Rôles de pertes

2 ⁽| + 1 : N, −1 : 0i − i| + 1 : 0, −1 : Ni) ,

(2.76) cette notation justifiant le nom donné à cet état :

| N, 0i + | 0, Ni

. Il s’agit d’un état où les atomes sont très fortement corrélés entre eux. Cependant, la réalisation de tels états est extrêmement délicate, d’autant plus que le nombre d’atomes devient important (voir §2.3.4). Jusqu’à présent, seules des superpositions de faible nombre de particules, ou “chatons de Schrödinger”, ont été réalisées, avec des ions [45] ou des photons [44,100].

Résurgence totale : retour à l’état initial (

χt = 2π

)

Pour un temps d’interaction encore quatre fois plus long (

χt = 2π

), il est clair d’après l’équation (2.67) que l’on retrouve l’état initial. Tous les termes de la somme composant l’état reviennent alors en phase. On parle de résurgence de l’état quantique.

2.3.4 Rôles de pertes

L’évolution présentée permet la génération d’états quantiques fortement corrélés très intéressants, qu’il s’agisse simplement d’états comprimés ou de superpositions méso-scopiques comme dans le cas de l’état “‘NOON”. Cependant, s’il est vrai que le hamil-tonien d’interaction considéré produit ces états sans intervention particulière, unique-ment via les interactions entre spins, nous avons pour obtenir ces résultats fait l’hypo-thèse qu’aucun atome n’était perdu durant l’évolution considérée. Cette condition est extrême, et nous nous demandons à présent dans quelle mesure les pertes d’atomes doivent être contrôlées pour ne pas détruire la cohérence de ces états.

L’influence des pertes atomiques sur la dynamique de formation de corrélations entre atomes a été étudiée dans [51] en utilisant une approche de fonction d’onde stochas-tique. La modélisation est la suivante : on considère une évolution du type décrite ici pendant un temps

t

, au cours duquel

k

atomes parmi les

N

de départ sont perdus, chacun dans l’état

| + 1i

ou

| − 1i

. Pour ce faire, on note

t

₁

, . . . , t

_k les temps auxquels ces atomes sont perdus,

t

0

= 0

l’origine de l’évolution, et l’on suppose que le hamil-tonien change à chacun de ces instants pour prendre en compte la perte d’atome, en demeurant constant entre-temps. Le hamitonien initial est [Eq. (2.63)]

ˆ

H

_nl

= ^~χ

4 ^{( ˆN}

⁺¹

− ˆN

₋₁

)

²

.

(2.77) Prendre en compte les pertes d’atomes équivaut à faire agir au cours de l’évolution l’opérateur

ˆa

₊₁ (

ˆa

₋₁) aux instants où une perte d’atome dans l’état

| + 1i

(

| − 1i

) a lieu. L’évolution de l’état

| ψ

0

i

au cours du temps s’écrit donc, à une normalisation près :

2.3. SUPERPOSITION MACROSCOPIQUE POUR UN CONDENSAT DE SPIN 1/2 81

où

s

_j

=±1

désigne l’état de spin de l’atome perdu à chaque étape

j

. Afin d’obtenir un hamiltonien effectif agissant sur l’état comprenant les pertes d’atomes,

Q

k

j=1

aˆ

_sj

| ψ

0

i

, nous pouvons faire commuter les opérateurs d’annihilation et les termes d’évolution en utilisant la relation

ˆ

a

_s

H^ˆ

_nl

=



ˆ

H

_nl

+^~χ

2 ^{s( ˆN}

⁺¹

− ˆN

₋₁

) + 1



ˆ

a

_s

.

(2.79)

En resommant les hamiltoniens pendant chaque intervalle de temps entre pertes, on obtient l’opérateur d’évolution pendant le temps

t

en prenant en compte les pertes ato-miques

exp(−i ˆH

_l

t) = exp



−i



 ˆH

_nl

t + t +

k

X

j=1 j

X

l=1

~χ

2 ^s

^l

^{( ˆN}

⁺¹

− ˆN

₋₁

)(t

_l+1

− t

l

)







.

