu’ils soient chargés induit un mouvement magnétique microscopiqueɊሬԦ colinéaire à ሬԦ (Fig. I-21). Le neutron tourne aussi sur lui-même mais possède un spin et une charge nulle. Néanmoins, il possède tout de même un moment magnétique microscopique induit par la position des quarks qui le compose ; les quarks positifs étant placés plus près de l’axe de rotation que les quarks négatifs, la résultante globale est alors non nulle. Au sein du noyau atomique, les neutrons et les protons s’apparient et leurs moments magnétiques s’annulent. Donc seuls les atomes ayant un nombre de nucléons impair possèderont un moment magnétique microscopique.
Le moment magnétique microscopique d’une particule s’exprime selon la relation suivante: ߤԦ ൌ ߛ ൈ ܵԦ
Eq. I-1 Avec J, le rapport gyromagnétique, spécifique d’une particule et exprimé en rad.T-1.s-1 et ܵԦ le vecteur de spin, qui est un vecteur axial dont la valeur en mécanique quantique est quantifiée selon:
ൌ ¾ ൈ ሺ ͳሻଵȀଶ
Eq. I-2 Avec ħ la constante de Planck rapportée sur 2π valant 4,136 × 10-15 eV.s-1 et J le nombre quantique de spin nucléaire valant ½ par exemple pour le proton.
Fig. I-21: Moment cinétique (spin) le long de l’axe de rotation induit par la rotation du noyau sur
lui-même (à gauche). Le proton porte une charge élémentaire positive induisant un moment magnétique microscopique colinéaire au moment cinétique (à droite).
Dans le modèle de Bohr, la mécanique quantique prévoit que le moment cinétique, donc le moment magnétique, à un nombre d’orientations quantifiées. Pour cela, il faut introduire un autre nombre quantique, ms qui est le nombre quantique magnétique fixant le nombre d’orientation que peut prendre le vecteurܵሬሬԦ. Le paramètre mS peut être dans 2J +1 états quantiques différents (Fig. I-22).
Fig. I-22: Différentes orientations que peut prendre le moment magnétique d’une espèce dont le
nombre quantique de spin vaut ½ (comme le proton).
Placé dans un champ magnétique statique et homogène, il y a une levée de dégénérescence, soit une séparation en plusieurs niveaux d'énergie (Fig. I-23). L'énergie est donnée pour les états ms d'un moment cinétique de spin de nombre quantique de spin J par :
୫ୱൌ െୱൈ ¾ ൈ ɀ ൈ avec –J ≤ ms ≤ J
Eq. I-3 Avec ħ la constante de Planck réduite , J le rapport gyromagnétique du noyau considéré exprimé en rad.s-1.T-1 et B0 l’intensité du champ statique en T.
Dans le cas du proton, ceci sous-entend que dans un champ magnétique statique et homogène B0, le proton qui possède un nombre de spin ½ aura deux orientations et deux états d’équilibre différents. Ces deux états d’équilibre sont m = +1/2 ou α et m= - 1/2 ou β. En mécanique quantique, ces deux états correspondent à des niveaux d’énergie différents. L’état α est le niveau d’énergie le plus faible ou niveau fondamental et β le plus fort ou niveau excité. Les niveaux α et β auront les niveaux d’énergie suivant:
ൌ െͳȀʹ¾ɀ ஒൌ ͳȀʹ¾ɀ
Chapitre 1: Contexte clinique et scientifique
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56 La différence d’énergie ('E) entre les deux niveaux est proportionnelle à l’intensité du champ statique B0 et varie selon :
ο ൌ ɀ ൈ ¾ ൈ
Eq. I-5
Fig. I-23: Représentation de la levée de dégénérescence induite par l’application d’un champ
magnétique statique et homogène sur une espèce de spin ½ comme le proton.
Selon la statistique de Maxwell-Boltzmann, les protons n’auront pas la même probabilité d’occuper le niveau fondamental et le niveau excité (Fig. I-24). D’après cette statistique, le rapport de proton peuplant l’état excité par rapport au fondamental augmente avec la différence d’énergie entre les deux niveaux donc avec l’intensité du champ statique B0 et diminue quand la température augmente selon la relation :
ஒ ൌ
ିο୩
Eq. I-6 Avec Nα et Nβ le nombre de proton occupant respectivement le niveau d’énergie fondamental et excité, k la constante de Boltzmann valant 8,617 × 10-5 eV.K-1 et T la température en °K. En l’absence de champ magnétique, α et β ont le même niveau d’énergie. Dans un champ magnétique statique de 1.5 T il n’y a qu’un faible excès de proton dans le niveau fondamental situé aux alentours de 0,001%.
