Rappels des ´equations de conversion param´etrique

On utilise les ´equations de Maxwell comme point de d´epart pour d´ecrire l’´evolution du champ ´electrique E et les ph´enom`enes de conversion param´etrique. On consid`ere un faisceau incident se propageant suivant l’axe z et on a :

−

→∇ ∧−→

∇ ∧−→

E =−µ0

∂²−→ D

∂t² (1.1)

O`u l’induction D(z,t) est reli´ee au champ ´electrique E(z,t) par : D = �0E + P. On peut exprimer la polarisation comme la somme de composantes lin´eaire et non lin´eaire : P = PLin´eaire +PNonLin´eraire = P⁽¹⁾ + {P⁽²⁾ +.. +P⁽ⁿ⁾}. A l’ordre deux, dans

l’approxima-1. Une anecdote est rest´ee c´el`ebre `a propos de cet article, sur la version originale, la trace du faisceau doubl´e

´etait si petite qu’elle a ´et´e retir´ee par l’´editeur, et n’est pas visible sur la version publi´ee de l’article.

1.1 Optique param´etrique - Processus non lin´eaire d’ordre deux tion des ondes planes, en n´egligeant les effets d’anisotropie (le tenseur χ⁽²⁾ est diagonal), en se pla¸cant loin de toutes les raies d’absorption du milieu (les ´el´ements deχ⁽²⁾ sont r´eels) et pour une interaction colin´eaire on obtient l’´equation de propagation suivante :

∂²E

P⁽¹⁾(z,t) est la polarisation lin´eaire, P⁽²⁾(z,t) est la polarisation non lin´eaire d’ordre deux, etcla vitesse de la lumi`ere dans le vide. Pour d´ecoupler les diff´erentes composantes spectrales du champ ´electrique total on se place dans le domaine de Fourier pour exprimer l’´equation1.2.

Dans le cas d’une interaction non lin´eaire `a trois ondes de pulsations ωj, avec j = {1,2,3}, on obtient un syst`eme de trois ´equations de la forme :

∂²E˜(z,ωj) P⁽²⁾(z,t) respectivement. On peut exprimer les trois composantes de la polarisation lin´eaire comme :

P˜⁽¹⁾(z,ωj) =ε0χ⁽¹⁾(ωj) ˜E(z,ωj) (1.4) Les composantes de la polarisation non lin´eaire d’ordre deux sont li´ees aux composantes de champ ´electrique comme suit [Bou06] :

P˜⁽²⁾(z,ω₁ =ω₃−ω₂) = ε₀χ⁽²⁾(ω₁,ω₃,ω₂) : ˜E(z,ω₃)⊗E˜(z,−ω₂) (1.5) Le terme de gauche de l’´equation 1.8 d´ecrit la propagation de l’onde plane dans un milieu d’indicen(ω) auquel s’ajoute la g´en´eration non lin´eaire contenue dans le terme source de droite.

Dans notre cas, en r´egime d’impulsions courtes, les champs ´electriques consid´er´es pr´esentent une extension spectrale Δω = ω − ω0 cons´equente. Elle est d´efinie comme la largeur de la

transform´ee de Fourier du carr´e du champ ´electrique de l’impulsion centr´e `a la pulsation ω0. Pour tenir compte de l’effet de cette extension spectrale sur la propagation et la conversion non lin´eaire, la dispersion du mat´eriau, soit la dispersion de la polarisation doit ˆetre prise en compte. Dans notre cas, seule la dispersion de la polarisation lin´eaire P⁽¹⁾ est prise en compte.

Cela revient `a n´egliger la dispersion du membre de droite de l’´equation 1.8.