(2.80)

En plus de l’évolution sans perte, on observe l’ajout d’un terme constant qui n’a pas d’effet sur la dynamique, ainsi que d’un terme que l’on peut réécrire

k

X

j=1

~χs

_l

t

_j

S^ˆ

_1/2,z

.

(2.81) Ce terme est un terme de précession autour de l’axe vertical sur la sphère de Bloch, et ajoute donc une phase à l’état quantique (phase kick) qui s’exprime comme

ϕ

_l

=

k

X

j=1

χs

_l

t

j

.

(2.82)

Les coefficients

s

_j et

t

_j étant des variables aléatoires, ils sont différents à chaque réa-lisation de l’expérience, et l’état quantique exécute au cours de l’évolution une marche aléatoire sur la ligne équatoriale de la sphère de Bloch. Cela aura pour effet de brouiller la dynamique de corrélation décrite dans cette section. La phase ajoutée est de moyenne nulle car la probabilité de perdre un atome dans

| + 1i

ou

| − 1i

à chaque étape est la même. Son écart-type

∆

²

ϕ

_l peut être calculé en supposant que les

k

pertes d’atomes sont un phénomène poissonnien de paramètre

λ

, de telle sorte que le nombre moyen de pertes pendant le temps

t

soit

λt

, et l’écart moyen entre deux pertes soit

1/λ

. On a alors

∆

²

ϕ

_l

=

λt

X

j=1

χ

²

 j

λ



2

,

(2.83)

∼ ^λχ

2

t

3

3 ^.

(2.84)

82 Ch. 2. CONDENSATS SPINORIELS FORTEMENT CORRÉLÉS

Les pertes d’atomes ont donc pour effet de modifier la valeur moyenne de l’opérateur

ˆ

S

_1/2,+, à la fois en diminuant directement le nombre d’atomes dans l’état final, mais aussi en ajoutant un terme pour prendre en compte le brouillage de la phase. L’ex-pression de

h ˆS

_1/2,+

i

l en prenant en compte les pertes est donc modifiée par rapport à l’expression sans perte [Eq. (2.71)] par un facteur correctif [51]

h ˆS

_1/2,+

i

l

h ˆS

_1/2,+

i ^≃

N − λt

N ^exp(−^λχ

2

t

3

6 ^).

(2.85)

Il est alors clair que pour maintenir la dynamique jusqu’à l’observation de l’état “Chat” (

χt

_cat

= π/2

), il faut que le terme dans l’exponentielle demeure suffisamment faible, typiquement inférieur à

1/2

. Cette condition s’écrit au temps

t

cat:

λt

_cat

≤ ³

χt

2 cat

= ¹²

π

2

≃ 1.2

(2.86)

La quantité

λt

_cat étant le nombre d’atomes perdus pendant l’évolution, cette condition signifie simplement que la perte d’un seul atome a déjà un effet significatif sur la dy-namique de corrélation des spins. Ce résultat peut être retrouvé de manière empirique en considérant l’état

| ψ

NOON

i

réalisé [Eq. (2.76)] : si l’on mesure l’état d’un seul atome (mesure et perte étant équivalent du point de vue de l’information perdue par l’état quantique), on connaît l’état de l’ensemble des atomes, et l’état est donc projeté dans l’un ou l’autre des états entièrement polarisé. La superposition quantique est alors dé-truite. On retrouve ici l’idée évoquée dans la section précédente, selon laquelle un petit nombre d’atomes facilite l’observation d’états fortement corrélés (pour un taux de perte par atome donné). Cependant, dans le cas de l’observation de l’état “NOON”, le temps pendant lequel aucun atome ne doit être perdu est

t

cat

= π/(2χ)∼ 0.5 s

, avec les valeurs de la table2.1. Cela semble expérimentalement difficile à réaliser.

Une solution permettant de réduire considérablement le temps d’interaction néces-saire à l’obtention de l’état “NOON” a été proposé dans [101]. Dans ce cas, un couplage

~Ω

entre les deux niveaux

| + 1i

et

| − 1i

est maintenu pendant l’évolution. Ce couplage est obtenu comme nous l’avons vu en appliquant un champ magnétique oscillant selon

S

_x. Si la condition

Ω∼ χN/2

est vérifiée, il est alors calculé que le temps nécessaire

˜_t

_cat

pour obtenir un état maximalement corrélé est réduit par un facteur

˜

t

_cat

t

_cat

^{= ln(8N )/N} ∼ 0.07,

(2.87)

pour

N = 100

. Le temps nécessaire passe alors en dessous de

50 ms

. Nous avons donc pour projet d’utiliser cette stratégie pour obtenir ces états fortement corrélés. La figure 2.9 résume les contraintes sur le nombre d’atomes par rapport aux pertes, en faisant apparaître les deux méthodes ci-dessus pour l’obtention d’un état “NOON”.

