Les orientations des programmes scolaires

D’après les instructions des programmes scolaires en vigueur en France au début de notre étude (Programmes Scolaires, 1996), la symétrie orthogonale est la première transformation géométrique qui doive être introduite dans l’enseignement. Cette introduction se fera de façon pragmatique, en privilégiant une approche expérimentale. La symétrie orthogonale est introduite par la superposition des figures par pliage, l’aspect perceptif est le seul à être exploité pour l’introduire. A partir du cycle 2 de l’école primaire (cycle des apprentissages fondamentaux)²¹, les élèves doivent connaître les propriétés et les relations de l’alignement des points, de l’égalité de longueurs, ainsi que la notion de l’axe de symétrie. Cependant, à ce niveau scolaire, ces propriétés doivent être reconnues par les élèves de façon perceptive à partir de la reconnaissance par la vue, par l’utilisation de techniques comme pliage, calque et miroir en relation avec la symétrie. Le passage des connaissances perceptives aux connaissances géométriques commence à se faire progressivement en cycle 3 (cycle des approfondissements)²², avec le recours aux instruments de dessin et la connaissance de certaines propriétés de la symétrie axiale. Selon les programmes, à ce niveau scolaire, le but de l’étude de cette notion mathématique est de « fournir l’occasion aux élèves d’étendre leur

20 A propos de l’évolution des programmes scolaires concernant l’étude des transformations géométriques, on se reportera à la recherche de Jahn (1998). En ce qui concerne la symétrie orthogonale en particulier, on se reportera à Tavignot (1993).

21 Le deuxième cycle (des apprentissages fondamentaux) comprend : la grande section maternelle, le cours préparatoire (CP) et la première classe du cours élémentaire (CE1).

22 Le troisième cycle (des approfondissements) comprend : la deuxième classe du cours élémentaire (CE2) et les deux classes du cours moyen (CM1 et CM2).

52

champ d’expériences sur cette transformation (géométrique) et de mettre en œuvre quelques-unes de ses propriétés » (Extrait du programme, 3^e Cycle, 2001). Les instruments de dessin comme l’équerre et le compas, sont introduits comme moyens de vérification par l’élève des réponses données. Les compétences relatives à la symétrie axiale à développer en cycle 3 sont les suivantes (Ibid. p. 233) :

 percevoir qu’une figure possède un ou plusieurs axes de symétrie, et le vérifier en utilisant différentes techniques (pliage, papier calque, miroir) ;

 compléter une figure par symétrie axiale en utilisant des techniques telles que pliage, papier calque, miroir ;

 tracer, sur papier quadrillé, la figure symétrique d’une figure donnée par rapport à une droite donnée.

La systématisation de l’étude de la symétrie orthogonale relève de la classe de sixième au collège (cycle d'adaptation). La symétrie orthogonale est l’unique transformation géométrique étudiée dans cette classe. La symétrie centrale, la translation et la rotation sont objets d’étude dans les classes suivantes : cinquième, quatrième et troisième.

En classe de sixième est introduit le terme « symétrie orthogonale » comme synonyme de symétrie axiale qui a été utilisé auparavant. Comme l'affirme Tavignot, (1993, p. 270), « le terme symétrie orthogonale met en évidence le rôle de l'orthogonalité par rapport à l'axe pour les constructions des symétriques. Alors que celui de symétrie axiale met en évidence le rôle joué par l'axe de symétrie, notamment pour les figures ayant un axe de symétrie ».

D’après les orientations des programmes, l’enseignement de la symétrie en classe de sixième doit enrichir le champ des figures étudiées, le vocabulaire doit être précisé et les connaissances apprises dans les cycles précédents doivent être réorganisées à l’aide de nouveaux outils. A la fin de ce cycle, l’élève doit « passer de l’identification perceptive (reconnaissance par la vue) de figures et de configurations à leur caractérisation par des propriétés (passage du dessin à la figure) » (Programmes de mathématiques en 6^e, 2002, p.

25). Pour cela, l’enseignement doit favoriser les situations qui permettront à l’élève de s’approprier la notion et d’en expliciter les propriétés. Ainsi, dans la continuité du travail réalisé dans les cycles précédents, l’étude de la symétrie doit s’appuyer encore sur une approche expérimentale avec le but de permettre à l’élève « d’obtenir un inventaire abondant de figures simples », à partir desquelles sont dégagées de façon progressive les propriétés de conservation de la symétrie orthogonale (longueurs, alignement, angles et aires).