Fig. I-24: Peuplement des niveaux d’énergie dans le cas d’une espèce avec un nombre quantique de
spin ½ placé dans un champ magnétique statique homogène
Si l’on applique une énergie sous la forme d’une onde électromagnétique dont la valeur est égale à la différence d’énergie entre les deux niveaux d’énergie, cette onde est totalement absorbée par le noyau atomique. Il s’agit de la transition spectroscopique et l’excédent du fondamental se retrouve dans le niveau excité. Si l’on ne fournit plus d’énergie au système, il revient à l’équilibre. L'absorption d'un rayonnement électromagnétique s'accompagne toujours d'un phénomène de relaxation plus ou moins rapide, s’accompagnant de la réémission des photons absorbés. Pour la résonance magnétique nucléaire, cela n'explique pas le phénomène de relaxation allant de quelques microsecondes jusqu’à plusieurs centaines de secondes. Purcell a montré que les temps nécessaires à la relaxation par le calcul des coefficients d'Einstein excéderait l'âge de l'univers pour un processus d'émission spontanée et quelques centaines d'années pour une émission stimulée (63). En 1948, le modèle BPP (Bloembergen, Purcell et Pound) a alors été établi décrivant la relaxation comme un phénomène non radiatif (64). Ce modèle explique le retour à l’équilibre par des fluctuations du champ magnétique ressenti par le noyau et qui sont induites par les mouvements moléculaires. L'énergie (E) d'une onde électromagnétique est proportionnelle à sa fréquence (X) selon :
ൌ ൈ ɋ
Eq. I-7 où h est la constante de Planck.
La différence d’énergie 'E entre Eα et Eβ vaut :
ο ൌ ͳ
ʹ¾ɀ ͳ
ʹ¾ɀൌ ¾ɀ
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58 La condition de résonance s’écrit alors:
ൈ ɋ ൌ ൈ ɀ ൈ Eq. I-9 Ce qui donne : ɓ ൌɀ ൈ ʹɎ Eq. I-10 La résonance magnétique nucléaire est donc caractérisée par une fréquence en Hertz appelée fréquence de Larmor et notée X0. Cette fréquence dépend du champ magnétique statique B0 et du rapport gyromagnétique du noyau considéré.
I.B.1.2/APPROCHE CLASSIQUE
Le phénomène de résonance magnétique nucléaire décrit de manière classique résulte des travaux de Félix Bloch (65).
En l’absence de champ magnétique B0 et à l’équilibre thermodynamique, l’orientation des moments cinétiques des noyaux est aléatoire dans l’espace. La somme vectorielle des moments magnétiques individuels est alors nulle en moyenne, il n’y a pas de polarisation ou d’aimantation résultante.
En présence de champ magnétique statique, un noyau pris individuellement voit son moment magnétique précesser autour de la direction du champ magnétique B0 mais il n’y a pas de changement d’orientation en raison du champ magnétique externe, le phénomène de résonance magnétique nucléaire n’est dans ce cas pas observable. Néanmoins dans un échantillon constitué d’atomes, ces derniers baignent dans un environnement d’électrons et de noyaux se déplaçant en permanence. Cette agitation génère des champs magnétiques internes fluctuant en permanence et modifiant aléatoirement l’orientation et l’intensité des champs magnétique vue par le noyau. Dans une échelle de temps de l’ordre de la seconde, ces fluctuations modifient légèrement l’orientation des moments magnétiques. Les lois de la thermodynamique montrent que la probabilité qu’un moment magnétique soit orienté dans le sens du champ magnétique appliqué (sens parallèle) est supérieure à celle d’une orientation dans le sens opposé (sens anti-parallèle). Pour faire le parallèle avec le domaine quantique, ces deux orientations correspondent aux deux niveaux d’énergie décrit précédemment et la proportion de moments magnétiques présente dans chaque orientation est donnée par la statistique de Boltzmann favorisant les énergies les plus basses. Il en résulte alors une aimantation, faible mais mesurable apparaissant progressivement quand l’échantillon est placé dans un champ magnétique statique B0 (Fig. I-25). Ce phénomène est le paramagnétisme nucléaire.
