Conclusion

Cette conclusion concerne les résultats de l’analyse quantitative où nous avons étudié les réponses données par les 51 élèves de deux classes de quatrième au collège, aux problèmes de reconnaissance et de construction des figures symétriques. Nous comparerons les résultats obtenus en termes de réussite et d’échec dans ces tâches et nous soulignerons le rôle que certaines variables didactiques ont pu jouer dans les réponses des élèves. Par ailleurs, dans les problèmes de construction, nous comparerons les résultats obtenus en termes de types de procédures utilisées dans la construction des figures.

Cas de réussite

Les taux de réussite des élèves pour chacun des problèmes sont les suivants :

Problèmes résolus % de réussite

Tableau 40. Taux de réussite des élèves par problème résolu

Ce tableau montre que les élèves ont mieux réussi les problèmes de reconnaissance que les problèmes de construction. Il semble donc que la nature des problèmes de reconnaissance où les réponses sont données joue un rôle dans ces résultats, car la possibilité de donner une réponse erronée y est moindre.

La majorité des élèves ayant donné la bonne réponse aux problèmes de reconnaissance justifient leurs choix par la propriété de superposition des figures symétriques par pliage mais ce pliage n’est pas effectif. En revanche, la plupart des constructions correctes sont basées sur la mise en œuvre des propriétés d’égalité des distances des points à l’axe et/ou d’orthogonalité à l’axe. Ceci peut montrer que dans la résolution de problèmes de construction, les élèves mettent en œuvre d’autres connaissances relatives à la symétrie orthogonale, au-delà de la superposition de figures symétriques par pliage.

Un élément important à considérer dans ces résultats est que dans les problèmes de construction, nous avons considéré une catégorie de figures qui sont « perceptivement

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correctes ». Si nous considérions ces constructions comme correctes le taux de réussite en serait modifié, comme le montre la dernière colonne du tableau suivant :

Problèmes résolus % de figures

Tableau 41. Taux de réussite des élèves en considérant les figures « perceptivement correctes » comme

« correctes »

Notons que, dans ce cas, le taux de réussite au problème segment-figure_1 serait comparable à celui des problèmes de reconnaissance de figures symétriques. Le fait que dans la plupart des cas les images de cette figure (figure_1) aient été construites par une des procédures globales et que les variables de cette figure laissent voir une ambiguïté dans l'interprétation de ces procédures, pourrait être une explication de ce résultat.

Cas d’échec

Dans les problèmes de reconnaissance, les choix de la « flèche rouge » (cf. problème-flèche, p. 129) et du segment [MO] (cf. problème segment-losange, p. 129) sont les réponses les plus fréquentes chez les élèves. Comme nous l’avons montré dans l'analyse a priori, ces réponses renvoient au choix d'une direction donnée par le prolongement d’un segment de la figure.

Étant donné que ces élèves sont en classe de quatrième et qu’en classe de cinquième ils ont déjà étudié la symétrie centrale, il est possible que les connaissances relatives à cette symétrie aient pu intervenir dans le choix de ces élèves.

Dans les problèmes de construction, la direction horizontale et/ou celle donnée par le prolongement d’un segment de la figure (dans le cas de la figure-maison) ont été préférées par les élèves. Les orientations verticale et horizontale des segments sur la feuille ont pu favoriser ces choix par les élèves.

Cette analyse montre aussi que tous les élèves ont abouti à la construction de l’image des segments. Cependant, dans le problème-maison trois élèves ont abandonné leur construction.

Nous avons supposé que le fait qu’il s’agisse d’une figure complexe et qu’elle représente un objet réel, peut être à l’origine de l’abandon de la construction par ces élèves.

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Procédures identifiées chez les élèves dans les problèmes de construction

Comme nous l’avons montré au cours de l’analyse, les élèves ont utilisé différentes procédures de construction. Les taux d’utilisation par type de procédure sont les suivants :

Type de procédures Segment figure_1

-Tableau 42. Type de procédures utilisées par les élèves dans les problèmes de construction

Comme le montre le tableau, les procédures de construction analytiques ont été privilégiées par les élèves dans la résolution des trois problèmes de construction. Le fait que les instruments de dessin aient été mis à disposition des élèves, et que nous leur ayons rappelé qu’ils pouvaient les utiliser, a pu jouer un rôle dans ce choix des élèves.

Le pliage effectif et le calque (qui renvoie aux procédures globales) ne sont presque pas utilisés par les élèves. Ces techniques ne sont pas mentionnées explicitement dans la consigne des problèmes, c’est pourquoi les élèves n’y ont pas recouru.

Notons que les procédures analytiques ont été plus utilisées dans la construction de l’image des segments, et moins dans la construction de l’image de la figure-maison. En revanche, l’utilisation des procédures semi-analytiques est plus fréquente dans la construction de cette dernière. En effet, les élèves n'ont presque pas utilisé ces procédures dans la construction du segment. Ceci semble confirmer les résultats de la recherche de Tahri (cf. Tahri 199, p. 214-215) qui a été placée dans la problématique de la construction de l’image d’un segment par rapport à une droite. Nous supposons que les élèves ont eu recours aux procédures semi-analytiques dans le problème maison dans le but de prendre appui sur des éléments de la figure, pour ensuite mener à bien leur construction de façon perceptive globale.

Nous observons également, dans le tableau ci-dessus, que les procédures globales ont été plus utilisées dans la construction de l’image du segment-figure_1. Dans la plupart des cas, la figure construite était « perceptivement correcte ». Ainsi, nous reprenons notre hypothèse selon laquelle l’orientation du segment a pu amener les élèves à construire globalement un segment horizontal sur la feuille.

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5.2. Construction et analyse de copies : caractérisation de