Contrôle externe du spin par un champ magnétique oscillant

Afin d’obtenir des états fortement corrélés en profitant de la dynamique induite par les collisions de spin, il nous faut disposer de techniques expérimentales pour la mani-pulation de l’état Zeeman des atomes.

Obtention d’un condensat d’un seule espèce de spin

Comme nous venons de le voir, il n’est pas trivial de préparer un condensat complè-tement polarisé, car une fois qu’il a été produit avec une magnétisation donnée, il n’est plus possible de la modifier. Une solution consiste à favoriser un état de spin plûtot qu’un autre pendant la phase de refroidissement par évaporation menant à la conden-sation (voir Ch.6). Ce processus, appelé distillation de spin [80,81], utilise un gradient de champ magnétique pour déformer le potentiel de piégeage en fonction du spin, et ainsi favoriser l’échappement d’une espèce de spin plutôt qu’une autre. En utilisant cette technique, des condensats d’une seule espèce de spin ont pu être réalisés, qu’il

60 Ch. 2. CONDENSATS SPINORIELS FORTEMENT CORRÉLÉS

s’agissent des états

| ± 1i

ou de l’état

| 0i

, suivant la direction verticale ou horizontale du gradient appliqué.

Transfert de population entre états Zeeman

Nous voulons également pouvoir transférer des atomes dans un autre état de spin à partir d’un gaz complètement polarisé. Pour ce faire, il est possible de réaliser une opération à un corps sur chaque atome, en utilisant un champ magnétique oscillant dans une direction orthogonale au champ statique définissant l’axe de quantification du spin, par exemple

S

x. De cette manière, une oscillation de Rabi [82] a lieu entre l’état

| + 1i

et l’état

| − 1i

. L’état

| + 1i

subit alors une rotation de la forme

R(t) = e

−iΩRtFx, où

Ω

_Rest la fréquence de Rabi réalisée par le champ magnétique oscillant et

F

xla première matrice de Pauli pour un spin

1

. Un calcul simple donne alors

R(t)| + 1i = cos



Ω

_R

t

2



2

| + 1i − sin



Ω

_R

t

2



2

| − 1i − i sin (Ω

R

t) | 0i,

(2.16)

R(t)| 0i = cos(Ω

R

t)| 0i − √ⁱ

2^sin(Ω

^R

t) (| 1i + | − 1i) .

(2.17)

Ainsi, une impulsion dite

π/2

, obtenue pour

Ω

R

t = π/2

, produira l’état de magnétisation nulle 1

2

| + 1i − | − 1i − i^√2| 0i

. De même une impulsion

π

transférera tous les atomes dans

| −1i

. Il est donc possible de préparer un état de magnétisation voulue à partir d’un état complètement polarisé. On peut aussi noter que du fait des faibles constantes de couplage entre spins, il est aisé d’obtenir des durées d’impulsion courtes devant le temps d’évolution typique dû au hamiltonien d’interaction de spin. Ces impulsions pourront donc être considérées comme instantanées du point de vue de l’évolution globale du système.

Effet Zeeman quadratique négatif

Outre de simples manipulations ponctuelles sur l’état de spin des atomes, nous vou-lons être capables d’influer sur la nature de l’état fondamental du système. Nous avons vu que l’hamiltonien

H^ˆ

s conserve la magnétisation. Ainsi, si l’on part dans un état de magnétisation donné, celle-ci est conservée et l’effet Zeeman linéaire ne constitue alors qu’un terme constant. Le seul moyen extérieur d’influer sur la dynamique est alors l’ef-fet Zeeman quadratique,

q( ˆN

₊₁

+ ˆN

₋₁

)

. Le coefficient

q

est toujours positif par définition, et cet effet favorise toujours les particules dans l’état

| 0i

.

Afin de pouvoir plutôt favoriser les états

| ± 1i

, il est possible d’utiliser un rayon-nement micro-onde quasi-résonnant avec la transition hyperfine

| F = 1i → | F =

2i

[43, 83]. Les sous niveaux Zeeman se couplent différemment à un rayonnement micro-onde avec une polarisation

π

suivant que

|m| = 1

ou

m = 0

. Un terme

q

_µw

( ˆN

₊₁

+

ˆ

N

₋₁

)

vient alors se rajouter au hamiltonien, du même type que l’effet Zeeman qua-dratique, mais de signe dépendant du désaccord en fréquence

∆

_µw par rapport à la

2.1. DESCRIPTION THÉORIQUE D’UN CONDENSAT SPINORIEL 61 F = 1 F = 2 ∆E₋₁ ∆E0 ∆E+1 m = −1 m = 0 m = +1 m = −1 m = 0 m = +1 C0= ² 3 ^C+1= 1 2 C₋₁= ¹ 2 ∼ 1 .7 G Hz ∆µw m = +2 m = −2

