Réalisation de la cavité optique pour la somme de fréquence

f 11 12 13 11 12 13 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0 50 100 w¹ ,1 [µ m] w² ,1 [µ m] 0 1 0.5 δf T, 1 /∆ f¹ 0.5

➀

FIGURE4.1. (a) : Mode de la cavité réalisée expérimentalement. Il possède deux cols, au milieu des miroirs M1

etM2séparés deL12, et au milieu des miroirsM3etM4séparés deL34(Ces2 points sont notés ➀ et ➁). w1,1

etw2,1sont les rayons à1/e2du mode en ces deux positions pour l’onde1 (w1,1etw2,1pour l’onde2). (b) : En haut : cols de l’onde1 w1,1à la position ➀ (en noir) etw2,1à la position ➁ (en rouge) en fonction de la longueur L34. En bas : séparation en fréquence des modes transverses relative à l’intervalle spectral libreδfT,1/∆f1pour l’onde1 en fonction de la longueur L34. Les autres paramètres de la cavité sont fixés aux valeurs données sur (a). La zone grisée représente un domaine instable pour la cavité.

4.1 Dispositif expérimental

4.1.1 Réalisation de la cavité optique pour la somme de fréquence

Comme nous l’avons vu dans le chapitre précédent, la réalisation du laser par somme de fréquence passe par la construction d’une cavité optique faisant résonner les deux sources infrarouges simultanément. Nous avons choisi d’utiliser une cavité optique en “sablier”, du type déjà mentionné dans le chapitre3et représenté dans la figure4.1(a).

Cette configuration a été préférée à la configuration plus simple de cavité linéaire. En effet, dans cette dernière se forme une onde stationnaire, qui correspond à de forts gradients d’intensité pouvant mener à une diminution de l’efficacité ou même à une détérioration du cristal à cause de l’absorption résiduelle à l’intérieur de celui-ci (hole burning). La cavité est composée de deux miroirs plans

M

₁ et

M

₂, et de deux miroirs courbes

M

₃ et

M

₄, permettant de focaliser les faisceaux au centre du cristal, qui se trouve donc entre

M

₃ et

M

₄. Le rayon de courbure des miroirs a été choisi égal à

10

cm, ce qui détermine également l’ordre de grandeur des dimensions de la cavité. Les para-mètres géométriques permettant de définir complètement la cavité sont alors réduits à trois, par exemple la distance entre

M

₁ et

M

₂ (

L

₁₂), la distance entre

M

₃ et

M

₄ (

L

₃₄), ainsi que l’angle de réflexion des miroirs de la cavité

θ

[voir Fig.4.1a].

para-4.1. DISPOSITIF EXPÉRIMENTAL 111

mètres, et il faut vérifier que la condition de bouclage sur le mode transverse des lasers est réalisable [115]. On utilise pour ce faire le formalisme des matrices ABCD, permet-tant de modéliser chaque élément du trajet d’un faisceau dans la cavité par une matrice. Ainsi, la propagation libre du faisceau, sa propagation dans le cristal et sa réflexion par les miroirs plans ou courbes de la cavité sont prises en compte. En particulier, on a

•

Pour la propagation d’un faisceau dans un milieu d’in-dice n sur une distance d

1 d/n

0 1



,

•

Pour la réflexion d’un faisceau par un miroir sphérique

de rayon de courbure

R



1 0

−2/R 1



.

(4.1)

En multipliant chacune de ces matrices, en prenant par exemple pour point de départ le centre du cristal, on obtient une matrice de transfert globale

P

_i

(L

₁₂

, L

₃₄

, θ)

qui ca-ractérise l’évolution du mode transverse du laser

i

au cours d’un tour de la cavité. On définit alors le paramètre complexe du faisceau gaussien

q

_i

= ¹

−i

^λi πw2 i

+

_R¹ i

,

(4.2)

où

w

_i est le waist du faisceau au centre du cristal et

R

i son rayon de courbure. La matrice

T

_i agit sur

q

_i de la manière suivante :

q

_i ^Pi

−−−−→ q

^′i

, P

_i

=A B

C D



, q

^′_i

= ^Aq

ⁱ

^{+ B}

Cq

_i

+ D^,

(4.3)

q

_i^′ étant la valeur du paramètre après un tour dans la cavité. La condition de bouclage pour le laser

i

s’écrit alors

q

i

= q

_i^′

= ^Aq

ⁱ

^{+ B}

Cq

_i

+ D^.