En classe de 6^e, le programme accorde une place importante aux activités de manipulation et de construction de figures symétriques et d’axes de symétrie de figures. Le rôle de la médiatrice comme axe de symétrie d’un segment est mis en évidence. L’élève doit être capable de construire le symétrique d’un point, d’un segment et d’un cercle, d’utiliser la

53

symétrie axiale pour construire des figures géométriques usuelles telles que triangle isocèle, carré, en reliant les propriétés de conservation de la symétrie à celles des figures, comme le montre l’extrait suivant :

Figure 3. Extrait du programme scolaire, classe de 6^e (1996, p. 34)

Dans les commentaires des programmes relatifs à l’enseignement des transformations géométriques au collège, y compris la symétrie orthogonale en classe de sixième, les transformations géométriques doivent être abordées en tant que transformations de figures, comme une action sur la figure et non par son caractère fonctionnel, comme le précise l’extrait ci-dessous :

La symétrie axiale n’a ainsi, à aucun moment, à être présentée comme une application du plan dans lui-même. Suivant le cas, on mettra en évidence : l’action d’une symétrie axiale donnée sur une figure, la présence d’un axe de symétrie dans une figure c’est-à-dire d’une symétrie axiale la conservant.

(Programme scolaire, 6^e, 2002, p. 34).

Le choix d’introduire la symétrie orthogonale en tant que transformation de figures, renvoie au premier niveau d’appréhension des transformations géométriques dans la classification proposée par Piaget et Garcia (1983), reprise par Grenier & Laborde (1987) et plus tard, par Jahn (1998). Au premier niveau de cette classification, ces transformations sont appréhendées comme une relation entre deux configurations géométriques, ou bien comme une relation entre deux parties d’une même configuration.

L’appréhension des transformations géométriques en tant qu’application du plan dans lui-même correspond au deuxième niveau dans cette classification. Ici, la symétrie orthogonale est introduite par son caractère involutif du plan dans le plan. Dans l’enseignement, l’étude

54

des transformations à ce niveau d’appréhension est effectuée au lycée. Jahn (1998) fait une étude des programmes concernant la transition collège-lycée et met en évidence des difficultés d’apprentissage chez les élèves, qui sont liées au passage entre ces deux niveaux d’appréhension des transformations géométriques, et notamment à la conception du plan qui est différente à ces deux niveaux. D’après l’auteur :

Ce passage implique une première rupture car ces deux différents niveaux ne mettent pas en jeu la même conception du plan. En fait le niveau 2 exige une conception homogène du plan, qui est en quelque sorte absente au collège. De plus, la notion d’application ponctuelle prend pour hypothèse implicite qu’une figure est un ensemble de points et que par conséquent, son image est un ensemble de points images.

Jahn (1998, p. 68) Bien que notre recherche se restreigne à l’étude de la symétrie orthogonale au collège, nous nous intéressons aux difficultés de l’apprentissage mises en évidence dans cette recherche. En effet, nous considérons que la prise en compte, ou non, par l’enseignant du caractère

L’objectif de cette section est d’étudier comment la symétrie orthogonale est introduite en classe de sixième. Nous nous intéressons aux définitions et aux propriétés qui sont traitées dans l’enseignement. Notre intérêt porte aussi sur les méthodes de construction des figures symétriques enseignées, les types de problèmes proposés, ainsi que sur les variables didactiques présentes dans ces problèmes. Le choix d’étudier ces aspects s’impose par le fait qu’en général les enseignants s’appuient fortement sur les cours et les exercices proposés dans les manuels, ce qui peut influencer leurs choix lors de la construction du thème à enseigner (niveau +2 du modèle de l’activité du professeur) ainsi que la préparation de leurs cours²³ (projet de leçon, niveau +1).

En ce qui concerne les conceptions des élèves par rapport à la symétrie orthogonale, nous considérons que l’identification des savoirs abordés dans les manuels peut nous servir, pour la caractérisation des contrôles des conceptions susceptibles d’être mobilisées par les élèves dans la résolution de problèmes. Cette étude nous servira également pour délimiter les classes de problèmes, les variables didactiques et leurs valeurs, éléments sur lesquels nous allons nous appuyer pour construire le dispositif expérimental.

23 Pour en savoir plus à ce propos, on se reportera à Mesa (2004).

55