FIGURE2.3. Transition hyperfine micro-onde en polarisation π. Les carrés des coefficients de Clebsch-Gordan

Cipour les transitions| F = 1, mF = ii → | F = 2, mF= ii sont indiqués. Ces transitions sont réalisées avec un désaccord∆µw, et entraînent un déplacement d’énergie∆Eipour le niveau| ii.

transition hyperfine, éventuellement négatif. En réglant indépendamment le champ statique

B

et le champ micro-onde

B

_µw, il sera donc possible de choisir le signe de

(q + q

_µw

)

. Afin d’exprimer

q

_µw, nous utilisons l’expression du déplacement d’énergie pour un rayonnement de polarisation

π

habillant les états

| F = 1, mi

, donnée dans [83] pour

µ

_B

B ≤ ~∆

µw :

∆E

m

~ = ^3Ω

2 π

C

m

8∆

_µw

1

1 − m

^µBB ~∆µw

,

(2.18)

où les coefficients

C

_m sont les modules carrés des coefficients de Clebsh-Gordan (voir Fig. 2.3) pour la transition

π |hF = 1, m | F = 2, mi|

2,

Ω

_π

= µ

_B

B

_µw

/~

la fréquence de Rabi pour la transition. Etant donné que

C

₋₁

= C

₊₁, utiliser un champ magnétique statique assez faible pour que

µ

B

B ≪ ~∆

µw permet d’obtenir un décalage en énergie similaire pour

| + 1i

et

| − 1i

². Autrement dit, le déplacement Zeeman des niveaux doit être faible devant le décalage en fréquence des micro-ondes. Pour un champ magnétique ambiant faible, cette condition sera toujours réalisée.

Dans ces conditions, le hamiltonien

H^ˆ

_spinse voit ajouter un terme

∆E

_±1

( ˆN

₊₁

+ ˆN

₋₁

) + ∆E

₀

N^ˆ

₀

,

(2.19) où

∆E

_±1

= ∆E

+1

= ∆E

+1. Le nombre d’atomes étant toujours considéré constant et les termes du hamiltonien qui lui sont proportionnels étant négligés, il est possible de

2. De plus, la conservation de la magnétisation implique qu’une différence d’énergie entre | + 1i et | − 1i n’aura pas d’effet sur la dynamique, car il ne peut y avoir de transition de l’un vers l’autre.

62 Ch. 2. CONDENSATS SPINORIELS FORTEMENT CORRÉLÉS

réécrire ce terme sous la forme

q

_µw

( ˆN

₊₁

+ ˆN

₋₁

)

, avec

q

µw

= ∆E

_±1

− ∆E

0

= − ^~Ω

2 π

16∆

_µw

^.

(2.20)

On obtient bien un terme négatif pour

∆

_µw

> 0

, qui vient abaisser l’énergie des états

| + 1i

et

| − 1i

par rapport à l’état

| 0i

. Nous disposons de deux moyens pour augmenter ce terme : créer un champ micro-onde important, et utiliser un décalage plus faible par rapport à la transition hyperfine. Cependant, nous voulons éviter de peupler les états dans

| F = 2i

. Cela impose que

|∆

µw

|

soit grande devant la fréquence de Rabi

Ω

_π, pour s’assurer d’un faible taux d’excitation hors résonance proportionnel à

|Ω

π

/∆

_µw

|

2. On prendra donc

∆

_µwde l’ordre de quelques dizaines de megaHertz.

Le champ micro-onde que l’on peut réaliser connaît quant à lui des contraintes tech-niques. En effet, il n’est pas simple de générer ce champ, à

1.7 GHz

, au centre d’une enceinte à vide en métal. Seule une faible partie de la puissance injectée dans une an-tenne pourra ainsi être utilisée. Pour que cet effet “Zeeman quadratique négatif” soit utile, il faut au moins qu’il soit capable de compenser l’effet Zeeman quadratique tradi-tionnel lié au champ magnétique statique. Si l’on travaille avec un champ statique de

100 µG

, envisageable à l’intérieur du blindage magnétique où les fluctuations du champ seront bien inférieures encore, le champ micro-onde correspondant est de seulement

30 µG

, pour

∆

_µw

= 50 MHz

. Pour influer sur la dynamique de spin, on doit pourvoir compenser la valeur maximale prise par l’énergie

H

_s, soit

q

_µw

∼ NU

s. Pour

N = 100

, et la valeur de

U

_s donnée dans la table2.1, le champ micro-onde nécessaire est de l’ordre de

100 mG

. Des essais préliminaires ont montré que de tels champs pourraient être atteints au centre de l’enceinte à vide pour des puissances micro-ondes de l’ordre de

10 W

.

2.2 Génération d’états corrélés avec un condensat de

Dans le document Condensat de Bose-Einstein de sodium dans un piège mésoscopique (Page 60-63)