Pour simplifier cette ´equation, on se place en notations complexes. On a donc un champ complexe :

E(z,t) = 1 2

�A(z,t)e^{−iω0t+ik(ω0)z}+cc�

(1.9) La notationcc repr´esente le complexe conjugu´e, A(z,t) repr´esente l’enveloppe complexe du champ et contient l’information sur son extension spectrale. On a alors :

E˜(z,ω) = 1 2

�A˜(z,Δω)e^ik(ω0)z+cc�

(1.10) On consid`ere dans ce manuscrit un milieu non lin´eaire d’ordre 2, on note la polarisation d’ordre 2 :

P⁽²⁾(z,t) = 1 2

�P⁽²⁾(z,t) +cc�

. (1.11)

On se place dans l’hypoth`ese de l’enveloppe lentement variable (valable pour des impulsions plus longues que � 100 fs [Ser00]) :

��

Les effets de dispersion dans le cristal non lin´eaire sont introduits en consid´erant le d´eve-loppement limit´e du vecteur d’onde autour de la porteuse du champ ´electrique. On se limite ici

`a l’ordre 2 et on obtient :

k²(ω)�k₀²+ 2Δω·k0k^�₀+Δω²·k0k₀^�� (1.14) o`u pour all´eger les notations,k0 =k(ω0) et o`uk^�₀etk^��₀ sont respectivement les d´eriv´ees premi`ere et seconde du vecteur d’onde en ω0. En injectant 1.13 et 1.14 dans l’´equation de propagation

1.1 Optique param´etrique - Processus non lin´eaire d’ordre deux 1.8 puis en repassant dans le domaine temporel on obtient :

∂A Dans cette ´equation, on a k₀^� = 1/vg0 avec vg0 la vitesse de groupe de l’onde `a la pulsation ω0, et on a k^��₀ =β0 soit la dispersion de la vitesse de groupe autour devg0. Elles peuvent ˆetre exprim´ees directement en fonction de l’indice et de la longueur d’onde par :

vg0 =c

Ces param`etres sont tr`es importants pour la description du fonctionnement des sources `a im-pulsions br`eves, comme nous le verrons dans les chapitres suivants. A partir de cette ´equation 1.15 on peut aboutir aux ´equations coupl´ees suivantes [Dhe11a] :

∂A3 o`u le d´esaccord de phase Δk =k3−k2−k1 est ´evalu´e uniquement aux fr´equences centrales des enveloppes des ondes. La vitesse de groupe qui intervient en facteur de la d´eriv´ee temporelle premi`ere permet de mod´eliser les effets de walk-off ou d´ecalage temporel entre les ondes dans le cristal non lin´eaire. Le terme de d´eriv´ee seconde quant `a lui d´ecrit les effets d’´etalement en fr´equence, ou chirp, des impulsions pendant leur propagation dans le cristal non lin´eaire. Ce terme ne devient r´eellement significatif que pour les impulsions subpicosecondes, soit pour des largeurs de bande de gain de plusieurs centaines de cm<sup>−1</sup>. Les indices sont par convention les suivants, j = 3 correspond `a la pompe tandis que j = 1 etj = 2 sont respectivement les ondes compl´ementaire et signal². On peut noter que ce syst`eme d’´equations coupl´ees comporte des termes crois´es A3A<sup>∗</sup><sub>1</sub> ou A3A<sup>∗</sup><sub>2</sub> dont la valeur augmente lorsque les champs signal et compl´e-mentaire `a l’origine deA2 etA1 vont se construire. En effet, le processus param´etrique est un processus `a gain qui peut d´emarrer `a partir du bruit lorsque la pompe est suffisamment intense

2. Par convention on aωpompe>ωsignal≥ωcompl´ementaire

[Bro79]. La r´esolution num´erique de ce syst`eme d’´equations coupl´ees se fait grˆace `a un code de simulation d´evelopp´e au sein de l’´equipe par Jean-Baptiste Dherbecourt pendant sa th`ese. Les m´ethodes de r´esolutions et hypoth`eses utilis´ees sont d´etaill´ees dans [Dhe11a] au chapitre 1.2 (pp 26-46). Ce code a ensuite ´et´e adapt´e par C´edric Laporte au cas d’un cristal non lin´eaire ap´eriodique `a pas variables.