(4.4)

Le paramètre

q

_i est donc la solution d’une équation du second degré, qui n’a de sens physique que si sa partie imaginaire est non nulle, autrement dit si le discriminant de l’équation

(D−A)

2

−4BC

est négatif. En utilisant le fait que les matrices de propagation ont un déterminant unitaire (

AD− BC = 1

), on ramène cette condition sous une forme connue pour la stabilité d’une cavité optique

|A + D|

2 ^{< 1.}

(4.5)

Les quantités

A

et

D

étant fonctions des paramètres géométriques

(L

₁₂

, L

₃₄

, θ)

, seule une gamme réduite de ces paramètres assure la stabilité de la cavité. Il est possible de

112 Ch. 4. RÉALISATION D’UN LASER À589 NM PAR SOMME DE FRÉQUENCE

calculer ces éléments, et l’on obtient

A = D = ^2(L

^1,i

− R)(L

2,i

− R)

R

2

− 1,

(4.6)

où l’on a posé les deux longueurs



















L

_1,i

= (L

₃₄

− L) + _n^L

i

,

(4.7)

L

2,i

= L

12

+^L

¹²

^{+ L}

³⁴

cos(θ) ^,

(4.8)

qui sont respectivement les chemins optiques pour l’onde

i

du bras contenant le cristal d’une part et du reste de la cavité d’autre part. La condition de stabilité de la cavité s’écrit alors après de simples manipulations :

L

^min_1,i

< L

1,i

< L

^max_1,i

,

(4.9) avec

L

^min_1,i

= R

et

L

^max_1,i

= ^RL

^2,i

L

_2,i

− R^.

^(4.10)

Cette formulation est justifiée par la géométrie de la cavité, pour laquelle

L

_2,i

≫ L

1,i. L’espace des paramètres étant vaste, nous avons fixé l’angle

θ

à une valeur relativement faible de

12

^◦, par souci de compacité de la cavité. De même,

L

₁₂ a été fixé à

18 cm

pour des raisons pratiques.

L

_2,i dépend numériquement peu de

L

₃₄, et sera dès lors considérée comme fixée. Il alors possible d’obtenir la solution de l’équation (4.4) en fonction de la seule longueur

L

_1,i, qui donne un col au centre du cristal, avec pour rayon en

1/e

² :

w

_1,i

=r λ

_i

2π(L

_1,i

− L

^min1,i

)(L

^max_1,i

− L

1,i

)

1/4

.

(4.11)

Des matrices de transfert partielles peuvent ensuite être calculées permettant de reconstruire le mode du faisceau en tout point de la cavité. On trouve alors que le mode de cavité possède un col en deux endroits, l’un au centre du cristal comme nous l’avons vu, et l’autre au milieu des miroirs

M

₁ et

M

₂ [voir Fig. 4.1(a)]. L’expression de la taille

de ce col est

w

_2,i

=

s

L

_2,i

− R

4.1. DISPOSITIF EXPÉRIMENTAL 113

Les lasers étant injectés dans la cavité par le miroir

M

₁, c’est à ce second col que les lasers doivent être focalisés en arrivant sur la cavité.

Le choix d’une valeur de

L

34 (équivalent au choix de

L

1,i, la longueur du cristal étant fixée) dans la plage de stabilité est guidé par deux critères. D’une part, la taille du col au centre du cristal ne doit pas être trop faible, car nous voulons éviter des ef-fets thermiques dans le cristal. D’autre part, les modes transverses de la cavité doivent être clairement non dégénérés, afin de faciliter l’injection des lasers dans le mode fon-damental. On rappelle ici que la séparation en fréquence des modes longitudinaux, ou intervalle spectral libre, vaut

∆f

_i

= c/(L

_1,i

+ L

_2,i

)

pour l’onde

i

. Pour ce qui est de la séparation des modes transverses

δf

_T,i, elle s’obtient en considérant la phase de Gouy accumulée lors d’un tour de cavité et s’écrit :

δf

_T,i

= ^∆f

ⁱ

π

"

arctan ^λ

ⁱ

^L

^2,i

2πw

2 2,i

!

− arctan ^λ

ⁱ

^L

^1,i

2πw

2 1,i

!#

Dans le document Condensat de Bose-Einstein de sodium dans un piège mésoscopique (Page 111-114)