2.3. SUPERPOSITION MACROSCOPIQUE POUR UN CONDENSAT DE SPIN 1/2 83 0 100 200 300 400 500 10−² 10−¹ 100 101 Nombre d’atomes N Te m p s [s ] ^tcat ˜ tcat t3L t1L

FIGURE2.9. Comparaison entre les temps d’interaction nécessaires pour obtenir un état “NOON” et les limites

imposées par les pertes liées aux collisions avec le gaz résiduel (t1L = (N γ1L)−1, en bleu) et aux collisions à trois corps (t3L= (N γ3L)−1, en vert). Les temps d’interaction reportés sont d’une part le tempstcat(noir pointillé) nécessaire en laissant simplement agir les interactions, et d’autre part le temps ˜tcat en utilisant la méthode décrite dans [101] (rouge pointillé).

Deuxième partie

Laser tout-solide pour le

refroidissement de l’atome de

Introduction

Nous avons vu dans le chapitre précédent comment réaliser des états quantiques fortement intriqués en tirant parti des propriétés physiques de l’atome de sodium. Les étapes nécessaires à l’obtention de tels états comprennent le ralentissement et le pié-geage des atomes de sodium dans un piège magnéto-optique, puis un refroidissement par évaporation pour observer la condensation de Bose-Einstein. Or, un frein sérieux à l’usage du sodium dans les expériences manipulant des atomes froids est la nécessité d’employer des lasers à colorant pour le refroidissement laser. En effet, la transition

D

₂ utilisée se situe à

589.158 nm

[102], une longueur d’onde difficilement accessible avec des lasers solides. Ainsi, il n’existe pas de diode laser émettant à cette longueur d’onde, et aucune solution commerciale n’est encore proposée⁵. De plus, bien que les lasers à colorant soient maîtrisés techniquement, ils sont chers, encombrants et relati-vement difficiles à entretenir et à faire fonctionner. Cette contrainte justifiait selon nous le développement d’une source laser alternative à cette longueur d’onde.

Une telle source est par ailleurs utile dans d’autres domaines que celui du refroidis-sement laser. En réalité, la recherche d’une source laser à

589 nm

alternative au laser à colorant a jusqu’à présent été principalement menée en astrophysique, avec le déve-loppement de lasers très puissants, afin de créer des étoiles artificielles en excitant les atomes de sodium de la mésosphère [103,104,105,106,107,108,109,110,111]. Un laser à cette longueur d’onde possède également des applications à la détection induite par laser dans l’atmosphère (LIDAR) [112], la chirurgie ophtalmique et la dermatolo-gie [107]. Plusieurs méthodes pour la génération de lasers continus autour de

589 nm

ont été publiées, incluant la somme de deux lasers infrarouges autour de

1319 nm

et

1064 nm

[103, 104, 105, 106, 107], le doublage de fréquence d’un laser à fibre Ra-man [108, 109, 110], ou encore la somme de fréquence de deux lasers à fibre autour de

938 nm

et

1535 nm

[111]. Nous avons choisi de fonder notre travail sur la première solution consistant à sommer deux lasers à

1319 nm

et

1064 nm

, car les sources laser disponibles à ces longueurs sont des lasers monolithiques, les mieux maîtrisés techni-quement et les plus stables parmi les options citées.

Le refroidissement laser nécessite quant à lui des puissances proches du Watt, la possibilité de verrouiller la fréquence du laser sur la fréquence de la transition atomique du sodium, ainsi qu’une largeur spectrale bien plus étroite que la largeur naturelle de cette transition, de l’ordre de

10 MHz

dans le cas du sodium.

