Dimensionnement

Ainsi dans notre cas, pour la longueur de cristal d´ej`a ´etudi´ee dans le cas uniforme (Lunif.= 20 mm et Δλ = 2,3 nm [Dhe11a]) on s’attend `a pouvoir maintenir le gain crˆete pour une augmentation de l’´etendue de la bande de gain telle queΔωchirp�3Δωunif.si la longueur totale du cristal est augment´ee pour obtenir Lchirp = 3Lunif. = 60 mm. C’est cette valeur de 60 mm qui a ´et´e choisie pour nos cristaux ap´eriodiques. La valeur du taux de chirp correspondant est deκ’ref = 1,6×10⁴m⁻², pour une longueur d’onde signal centrale de 1470 nm. Le calcul deδvsc

a ´et´e r´ealis´e avec les coefficients de Sellmeier du LiNbO3 dop´e MgO `a 5 % d´ecrits dans [Gay08].

1.2 ´Elargissement de la bande de gain Ce cristal sera utilis´e comme r´ef´erence et pour les valeurs de chirp plus ´elev´ees, κ^� > κ^�_ref, le gain crˆete sera multipli´e par le rapport des taux de chirp : κ^�_ref/κ^� et sera donc diminu´e.

Ces consid´erations sont `a la base du dimensionnement de nos cristaux. Des consid´erations plus pouss´ees ont ´et´e n´ecessaires pour la suite. Le dimensionnement des cristaux d´etaill´e dans la suite a ´et´e effectu´e avant mon arriv´ee `a l’Onera, principalement par C´edric Laporte sous l’encadrement d’Antoine Godard.

Le code de calcul d´evelopp´e ´etant dans l’approximation des ondes planes, une m´ethode semi-empirique a ´et´e utilis´ee pour prendre en compte les effets de la dimension transverse finie du profil spatial. L’OPO `a base de PPLN uniforme (20 mm) a d’abord ´et´e caract´eris´e avec une adaptation de la m´ethode de Findlay-Clay (d´ecrite en Annexe A). Grˆace `a cette m´ethode, les pertes de la cavit´e et le gain en petit signal ont pu ˆetre mesur´es. Ainsi le facteur de correction `a appliquer au couplage non lin´eaire utilis´e pour le calcul en ondes planes, de fa¸con

`a retrouver le gain exp´erimental, a pu ˆetre d´etermin´e. Les param`etres des cavit´es OPO `a base de cristaux `a QAP uniforme ou ap´eriodique sont tr`es proches. On s’attend `a pouvoir dimensionner correctement les cristaux non lin´eaires ap´eriodiques en utilisant les coefficients calcul´es dans le cas d’un cristal uniforme dans les calculs en onde plane. Dans notre cas, cette m´ethode nous indique une r´eduction du facteur de couplage non lin´eaire de ¹/^Ccw = 4,3 pour un calcul en r´egime continu avec une puissance de pompe ´egale `a la puissance crˆete de l’impulsion et une r´eduction de¹/^Cpulse = 4 pour un calcul en r´egime picoseconde (voir Annexe A). Ce facteur de correction a ´et´e pris en compte pour la suite du dimensionnement du cristal ap´eriodique.

Pour le dimensionnement du cristal, une fonction d’apodisation a ´et´e ajout´ee `a la zone lin´eairement chirp´e, comme sugg´er´e dans [CL08b,Phi13], afin de limiter les rebonds de la bande de gain param´etrique. Les rebonds dans le cas d’un cristal simplement chirp´e et de taille finie, viennent des variations tr`es abruptes de l’interaction aux extr´emit´es du cristal. La polarisation non lin´eaire d´emarrant brutalement `a l’extr´emit´e du cristal non lin´eaire, des termes de hautes fr´equences spatiales vont g´en´erer des effets d’interf´erence sur la fonction de transfert du r´eseau de quasi-accord de phase. Ces effets sont ind´esirables dans la plupart des cas et notamment pour nos applications o`u une bande de gain large et plate est souhait´ee. Un moyen de r´eduire les rebonds de la bande de gain est de rendre la transition avant et apr`es la r´egion o`u se d´eroule l’interaction aussi fluide que possible. Une solution consiste pour cela `a d´emarrer avec une interaction tr`es loin de l’accord de phase pour la ramener progressivement `a une interaction en phase. Dans notre cas, on ajoute une composante impaire large `a la partie lin´eairement chirp´ee de notre cristal. La fonction d’apodisation n’affecte pas la partie centrale qui varie lin´eairement mais au bord, les variations du pas du cristal sont tr`es importantes comme le montre la figure 1.6 (b). En utilisant la fonction d’apodisation propos´ee dans [CL08b], le vecteur r´eciproque du

pas du r´eseau peut ˆetre exprim´e comme : Avec ν un entier impair ´elev´e. La p´eriode du r´eseau du cristal peut alors ˆetre directement d´etermin´ee avec Λ(z) = 2π/Kg(z). La figure 1.6 (a) montre la r´eduction des oscillations pour une fonction d’apodisation adapt´ee, les deux courbes de gain param´etrique sont calcul´ees pour un mˆeme coefficient de chirp lin´eaire avec et sans apodisation.

-8 -4 0 4 8

Figure 1.6: (a) Gain en puissance dans le cas d’un cristal d’APLN apodis´e ou non. On peut observer l’effet de l’apodisation sur les ondulations du spectre du gain param´etrique. Les para-m`etres avec apodisation sont ceux du r´eseau G4 d´ecrit dans le tableau1.1. (b) P´eriode du quasi-accord de phase soit Λ(z) le long du cristal dans le cas apodis´e obtenu sur la figure (a).