Fig. I-25: Aimantation macroscopique M0 induite par la différence d’orientation des moments magnétique microscopiques (μ) selon l’axe de B0 lorsque des espèces de spin ½ sont placées dans un champ magnétique statique homogène B0. La composante transversale de cette aimantation est nulle
car les moments magnétiques ne sont pas en cohérence de phase.
Cette polarisation appelée aussi appelée aimantation macroscopique M0 est décrite par la loi de Curie : ൌ ൈ avec ൌ ൈ Ɋ ଶ Au final : ൌ ൈ Ɋଶൈ Eq. I-11 Avec N le nombre d’atome présent dans l’échantillon, B0 l’intensité du champ magnétique statique en Tesla, P le moment magnétique d’un atome, k la constante de Boltzmann et T la température en °K. Cette expression suggère que la polarisation sera favorisée à basse température ainsi qu’avec des intensités de champ statique élevées.
Ces moments magnétiques orientés dans le sens parallèle ou anti-parallèle interagissent avec B0 et tourne sur leur propre axe comme une toupie avec un axe de rotation de même direction que B0. Ce mouvement est la précession de Larmor de vitesse angulaire:
Chapitre 1: Contexte clinique et scientifique
L'imagerie par résonance magnétique- La résonance magntique nucléaire
60 ɘ
ሬሬሬሬሬԦ ൌ െɀ ൈ ሬሬሬሬԦ
Eq. I-12 En valeur absolue, la valeur de la vitesse angulaire est égale à la fréquence de résonance décrite précédemment avec l’approche quantique d’où le nom « fréquence de Larmor » pour qualifier la fréquence de résonance. Pour le proton, le rapport gyromagnétique étant positif, le sens de précession sera alors négatif, la rotation s’effectue alors dans le sens horaire.
L’aimantation macroscopique (M0) induite par le paramagnétisme n’a pas de composante transversale car toutes les composantes transversales des moments magnétiques microscopiques sont déphasé et s’annulent entre elles. A l’équilibre, l’aimantation macroscopique ሬሬሬሬሬԦ est colinéaire avec ሬሬሬሬԦ et son intensité est très faible par rapport à B0. Elle est de ce fait, très difficile à mesurer.
Si l’on transfère de l’énergie au système via une onde électromagnétique dont la fréquence est égale à la fréquence de Larmor X0, il est possible de créer un champ magnétique B1 tournant à cette même fréquence dans le plan perpendiculaire à B0. A intensité de champ usuel, l’énergie entre les niveaux est faible, la fréquence de Larmor est de l’ordre de quelques MHz correspondant à la gamme des radiofréquences.
Dans le référentiel tournant à la fréquence de résonance, l’aimantation macroscopique précesse autour de B1. En effet, à partir des équations de Bloch dans le référentiel tournant, on peut définir le champ effectif ሬሬሬሬሬሬሬሬԦagissant sur l’aimantation par: ୣ
ୣ ሬሬሬሬሬሬሬԦ ൌଵ ʹ ሬԦ ൬െ ɘ ɀ൰ Ԧ Eq. I-13 Quand la condition de résonance est atteinte c'est-à-dire que ன
ஓ ൌ , les moments magnétiques ne voient plus le champ B0 mais uniquement l’onde radiofréquence dont l’intensité vaut భ
ଶ . Une composante transversale de l’aimantation macroscopique apparait alors dans le plan transversal alors que sa composante longitudinale disparait (Fig. I-26). L’aimantation macroscopique induite par le paramagnétisme nucléaire devient alors quantifiable en mesurant l’induction qu’elle génère aux bornes d’une bobine.
Fig. I-26: Après application d’un champ B1, mise en cohérence de phase des moments magnétiques μ et apparition d’une composante transversale de M0
Il est possible de moduler l’angle de bascule θ de l’aimantation macroscopique dans le plan transversal. La valeur de cet angle est conditionnée par l’intensité de l’onde radiofréquence émise donc du champ B1, et par la durée ou la largeur de l’impulsion radiofréquence (τ) en restant dépendante du rapport gyromagnétique de l’espèce ce qui donne :
Ʌ ൌ ɀ ൈ ଵൈ ɒ
Chapitre 2: Quantification non-invasive des hépatopathies chroniques: Etat de l'art
Quantification non-invasive de la stéatose hépatique - L'échographie pour la quantification de la stéatose
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