5. Toptica, GmbH a annoncé la vente d’un tel laser, mais sans donner encore de prix ou de date de sortie.

88 DEUXIÈME PARTIE : INTRODUCTION

Dans cette partie du mémoire, nous rapportons tous les aspects de la réalisation d’un laser à

589 nm

par somme de fréquence pour le refroidissement de l’atome de sodium. Il s’agit de produire dans un cristal non linéaire la longueur d’onde visible désirée à partir de deux sources infrarouges à

λ

₁

= 1064 nm

et

λ

₂

= 1319 nm

, la somme des fréquences de ces deux lasers correspondant à

589 nm

. Ces sources sont des lasers Yttrium Aluminium Garnet (YAG) monolithiques, ce qui fait du laser visible ainsi conçu un laser tout-solide. En utilisant une cavité doublement résonnante pour maximiser l’efficacité du processus de somme de fréquence, nous parvenons dans les conditions optimales à convertir

92%

des photons du laser source le plus faible en photons visibles. Dans le cadre d’une utilisation quotidienne, notre laser possède une puissance nominale de

650 mW

, ce qui est suffisant pour notre expérience de refroidissement d’atomes par laser.

Nous traiterons dans un premier temps des aspects théoriques qu’il nous a fallu résoudre pour concevoir un tel laser dans le chapitre 3, puis de sa réalisation expéri-mentale dans le chapitre4.

Les travaux exposés dans cette partie ont été publiés dans [46] et [47]. Les simula-tions numériques sur l’efficacité de conversion intra-cavité ont été réalisées en collabo-ration avec J.-J. Zondy⁶.

Chapitre 3

Somme de fréquence non

linéaire en cavité

Le paramètre clé à considérer lors de la réalisation expérimentale d’un laser par gé-nération non-linéaire est l’efficacité de la conversion du ou des lasers incidents en laser produit. En effet, les processus de génération non linéaire sont souvent peu efficaces, du fait des faibles susceptibilités non linéaires des matériaux cristallins utilisés. Cela limite souvent les applications de ces dispositifs aux faibles puissances. Dans notre cas, une faible efficacité ne saurait convenir, car les lasers source disponibles à

1064 nm

et à

1319 nm

ont une puissance qui n’est pas très supérieure à la puissance désirée pour le laser produit à

589 nm

. Afin d’optimiser l’efficacité de conversion de notre système, nous avons donc étudié le problème de la somme de fréquence dans une cavité doublement résonnante. De cette étude a résulté une efficacité de conversion qui atteint 92% des photons de la source laser la plus faible dans les conditions optimales.

Dans un premier temps, nous poserons le problème de la somme de fréquence, tout d’abord en simple passage dans un cristal non linéaire, puis avec l’ajout d’une cavité doublement résonnante autour de ce cristal. Par la suite, nous examinerons comment optimiser l’efficacité de conversion en cavité, avec notamment le résultat suivant : dans un système idéal, c’est-à-dire sans pertes passives, une conversion totale de la source la plus faible est toujours possible. En prenant en compte les pertes passives liées aux différents composants optiques, nous obtiendrons un optimum pour les paramètres de la cavité, que nous validerons expérimentalement dans le chapitre suivant.

90 Ch. 3. SOMME DE FRÉQUENCE NON LINÉAIRE EN CAVITÉ P₁^inc(λ1, ω1) P₂^inc(λ2, ω2) P₃^sp(λ3, ω3= ω1+ ω2) Λ d −d 0 ^L/2 −L/2 z x y

FIGURE3.1. Schéma de principe de la somme de fréquence en simple passage dans un cristal périodiquement

polarisé. Les deux ondes de fréquenceω1etω2se propageant selon l’axez sont superposées et envoyées sur un cristal non linéaire périodiquement polarisé de longueurL. Les puissances incidentes sont notées P₁^(inc)etP₂^(inc), et la puissance produite à la fréquence sommeω3 = ω1+ ω2est notéeP₃^sp. Le coefficient de non linéarité du cristal est notéd. Le signe de ce coefficient est alterné le long de l’axe de propagation avec une période spatiale Λ.

3.1 Somme de fréquence dans un cristal non linéaire

Dans le document Condensat de Bose-Einstein de sodium dans un piège mésoscopique (Page 81-91)