Le rôle des variables didactiques

La classification des problèmes présentée ci-dessus génère un ensemble de problèmes qui pour l’élève, ne présentent pas le même degré de complexité cognitive. Néanmoins, les critères pris en compte dans cette classification ne sont pas suffisants pour décrire cette complexité. Le travail de Carvalho & Laborde (2000) montre qu’à l’intérieur d’une même classe, il peut exister des problèmes de niveaux de complexité différents. Ainsi, pour chaque type de problèmes présenté, nous nous proposons d’étudier le rôle d’autres éléments qui

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rendent compte de cette complexité. A cette fin, des éléments importants à considérer dans cette analyse sont les variables didactiques. D’après Margolinas, une variable didactique est :

- un élément de la situation sur laquelle le maître peut agir, - qui provoque des changements qualitatifs dans les procédures de résolution des élèves,

- qui permet d’expliquer les résultats de l’enseignement et d’agir sur eux, - et qui provoque une modification dans l’apprentissage.

Margolinas (1992, p. 129) Le professeur peut donc agir sur les variables didactiques pour modifier la situation d’apprentissage. Les recherches précédentes concernant la symétrie orthogonale (Grenier, 1988, Tahri, 1993, Soury-Lavergne, 1994) montrent l’importance du rôle des variables didactiques sur les procédures des élèves dans la résolution de problèmes. Soury-Lavergne (ibid.) étudie les problèmes de construction de l’image d’un segment par rapport à une droite donnée. Elle classifie ces problèmes selon les valeurs attribuées aux deux variables didactiques : l’angle formé par le segment et l’axe de symétrie (0°, 90° et α), et l’intersection entre le segment et l’axe (le segment a une extrémité sur l’axe, le segment coupe l’axe, l’intersection est vide). L’auteur montre que la combinaison des valeurs « angle de 90° » et « intersection vide » donne une classe de problèmes qui n’est pas considérée comme d’une grande complexité cognitive, car les problèmes concernés peuvent être résolus par une procédure de base²⁹. D’autres combinaisons, comme « angle α » et « le segment a une extrémité sur l’axe», donnent des classes de problèmes considérés d’un niveau de complexité cognitive plus élevée car pour les résoudre, il faut réduire la procédure de base et de plus, il faut connaître la propriété d’invariance des points sur l’axe.

Cette considération s’avère importante, car elle met en évidence la relation existant entre les variables du problème et les procédures de résolution susceptibles d’être mobilisées par les élèves, en rendant compte du niveau de complexité des problèmes, ce qui est pertinent pour notre étude des conceptions des élèves.

En nous appuyant sur les travaux de recherche précédentes, nous retenons pour notre analyse les variables didactiques suivantes :

 orientation des segments et de l’axe de symétrie sur la feuille, avec les valeurs horizontale, verticale et oblique ;

 intersection de la figure et de l’axe de symétrie avec les valeurs « vide » (aucun point commun), touche (un ou plusieurs points communs, mais la figure se trouve d’un même

29 Une procédure de base consiste à construire l’image de chaque extrémité du segment à l’intersection d’une droite orthogonale à l’axe passant par cette extrémité, et d’un cercle centré sur l’axe passant par cette même extrémité (Soury-Lavergne, 1994).

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côté de l’axe) et coupe (un ou plusieurs points communs et la figure se trouve de part et d’autre de l’axe).

Dans le chapitre 1 (cf. p. 20), nous nous sommes interrogés à propos des conceptions susceptibles d’être mises en œuvre par l’élève lorsqu’il construit le symétrique d’une figure complexe. Nous avons évoqué que, d’après les résultats des recherches de Grenier (1988), les élèves qui ont construit correctement le symétrique d’un point par rapport à une droite n’ont pas été capables de réinvestir leurs connaissances pour construire le symétrique d’un segment isolé ou d’une figure composée de deux segments. Nous avons fait l’hypothèse que d’autres variables didactiques que celles concernant la problématique segment/axe présentés ci-dessus, pouvaient jouer un rôle important dans le choix de procédure pour la résolution du problème.

Ainsi, dans notre étude nous sommes amenés à prendre en compte d’autres variables didactiques qui peuvent jouer un rôle important dans la résolution de ces problèmes. Le choix de ces variables s’appuie d’une part, sur les résultats des recherches (la variable support : papier blanc, papier quadrillé, par exemple), et d’autre part, sur l’analyse des problèmes présents dans les manuels scolaires analysés. L’ensemble des variables qui nous semblent pertinentes par rapport à l’objectif de notre recherche et leurs valeurs respectives, est présenté dans le tableau 2 de la page suivante :

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Variables didactiques et valeurs Identification des propriétés de la symétrie orthogonale

Preuve

Spécificité de la figure F

F possède des segments parallèles et/ ou perpendiculaires à l’axe de symétrie, ou non F possède un ou des axes de symétrie, ou non F possède un axe de symétrie parallèle ou perpendiculaire à l’axe de symétrie d F est proche de l’axe, ou non

F est codée, ou non ...

Nature de F

Géométrique usuelle (triangle, carré, …) ou non Représentant un objet réel identifiable, ou non Simple (segment) ou Complexe (composée de segments, cercles, arcs de cercle, …)

...

Orientation des segments de la

figure F sur la feuille Oblique ; Horizontale ; Verticale Orientation de l’axe sur la feuille Oblique ; Horizontale ; Verticale Intersection de la figure avec l’axe Vide ; Touche ; Coupe

Instruments de dessin et techniques disponibles

Règle graduée, ou non ; Équerre ; Compas ; Pliage ; Calque ; Miroir

Type de papier Blanc ; Quadrillé ; Pointillé

Position relative de F et F’ (dans les problèmes de reconnaissance)

F et F’ possèdent des segments parallèles, ou non F et F’ possèdent des segments ayant une même droite support, ou non

…

Tableau 2. Variables didactiques et valeurs prises en compte dans le cadre de notre recherche 71

4. Contrôles intervenant dans la résolution de problèmes de