Enfin le dimensionnement a ´et´e finalis´e grˆace `a des calculs en r´egime picoseconde avec un code de calcul d´evelopp´e au sein de l’Onera par Jean-Baptiste Dherbecourt. Ce code consid`ere des ondes planes et les ´equations non lin´eaires coupl´ees 1.17, sont r´esolues en utilisant une m´ethode de diff´erence finie dans le domaine temporel. La diff´erence de vitesse de groupe et la dispersion sont prises en compte [Dhe11a]. Cette approche a conduit au dimensionnement d’un cristal contenant cinq voies avec des r´eseaux de QPM ap´eriodiques pr´esentant diff´erents taux de chirp pour la zone centrale et une longueur de 60 mm. Les propri´et´es de ces diff´erents r´eseaux sont r´esum´ees dans le tableau 1.1 et correspondent aux r´eseaux G1 `a G5. La voie de r´ef´erence appel´ee G1 ou A pr´esente un gain crˆete th´eorique ´equivalent `a celui d’un cristal uniforme de 20 mm. Les quatre voies suivantes pr´esentent des taux de chirp de plus en plus ´elev´es et donc des bandes de gains de plus en plus larges, au prix d’une diminution du gain crˆete.

Plus tard au cours de ma th`ese, apr`es l’obtention de r´esultats encourageants avec les r´eseaux G1 `a G5 pour le d´eveloppement de sources accordables, un second cristal non lin´eaire a ´et´e

1.2 ´Elargissement de la bande de gain Table 1.1: Param`etres utilis´es pour les diff´erentes voies du cristal non lin´eaire `a QPM ap´eriodique

(voir ´equation1.23) et les bandes de gain signal et compl´ementaire correspondantes (crit`ere FWHM). La notation A correspond aux notations de l’article [Des16a].

R´eseau Λ0(�m) κ^�(m⁻²) µ ν Δλs(nm) Δλc(nm)

command´e avec des voies pr´esentant des taux de chirp ´equivalents `a ceux de la voie G4 pour la voie B* et plus ´elev´es pour la voie C* soitκ<sup>�</sup><sub>C∗</sub> = 1,17×10<sup>5</sup>m<sup>−2</sup> et menant `a une largeur de la bande de gain signal deΔλs= 40 nm. En partenariat avec HCPhotonics, deux types de r´eseaux ap´eriodiques ont ´et´e utilis´es. Les premiers r´eseaux ´etaient chirp´es lin´eairement et apodis´es grˆace

`a une adaptation de la formule propos´ee dans [CL08b] (ajout d’un terme correctif pour rendre plus abrupte la d´ecroissance aux bords de la bande de gain) :

Kg(z) = 2π Les param`etres de ces voies lin´eairement chirp´ees sont pr´esent´es dans le tableau1.2. Sur le mˆeme cristal, sur une proposition de HCPhotonics, en vue de comparer les performances de deux types de dimensionnement de cristaux ap´eriodiques large bande, des voies compl´ementaires ont ´et´e ajout´ees appel´ees B et C. Les largeurs de bandes de gain sont les mˆemes que les voies B* et C*, mais leur dimensionnement est bas´e sur un algorithme d´evelopp´e par Lai et al. [Lai12]. La taille des domaines de ces voies compl´ementaires est calcul´ee grˆace `a un algorithme domino it´eratif et

´evolue de fa¸con non continue le long du cristal. Les figures 1.7 (a) et (b) montrent la taille des domaines de retournement successifs pour les 4 voies de ce second cristal. On peut voir, que la taille de domaines dans le cas du dimensionnement propos´e par HCPhotonics suit une ´evolution g´en´erale proche de celle d’un r´eseau lin´eairement chirp´e mais avec des variations discontinues des tailles de domaines et des ´ecarts au comportement lin´eairement chirp´e importants dans certaines zones. On retrouve une ´evolution importante de la taille des domaines aux bords des voies du cristal, pour r´eduire les rebonds de la bande de gain param´etrique.

La figure 1.7 (c) et (d) permet de comparer les bandes de gain th´eoriques des diff´erents r´eseaux ap´eriodiques du second cristal non lin´eaire. Ces bandes de gains th´eoriques ont ´et´e obtenues avec un code de calcul d´evelopp´e au sein de l’´equipe par Jean-Michel Melkonian.

R´eseau Λ0(�m) κ^�(m⁻²) µ1 ν1 µ2 ν2 Δλs(nm) Δλc(nm)

B* 29,15 3,9×10⁴ 4,2 9 4,6 39 13,4 92

C* 29,15 1,17×10⁵ 7,8 17 6,8 39 40 275,4

Table 1.2: Param`etres utilis´es pour les diff´erentes voies du second cristal non lin´eaire `a QPM ap´erio-dique (voir ´equation1.24), et les bandes de gains signal et compl´ementaire correspondantes (crit`ere FWHM). Les notations B* et C* correspondent `a celles de l’article [Des16a].

Le calcul consid`ere des ondes planes et se place en r´egime continu, avec une amplification sur un simple passage dans le cristal non lin´eaire. Les tailles des domaines sp´ecifi´ees par le constructeur (HCPhotonics) ont ´et´e ajout´ees `a partir desfichiers de dimensionnement pour une r´esolution des ´equations de propagation domaine `a domaine. Les caract´eristiques des bandes de gains th´eoriques sont similaires en termes de largeur totale et d’amplitude des rebonds pour les deux m´ethodes d’apodisation ´etudi´ees. Les deux m´ethodes de dimensionnement semblent donc valables pour obtenir des cristaux pr´esentant de larges bandes de gains aussi plates que possible.